学科导论-数学

关于数学，我觉得数学对于我来说是：数学无时无刻不伴随我的左右，并且伴随我的成长！

对于每个中国的孩子，也可以说世界上的每个孩子，自从上学的那天开始，数学便走进了他（她）的生活，并且一直陪伴他走过十几二十几年的时光。但是，那时数学仅仅是一门必须去学的课程，我们的学习可以说是自发的，而且是被动的。而对于每个对世界充满好奇，充满了求知欲的人来说，数学不单单是一门课程了，她是我们认识世界、探索世界、乃至改造世界的一个窗口，一个工具。她的身上散发了迷人的魅力。她不再是分数的一种表达，她是有血有肉的精灵。记得意大利物理学家、天文学家G.伽利略（Galieo Galilei）说过，“为了理解宇宙，人们先要学习描写它们所用的语言，并且解释这种语言的字母。宇宙是用数学语言写成的，它的字母是……几何图形，如果没有这些字母，人类将对它一字不识，只能在黑暗迷宫里徘徊。”看吧，数学不光是描述地球的，她还是整个宇宙的最佳文字！法国哲学家、数学家R.卡迪儿（Rene Descartes）说，“万物对我皆为数学”。我虽然没有这样的大数学家的高度，将一切事物都归纳为数学，但是我知道我们身边的一切都离不开数学。当我们环顾四周，偶尔可见数学风采的微妙印记，令人神往。这些印记让我感受数学对生活的巨大影响，从而可以帮助我了解我们的世界和宇宙。

我觉得，与其他知识部门相比，数学是一门历史性或者说积累性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论，对于我们在小学乃至中学大学里的数学课程也是一样，它们彼此没有矛盾，但是后者显然要比前面部分更加完善。有的数学家说过“大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”。这样的说法虽然有些绝对，但却形象地说明了数学这座大厦的积累特征。

查阅了很多资料，我终于找到了一个困惑我许多年的问题，那就是“什么是数学？”。最为权威的应该是恩格斯的定义：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系。”后人根据他的论述，将其概括为：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。所以，我知道了数学家们将行星的运动、机械的运动、流体运动、动植物生成这些运动与变化的数学描述为“数”与“形”。但是20世纪50年代前苏联的一批有影响的数学家试图修正前面恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：“现代数学是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的科学。”这个定义不再区分“数”和“形”，而是将其归为一个“量”。这个“量”好像被赋予了丰富的现代涵义，有一定的现代意义。学习数学多年的经验告诉我，数学是抽象而精确的科学，这应该算是她的特点了吧！

从中学数学的学习过程中我已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。但是，所有这些抽象概念，都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学所独有的特性，任何一门科学都有这一特性。需要补充的一点是：不仅数学的概念是抽象的，而且数学的方法也是抽象的。

而数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。这点我从中学数学就已很好的懂得了。当然数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。

几千年来，数学展现了她对艺术、商贸、建筑和其他科学的影响。在我们日常生活中，数学是这样的微妙、普及和必需，以至于我们经常忘记了它的存在。然而，日复一日，数学不断扩张它的领土，在越来越多的方面烙上她的印记。今天如果离开了数学工具，科学就无法启动，不论是银行、建筑、旅游、娱乐、电子业、发明或探索宇宙，都将一事无成！

我对数学的认识

我觉得数学是生活中必不可少的，数字不但无处不在，它能改变世界。爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。

