概率第三章习题答案(DOC)

习题三

1、 设(,)X Y 的分布律为

1

2

3

116191182

13

19

X Y a

求a 。

解：由分布律的性质，得

1,0ij i j p a =>∑∑，即11111

1691839a +++++=，

0a >，

解得，2

9

a =。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用

(,)F x y 表示：

(1){,}P a X b Y c ≤≤<；(2){0}P Y b <<；

(3){,}P X a Y b ≥<．

解：根据分布函数的定义X ，得 (1){,}{,}P a X b Y c P X b Y c ≤≤<=≤<；

{,}(,)(,)P X a Y c F b c F a c -

-

-

-<<=-

(2)

{0}{,}{,0}

P Y b P X Y b P X Y <<=≤+∞<-≤+∞≤(,)(,0)F b F -

=+∞-+∞

(3)

{,}{,}{,}

P X a Y b P X Y b P X a Y b ≥<=≤+∞<-<<(,)(,)F b F a b -

-

-

=+∞-

3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为

(,)F x y ，分布律如下：

1234114

1162116140143

0116116

X Y

试求：(1)13

{,04}22

P X Y <<<<；

(2){12,34}P X Y ≤≤≤≤；(3)(2,3)F ．

解：由(,)X Y 的分布律，得

(1)

13

{,04}22

P X Y <<<< {1,1}{1,2}{1,3}

P X Y P X Y P X Y ===+==+==115041616

=++=； (2)

{12,34}P X Y ≤≤≤≤

{1,3}{1,4}P X Y P X Y ===+== {2,3}{2,4}P X Y P X Y +==+==

11

0001616

=+++=；

(3)

(2,3){2,3}F P X Y =≤≤

{1,1}{1,2}P X Y P X Y ===+== {1,3}{2,1}P X Y P X Y +==+== {2,2}{2,3}P X Y P X Y +==+==。

11115

00

4164168

=+++++=

4、设X，Y为随机变量，且{0,0}3

P X Y

≥≥=

{0}{0}4

P X P Y

≥=≥=

求{max(,)0}

P X Y≥

解

{max(,)0}{(0)(0)}

5 {0}{0}{0,0}

7

P X Y P X Y

P X P Y P X Y

≥=≥?≥

=≥+≥-≥≥=

。注：此题关键在于理解{max(,)0}

X Y≥表

示{(0)(0)}

X Y

≥?≥，然后再根据概率的加法公式。

5、(,)

X Y只取下列数值中的值：(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0)

--，且相应概率

依次为1115

,,,

631212

。请列出(,)

X Y的概率

分布表，并写出关于Y的边缘分布．

解：（1）根据(,)

X Y的全部可能取值以及

相应概率，得(,)X Y 的概率分布表为

102

16512131120011300

X Y -

（2）根据Y 的边缘分布与联合分布的关系，得

{}10

2

16512

712131120011211300

13

X P Y j Y -=

所以，Y 的边缘分布为

0131

71211213

k Y p

6、设随机向量(,)X Y 服从二维正态

分布22

(0,0,10,10,0)N ，其概率密度函数为

22200

1

(,)200x y f x y e

π

+-

=，

求{}P X Y ≤．

解：由图形对称性，得

{}{}P X Y P X Y ≤=>，故1

{}2

P X Y ≤=。

注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。

7、设随机变量(,)X Y 的概率密度为

(6),02,24

(,)0,其它k x y x y f x y --<<<

?

，

（1）确定常数k ；

（2）求{1,3}P X Y <<；

（3）求{1.5}P X <；（4）求{4}P X Y +≤．

分析：利用

{(,)}(,)(,),

o

G

G D P X Y G f x y dx dy f x y dx dy ?∈==

????

再化为累次积分，其中

{}(,)02,24o D x y x y =<<<< 解：（1）由概率密度函数的完备性，得

240

2

1(,)(6)8,

f x y dx dy k x y dydx k +∞+∞

-∞

-∞

==--=?

?

?

?

解得18

k =。

（2）1

3

1302(1,3)(,)13

(6)88

P X Y f x y dxdy

dx x y dy -∞-∞

<<==--=????； （3）

1.51.540

2

( 1.5)( 1.5,)(,)127(6);832

P X P X Y f x y dxdy

dx x y dy ∞-∞

-∞

≤=≤<∞==--=??

?

?

（4）

4

2

400(4)(,)12

(6)83x y x

P X Y f x y dxdy

dx x y dy +≤-+≤=

=--=??

??。

8、已知X 和Y 的联合密度为

,01,01

(,)0,

其它cxy x y f x y ≤≤≤≤?=?

?， 试求：（1）常数c ；（2）X 和Y 的联合分

布函数(,)F x y ．

解：（1）由概率密度函数的完备性，得

1100111(,)22f x y dxdy cxydxdy c ∞∞-∞-∞===??????，

解得4c =。 （2）

(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞

-∞

=?

?

0010010011

00

0,004,01,014,01,14,

1,014,1,1或x y

x y

x y uvdvdu x y uvdvdu x y uvdvdu x y uvdvdu x y <

?≤≤≤≤???≤≤>=??>≤≤???>>????????? 22220,00

01,0101,11,011

1,1

或x y x y x y x x y y x y x y <??>≤≤?>>??。

9、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

4.8(2),01,0(,)0,

其它y x x y x

f x y -≤≤≤≤?=?

?

求边缘概率密度()Y f y ．

解：

1

2

4.8(2),01()(,)0,

2.4(34),01

.

