微积分(经管类)12-13-1期末试题答案2012.12

天津工业大学（2012—2013学年第一学期）

《微积分（经管）》期末试卷（A 卷）(2013. 1理学院)

特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有八道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。

满分 21

30

7

7

7

8

10

10

总分 复核

题目

一 二 三 四 五 六 七 八

得分

评阅人

一. 填空题(每空3分,请将答案写在空格处)

1、设??

?

??≥+<=0

,20,2sin )(2x x x x

ax

x f 在0=x 处连续，则=a 4 。

2、 设厂商的成本函数为)(C q C =，需求函数为)(P q P =（P 是产品销售价格，q 为产量）求厂商的边际利润表达式：())()()()()(q C q P q q P q C q qP '-'+='

-。

3、曲线?????=+=t

e

y t

t x 23

在0=t 点处的切线方程为：x y 21=-。 4、设)(0x f '存在，则=--+→h

x f e x f h h )

()1(lim

0200 )(20x f '。 5、积分1

2221

(()sin 1)d f x x x x x -+-=?=

8

π

。 6、函数)(x f 连续可导，a 为非零常数，?

=

'dx ax f ax )(sin cos C ax f a

+)(sin 1

。 满分 21 得分 -------------------------------

密封线

----------------------------------------

密封线

----------------------------------------

密封线---------------------------------------

学院

专业班

学号

姓

名

装订线

装订线

装订线

7、设?∞

-+∞

→=??

?

??+a

t ax x dt te x x 1

1lim ，则常数=a 2 。

二. 求下列各题(每小题5分，共30分）

1、

x

x

x e

x 10

)(lim +→

=

2111

)11(lim

e e x x

e x e x x x x x =-++-+?

-+→

2、??

?

??--→11ln lim 1x x x x

=()23

1ln lim 221=???

?

??---→x x x x x

3、 设)(x y y =是由函数方程2-++=e y x e xy

确定的隐函数，求

)

1,1(dx

dy 。

解：两边分别对2-++=e y x e xy 求导得：()1xy e y xy y ''+=+ 将()1,1带入上式整理得：(1)1e y y ''+=+因此(1,1)

1dy dx

=-。

4、

?

+3

21d x

x

x

令t x =+321，则2/)1(3

-=t x ，2/d 3d 2

t t x =，于是

?t t t t t t t x x

x ???-=-=+d )(43d 232121d 4

233 =+-=C t t 8

32032

5C x x ++-+3235)21(83)21(203． 满分 30

得分

5、

1

2

3

1

1x

e dx x

?

=121.2e

11

1

2

13213

21

1

2

1

1

()t x

t t x

e dx t e dt te dt x t ==-=?

?

?

=1

1

11

21112

2

2

1.2t

t t

tde te

e dt e =-=??

三.

已知函数1

2+=

x x

y ，求函数的增减区间、极值、凹凸区间、 拐点及渐近线.

解：定义域),(+∞-∞，奇函数. 在定义域内一、二阶处处存在，且2

22

)

1(1+-='x x y ，3

22)

1()

3(2+-=''x x x y .由0='y ，得1±=x ；由0=''y 得3,0±==x x . 当0≥x 时，函数的单调性、极值，曲线的凸凹性、拐点由下表给出.

所以：

1

2+=

x x

y 在（-∞，-1）,(1,+ ∞)单调递减，在（-1,1）单调递增， 1-=x 为极小值点且极小值为21-；1=x 为极大值点极大值为21

；

2

)1(2-=

x x

y 在)3,(--∞，）

，（3,0上为凸函数，在)03(，，），（∞+3上位凹函数，)43,3(-

-，）），（（4

3,30,0为拐点； 满分 7

得分

由y x ∞

→lim =01

lim

2=+∞→x x

x ，得水平渐近线0=y ，无铅直渐近线和斜渐近线.

四、 设x e x y 2=，求)(n y . 解：()

()

()

()()()()()()()()122021

222n n n n n x x x x n n n y

x e C x e C x e C x e --'''==++

()221x x x x e nxe n n e =++-

五、 求函数x x y -+=1在闭区间[]1,5-上的最值.

解：由x x y -+=1，15≤≤-x 得21

)1(2

1

1---='x y

令0='y ，得4

3=

x 4

5

)43(=f ，65)5(+-=-f ，1)1(=f 所以x x y -+=1在闭区间[]1,5-上的最大值为4

5)43

(=f ； 最小值为65)5(+-=-f .

六、 求b a ,的值，使函数?

??≥<+=.1,ln ,1,)(x x x b ax x f 在1=x 点可导.

解：首先)(x f 要在1=x 点连续，而

b a b ax f x +=+=--→)(lim )01(1

，0ln lim )01(1

==++

→x f x ，0)1(=f 由)0()01()01(f f f =+=-，得0=+b a ，即a b -=.又

满分 7

得分

满分 8 得分

满分 7 得分

11

)]

1(1ln[lim 10ln lim )1(1)1(lim 10lim )1(1111

=---=--='=--=--+='-+--

→→+

→→-x x x x f a x x a x b ax f x x x x ，

由)1()1(+-'='f f ，得1=a ，所以当11-==b a ，??

?≥<+=.

1,ln ,

1,)(x x x b ax x f 在1=x 点

可导.

七、 1、设)(x f 在]2

,0[π内连续，)2,0(π内可导，

求证：在)2,0(π内至少存在两点ηξ,使得ξηξπ

cos )()(2

f f '='.

2、若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，且0)(>x f ，设?

?

+=

x b

x a

t f t

t t f x F ，)

(d d )()( ])[(b a x ，∈证明：（1）2)(≥'x F ；（2）方程()0F x =在区间(,)a b 内有且仅有一个实根．

1、证明： )(x f 与x sin 在]2,

0[π

内满足柯西中值定理的条件，故存在)2

,0(π

ξ∈，使

得ξξππ

cos )(0sin 2

sin )

0()2(f f f '=

--，即：ξξπcos )()0()2(f f f '=-. 又)(x f 在]2,0[π内满足拉格朗日中值定理的条件，故存在)2

,0(π

η∈，使得

2

)()0()2(πηπ?'=-f f f . 比较两式即得：

2

)(cos )(π

ηξξ?'='f f ，整理可得结论. 2、证明：（1）由0)(>x f ，利用均值不等式，得

2)

(1

)(2)(1)()(=?≥+

='x f x f x f x f x F ． （2）由02)(>≥'x F ，知道)(x F 单独增加，于是方程()0F x =在区间(,)a b 内至

满分 10 得分

多有一个实根；

又因为)(x f 在区间[,]a b 上连续，所以)(x F 在区间[,]a b 上连续，而

??

<-==b a a b

t f t t f t

a F 0)(d )

(d )(，?>=b a t t f b F 0d )()(，根据零点定理，得方程

()0F x =在区间(,)a b 内至少有一个实根．

综上，方程()0F x =在区间(,)a b 内有且仅有一个实根．

八、 求由在区间]4/0[π，定义的两条曲线x

y x y cos sin ==、及y 轴所围成的图形分别别绕x 轴y 轴旋转所得旋转体的

体积x V ，y V

解：x x x x x V x d 2cos d )sin (cos 4

/0

4

/0

22?

?

=-=ππππ

2

2sin 2

4

/0

π

π

π==

x ；

?

?

+-+=-=4

/0

4

/0

4

/0

d )cos (sin 2)cos (sin 2d )sin (cos 2ππππππx

x x x x x x x x x V y

=-=--=

πππππ22

2)cos (sin 22224

/02x x )42(2-ππ．

满分 10

得分