小时候，学数学是为了计算，要让你对数学有基本的认知；升入初中，把数学稍微复杂化，开始介入深一点的层次，这时候也没有觉得数学很难学；升入高中时，脑子里整天都充斥着函数，π，几次方，一门心思把数学搞好，为了考大学。而，升入大学后，学数学不是为了什么目的，只是为自己去学，学的内容也更加复杂。书本上边说，数学能改变一切，就像神舟七号如果某个地方计算失误，那根本就看不到所谓的成功发射，只会让人们觉得数字是多么重要。你去买菜需要计算价钱，你睡觉会有睡眠时间，你建房子会有面积等等。而现在时信息化的时代，也证明着数学应用的广泛，比如计算机，让你坐在家里环游世界，让你坐在家里知道世界各地当时所发生的事情。还有电视机，你在无聊时候看的电视，都是与数字离不开的。美丽的大都市，到处都是高楼大厦，我们居住的房子，墙角藏着直线，墙壁里隐者平面，阶梯中含着长方体，花园的边缘，有着圆圈，我家的稳当的小桌子，藏着三角形支架，我教的水管做成圆的，打开水龙头氺可以哗哗的，快速流出，我们做的公共汽车，轮子做成圆的，才那么稳。

仔细观察一下，我们会发现。我们的生活到处都包含着数学，没有数学，我们的生活会多么糟。数学，就像一座高峰，直插云霄，刚刚开始攀登时，感觉很轻松，但我们爬得越高，山峰就变得越陡，让人感到恐惧，这时候，只有真正喜爱数学的人才会有勇气继续攀登下去，所以，站在数学的高峰上的人，都是发自内心喜欢数学的。而站在峰脚的人是望不到峰顶的。所以，我也会努力学习的。

经过了几次由专业老师对数学专业的分支的初步介绍后，对数学这门专业有了更加清晰的认识。下面我来讲讲自己对数学专业的理解：

首先，我们大一学的三门主课：数学分析（Mathematical Analysis），高等代数（Advanced Algebra），空间解析几何（Analysis Geometry）.也是老师们口中的老三基——大学数学的三门基本课程。在我们看来大学数学很难的这种的想法就来源于数学分析这门课程。的确，数学分析是所有数学专业及应用数学专业的第一基础课。它提供了利用函数分析和解决实际问题的方法，它的主要目的在于培养学生严谨的抽象思维能力，以便为后来学习更深的数学研究及其他的学科奠定基础。刚进大学的我们觉得这门课程很难是因为这门课程很注重理论和思维的结合运用，而经过了高中三年的应试学习的专项性导致我们思维的单一性和想象的局限性。当然老师也知道这点，因此也很注重上课时对我们思维发散能力的培养。其次是高等代数，也称线性代数，它主要包括对多项式的讨论和解线性方程组及线性方程组的一些性质。高等代数可谓是解决一切数学题目的数学工具。所以我们要牢固掌握和深入理解其中的思想方法和技巧以便于今后面对一些关于数学计算时能有能力去解决。最后，空间解析几何——一门在老师看来很简单的学科，当然解决几何问题的基础还是高等代数，因此可以将几何认为是用代数方法来研究几何图形性质的一门学科。学习数学的人都有过这样的体会：在面对一道数学题目时，如果能够将题目所给的内容整合成图形，则题目的难处也会悄然逝去，因为图形给人的理解都是很直观，在图形的辅助下，做一道数学题会更加的如鱼得水。因此，有了一定的几何知识的基础，我相信在未来的学习中会有很大的帮助。

就老三基后，随着数学时代的变化，又随之孕育出了新的基础——复变函数(Complex Anal ysis)，近世代数（Modern Algebra），拓扑学（Topology）。也称新三基。当然新三基也是在老三基的基础上才可以掌握的。复变函数，顾名思义就是在复数域上对函数及积分的讨论，采用理论联系实际的方法，用于解决几何学、流体力学、热力学、电力学等方面的问题。与今后学习的物理学方面的问题直接挂钩。近世代数是一门以理论喂基础的理论课程，它比较全面的介绍了群、环、域的理论及一些具体的群、环和域。在老师看来，较高等代数的频繁的计算而言，近世代数是一门很注重理论思维的科目。难度可想而知。剩下的拓扑学，在庞加莱猜想被解开时就有所耳闻的学科。在围绕其中心拓扑性质（几何图形在连续变形下保持不变的性质）下介绍点集拓扑学的基本理论和基本方法。我个人比较喜欢这门学科因为它倾向于培养大脑的图形想象思维能力。