0,

其它其它y

Y y x dx y f y f x y dx y y y y +∞-∞

?-≤≤?==?

???-+≤≤=????

10、设(,)X Y 在曲线2

y x =，y x =所围成的区域G 内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘

概率密度．

解：据题意知，区域G 的面积为21016x G x S d y d x ==??，

由于(,)X Y 在区域G 内服从均匀分布， 故(,)X Y 的概率密度函数为

1

,(,)6,(,)(,)0,0,其它其它G x y G x y G

S f x y ?∈∈??==??

???

。

2

2

6,01()(,)0,6(),01

0,

其它其它x x X dy x f x f x y dy x x x +∞-∞?≤≤?==?

???-≤≤=?

???

，

6,01

()(,)0,),01

0,

其它其它y

Y dx y f y f x y dx y y +∞-∞

?≤≤?==?

???-≤≤=?

???

。

注：此题求解首先必须画出区域G 的图形。

然后根据图形确定积分上下限。

11、二维随机变量(,)X Y 的分布律为

1

07157301

730115

X Y

（1）求Y 的边缘分布律；（2）{0|0}P Y X ==，{1|0}P Y X ==；

（3）判定X 与Y 是否独立？

解：（1）由边缘分布与联合分布的关系，知

{}0

1

0715*******

730115

310

X P Y j Y =

所以，Y 的边缘分布律为 01

0.70.3i Y p

（2）

{0,0}

{0|0}{0}

{0,0}

{0,0}{0,1}7/1527/157/303

P X Y P Y X P X P X Y P X Y P X Y =====

====

==+====+，

{1|0}P Y X == {0,1}{0}

{0,1}

{0,0}{0,1}7/3017/157/303

P X Y P X P X Y P X Y P X Y ===

====

==+====+； （3）根据二维随机变量(,)X Y 的分布律可知其边缘分布律

{}

{}01071573071017301153107103101X

P Y j Y P X i == 由于{0,0}{0}{0}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 不独立。

12、设随机变量X 的概率密度为||

1(),2x f x e x -=-∞<<∞，

问：X 与||X 是否相互独立?

解：【法一】任意给定0a >

0{}()111(2)222

a

a x x a

P X a f x dx

e dx e dx e -∞

---∞<==+=-?

??

||

001{||}()2

11122

a a x a a a x x a a P X a f x dx e dx

e dx e dx e ------<===+=-????

||

00{,||}{||}

1()211122a

a

x a a a x x a a P X a X a P X a f x dx e dx e dx e dx e ------<<=<===+=-????所以

{,||

}P X a X a P <<≠<

，因而X 与||X 不独立。

【法二】若X 与||X 相互独立，则对任意

0a >，有

{,||}{}{||}P X a X a P X a P X a <<=<<， 而

{||}{}X a X a

{,||}{||}P X a X a P X a <<=<，

所以，{||}{}{||}{||}(1{})0P X a P X a P X a P X a P X a <=<

{||}0P X a <=或1{}P X a =<，很显然这是不成立的，故X 与||X 不是相互独立的。

13、将某一医药公司9月份和8月份

的青霉素制剂的订货单数分别记为X 与Y 。据以往积累的资料知，X 和Y 的联合分布律为

51

52

53

54

55

510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.0355

0.050.060.050.010.03

X Y

(1)求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律． 解：（1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得

{}{}51

52

53

54

55

510.060.050.050.010.010.18520.070.050.010.010.010.15530.050.100.100.050.050.35540.050.020.010.010.030.1255

0.050.060.050.010.03

0.200.280.280.220.090.13

1

X P Y j Y P X i ==（2）

{51,51}0.061

{51|51},

{51}0.183P X Y P X Y P Y ========

{52,51}

{52|51}{51}

0.0550.1818

P X Y P X Y P Y =====

===，

{53,51}

{53|51}{51}

0.0550.1818

P X Y P X Y P Y =====

===，

{54,51}

{54|51}{51}

0.0110.1818

P X Y P X Y P Y =====

===，

{55,51}

{55|51}{51}

0.0110.1818

P X Y P X Y P Y =====

===，

8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律为

515152535455

13518518118118

X Y p =

14、已知(,)X Y 的分布律如表所

示，

0120

1418

010*********

X Y

求：（1）在1Y =的条件下，X 的条件分布律；（2）在2X =的条件下，Y 的条件分布律．

解：根据联合分布律可得边缘分布律，如下：

{}{}0120

14

18

381013013

2160187245121124181

X P Y j Y P X i ==

（1） 根据上表，可得

（2） {0,1}

{0|1}{1}

0013

P X Y P X Y P Y =====

===，

{1,1}

{1|1}{1}

1/311/3

P X Y P X Y P Y =====

===，

{2,1}

{2|1}{1}

001/3

P X Y P X Y P Y =====

===，

所以，在1Y =的条件下，X 的条件分布律为

1012

010

X Y p =

（3） 根据上表，可得

（4） {2,0}{0|2}{2}

001/8

P X Y P Y X P X =====

===，

{2,1}

{1|2}{2}

001/8

P X Y P Y X P X =====

===，

{2,2}1/8

{2|2}1{2}1/8P X Y P Y X P X ========，

所以，在2X =的条件下，Y 的条件分布律为

2012

001

Y X p =

15、已知(,)X Y 的概率密度函数为

3,01,0(,)0,

其它x x y x

f x y <<<

?， 求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数． 解：（1）

20()(,)3,013,010,0,其它其它X x

f x f x y dy

xdy x x x ∞-∞

=??<<<

???

?

?；