基本学科介绍后，老师还介绍了个、一些更深层次的数学学科，像：概率论与数理统计（P robability and Mathenatical Statistics）,运筹学(Operational Research)，常微分方程（Ordinar y Differential Equation）,实变函数与泛函分析（Real Analysis and Function Analysis），微分几何（Differential Geometry）等等，还有我现在有想法取向的偏微分方程（Partial Differ ential Equations）和数学建模（Mathematical Modeling）。或许真的是有点子承师教，这门主要讲授三类经典数学物理方程（弦振动方程，热传导方程和位势方程）的模型建立、基本解法及基本理论，包括极限原理、存在性、唯一性、稳定性等的偏微分方程和通过建立模型和综合运用相应的数学知识来解决实际生活中的问题的数学建模很是能调动起我的神经。以上就是我经过数学专业导引后对数学专业的一些浅识。虽然专业导引课不多，但它的确让

我对数学有了更深刻的认识。也对我以后的发展方向起了一定了辅助作用。至少现在的我不像刚进大学那样迷茫不知所措了。

近几年来，旨在教会学生会学习、提高学生自学能力的学法指导的研究和实践已是基础教育改革的一个热门课题。这一课题的提出和研究，不仅对当前提高基础教育质量、实施素质教育具有现实意义，而且对培养未来社会发展所需要的人才、促进科教兴国具有历史意义。

随着社会、经济、科技的高速发展，数学的应用越来越广，地位越来越高，作用越来越大。不仅如此，数学教育的实践和历史还表明，数学作为一种文化，对人的全面素质的提高具有巨大的影响。因此，提高基础教育中的数学教学质量，就显得尤为重要。可目前由于受“应试教育”的影响，数学教学中违背教育规律的现象和做法时有发生，为此更新数学教学思想、完善数学教学方法就显得更加迫切。在数学教学中，开展学法指导，正是改革数学教学的一个突破口。

一

对数学教学如何实施数学学习方法的指导，人们进行了许多有益的探索和实验。首先是通过观察、调查，归纳总结了中学生数学学习中存在的问题，如“学习懒散，不肯动脑；不订计划，惯性运转；忽视预习，坐等上课；不会听课，事倍功半；死记硬背，机械模仿；不懂不问，一知半解；不重基础，好高骛远；赶做作业，不会自学；不重总结，轻视复习”〔1〕等等。针对这些问题，提出了相应的数学学法指导的途径和方法，如数学全程渗透式（将学法指导渗透于制订计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、学习总结、课外学习等各个学习环节之中）〔2〕；建立数学学习常规（课堂常规———情境美，参与高，求卓越，求效率；课后常规———认真读书，整理笔记，深思熟虑，勇于质疑；作业常规———先复习，后作业，字迹清楚，表述规范，计算正确，填好《作业检测表》，重做错题）〔3〕等等。诚然，这对于端正学习态度、养成学习习惯、提高学业成绩、优化学习品质，采劝对症下药”的策略，开展对学习常规的指导，无疑会收到较好的效果。但是，数学学习方法的指导，决不能忽视数学所特有的学习方法的指导。可以说，这才是数学学法指导之内核和要害。也就是说，数学学法指导应该着重指导学生学会理解数学知识、学会解决数学问题、学会数学地思维、学会数学交流、学会用数学解决实际问题等。有鉴于此，笔者主要从“数学”、“数学学习”出发，来阐释数学学习方法，论述数学学法指导。

二

从数学的角度出发，就是要考察数学的特点。关于数学的特点，虽仍有争议，但传统或者说比较科学的提法仍是3条：高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。

1．数学研究的对象本来是现实的，但由于数学仅从空间形式与数量关系方面来反映客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维形式（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。而抽象又离不开概括，也离不开比较和分类，可以说比较、分类、概括是抽象的基础和前提。比如，要从已经过抽象得出的物体运动速度v＝v0＋at、产品的成本m＝m0＋at、金属加热引起的长度变化l＝l0＋at中再次抽象出一次函数f（x）＝ax＋b，显然要经过比较（它们的异同）和概括（它们的共同特征）。根据数学高度抽象性的特点，数学学法指导要强调比较、分类、概括、抽象等思维方法的指导。

2．数学结论的可靠性有其严格的要求，观察和实验不能作为论证的依据和方法，而是要经过逻辑推理（表现为证明或计算），方能得以承认。比如，“三角形内角和为180°”这个结论，通过测量的方法是不能确立的，唯有在欧氏几何体系中经过数学证明才能肯定其正确性（确定性）。在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的计算而得到的结论，才是可靠的。事实上，任何数学研究都离不开证明和计算，证明和计算是极其主要的数学活动，而通常所说的“数学思想方法往往是数学中证明和计算的方法。探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或计算的具体方法。从这一点上来说，证明或计算是任何一种数学思想方法的组成部分，又是任何一种数学思想方法的目标和表述形式”〔4〕。又由于证明和计算主要依靠的是归纳与演绎、分析与综合，所以根据数学逻辑的严谨性特点，数学学法指导要重视归纳法、演绎法、分析法、综合法的指导。

3．由于任何客观对象都有其空间形式和数量关系，因而从理论上说以空间形式与数量关系为研究对象的数学可以应用于客观世界的一切领域，即可谓宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。应用数学解决问题，不但首先要提出问题，并用明确的语言加以表述，而且要建立数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学结果进行检验和评价。也就是说，数学之应用，它不仅表现为一种工具，一种语言，而且是一种方法，是一种思维模式。根据数学应用的广泛性特点，数学学法指导还要指导学生建立和操作数学模型，以及进行检验和评价。

三

从数学学习的角度出发，就是要通过对数学学习过程的考察，引申出数学学法指导的内容和策略。关于数学学习的过程，比较新颖的观点是：“在原有行为结构与认知结构的基础上，或是将环境对象纳入其间（同化），或是因环境作用而引起原有结构的改变（顺应），于是形成新的行为结构与认知结构，如此不断往复，直到达成相对的适应性平衡”〔5〕。通过对这一认识的分析和理解，就数学学法指导而言，可概括出以下3点：

1．行为结构既是学习新知的目的和结果，又是学习新知的基础，因而在数学教学中亦需注重外部行为结构形成的指导。由于这种外部行为主要包括外部实物操作和外部符号（主要是语言）活动，所以在数学学法指导中，一要重视学具的操作（可要求学生尽可能多地制作学具，操作学具）；二要重视学生的言语表达（给学生尽可能多地提供言语交流的机会，可以是教师与学生间的交流，也可以是学生与学生之间的交流）。

2．认知结构同样既是学习新知的目的和结果，也是学习新知的基础，故而数学教学要加强数学认知结构形成的指导。所谓数学认知结构，是指学生头脑中的知识结构按自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。因此，对于学生形成数学认知结构的指导，关键在于不断地提高所呈现的数学知识和经验的结构化程度。在数学学法指导中，须注意如下几点：①加强数学知识间联系的教学。无论是新知识的引入和理解，还是巩固和应用，尤其是知识的复习和整理，都要从知识间的联系出发。②重视数学思想的挖掘和渗透。由于数学思想是对数学的本质的认识，因而数学思想是数学知识结构建立的基础。常见的数学思想有：符号思想、对应思想、数形结合思想、归纳思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重数学方法的明晰教学。数学方法作为解决问题的手段，是建立数学知识结构的桥梁。常见的数学方法有：化归法、构造法、参数法、变换法、换元法、配方法、反证法、数学归纳法等。

3．在原有行为结构与认知结构的基础上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须是在一种学习机制的作用下方能实现。而这种学习机

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