数值分析习题(含答案)
第一章 绪论
姓名 学号 班级
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5
105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325*
102
1
1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*
π具有4位有效数字，必需
41*1021
-?≤-ππ，3*3102
11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π
即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）
解：3*
1021-?≤
-a
a ，2*102
1
-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102
1
10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a
故b a +至少具有2位有效数字。
2
123*****102
1
0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知
δ=-*
*x
x x ，则误差为 δ=-=
-*
**ln ln x
x x x x
则相对误差为
*
*
**
*
*
ln ln 1ln ln ln x
x
x x x
x
x x δ
=
-=
-
5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*
=，已知
cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v
2π=的绝对误差限与相对误差
限。（误差限的计算） 解：
*
2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ
绝对误差限为
π
ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v
相对误差限为
%420
120525)
5,20()
5,20(),(2
==??≤-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n
x y =的相对误差。（函数误差的计算）
解：
%*
*a x x x =-，
)%(*
****
*na x
x x n
x
x x y
y y n
n
n =-≤-=
-
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为 334)(r r v ??=
π，3**3
4
)(r r v ??=π 欲使
%13
3
4
4)
()()(*
*3**
2***=-=??-??=
-r r r r r r r r v r v r v ππ，必须
%3
1
*
*=-r r r 。 8 设?-=1
1
dx e x e
I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计
算方法的比较选择）
解：11
11
10
110
11
1
11][-------=-=-==???n x n x
n x n
x n n nI dx e x ne
dx e x
n e
x e de x e
I 111
101)1(----=-==?e e e dx e e I x
如果初始误差为*
000I I -=ε，若是向前递推，有
0221*11*!)1()1()1()1()1(εεεεn n n n nI nI I I n
n n n n n n n -==--=-=---=-=----
可见，初始误差0ε的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推n n I n
n I 1
11-=
-，其误差为 n n n I I εεεε!
)1(211)1(11)1111()1111(221*110-==?-=-=---= 可见，初始误差n ε的绝对值被逐步减少了。
第二章 插值法
姓名 学号 班级
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 解法一（待定系数法）：设c bx ax x L ++=2)(，由插值条件，有
??
?
??=++=++=+-12412c b a c b a c b a 解得：3/4,2/1,6/1=-==c b a 。 故 3
42161)(2+-=
x x x L 。 解法二（基函数法）：由插值条件，有
1)
12)(12()
1)(1(1)21)((11()2)(1(2)21)(11()2)(1()(?-+-++?-+-++?------=
x x x x x x x L
)1)(1(31
)2)(1(21)2)(1(31-++-+---=x x x x x x 3
421612+-=x x 2 已知9,4,10===
x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）
解：由插值节点与被插函数，可知，240==
y ，391==y ，其线性插值函数为
5
6
5134942949)(+=?--+?--=
x x x x L 7的近似值为6.2513
5657)7(≈=+=L 。
3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有
)
())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=
+-+-
试证明
),...1,0()(0
n k x x l x
n
j k j
k j =≡∑=。
（拉格朗日插值基函数的性质）
解：考虑辅助函数∑=-=
n
j k j
k j x x l x
x F 0
)()(，其中，n k ≤≤0，),(∞-∞∈x 。
)(x F 是次数不超过n 的多项式，在节点i x x =（n i ≤≤0）处，有
)()()(0=-=-=-=∑=k
i k i k i i i k i n
j k i i j k j i x x x x l x x x l x x F 这表明，)(x F 有n+1个互异实根。
故0)(≡x F ，从而
∑=≡n
j k j
k
j x x l x
)(对于任意的n k ≤≤0均成立。
4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，其抛物线插值函数为
314567.0)
36.032.0)(34.032.0()
36.0)(34.0()(?----=
x x x L
333487.0)
36.034.0)(32.034.0()
36.0)(32.0(?----+
x x
352274.0)
34.036.0)(32.036.0()
34.0)(32.0(?----+
x x
将3367.0=x 代入，计算可得：3304.0)3367.0(≈L 。
其余项为：)36.0)(34.0)(32.0(!
3sin )(----=
x x x x r ξ
其中，36.032.0<<ξ )36.0)(34.0)(32.0(6
1
)(---≤
x x x x r 故误差的上界为：
71014.2)36.03367.0)(34.03367.0)(32.03367.0(6
1
)3367.0(-?≤---≤
r 。 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4
1π=x ，2
2π=
x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值
多项式, 并近似计算6
cos π及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗
日二次插值）
解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为
0)
4/2/)(02/()
4/)(0(21)2/4/)(04/()2/)(0(1)2/0)(4/0()2/)(4/()(?----+?----+?----=
ππππππππππππx x x x x x x L
2
2)
2/(28)
2/)(4/(8πππππ--
--=
x x x x
8508.09
2
42)
2/6/(6/28)2/6/)(4/6/(8)6
(2
2≈+=
--
--=ππππππππππL 绝对误差为：0153.018
28439924223)6(6cos
≈--=+-=-ππ
L 相对误差为：
0179.02
8428439)6
()6(6cos
≈+--=
-π
πL L
余项为：
)2/)(4/(!
3sin )(ππξ
--=
x x x x r ，其中，2/0πξ<< 其余项的上界为：)2/)(4/(6
1
)(ππ--≤
x x x x r 0239.06
)26)(46(661)6(43
≈=--≤πππππππ
r 比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。
6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差
]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算）
从表中可查得：]6,4,3,1,0[=
f 。
故6]3,1,4[=f 。其实，根据均差的对称性，6]4,3,1[]3,1,4[==f f ，该值在第一个表中就可以查到。
7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点
)1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算）
解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有
∑
=-+-------=p
i p i p i i i i i i i i p x x x x x x x x x x x x x f x x x f 0
111101,0)
)(())(())(()
(][
而0)(=i x f p i ≤≤0，故0][1,0=p x x x f 。 8 如下函数值表
建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 解：
先构造均差表
故 )2)(1(4
)1(381)(---
-++=x x x x x x x N 。 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ，
3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）
解法一（待定系数法）：设d cx bx ax x p +++=23)(，则
c bx ax x p ++='23)(2，由插值条件，有
????
??
?=+++=++=+++=+++12
3927341242482d c b a c b a d c b a d c b a 解得：6,15,9,2-==-==d c b a 。
故 61592)(23-+-=x x x x p
故 61592)2)(1(2)2)(1()1(22)(232-+-=--+--+-+=x x x x x x x x x p 10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃尔米特插值）。
解：设d cx bx ax x H +++=2
3
)(，c bx ax x H ++='23)(2
利用插值条件，有
????
??
?=++=+++=+++=1
23124801
c b a
d c b a d c b a d 解得：1,4,4,1=-==-=d c b a 。
144)(23+-+-=x x x x H
11 设4/9,1,4/1,)(2102
3
====x x x x x f 。(1)试求)(x f 在[]4/9,4/1上的三次埃尔米特插值多项式)(x H ，使得)()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==，)(x H 以升幂形式给出。(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。
解：81)41(=f ，1)1(=f ，827)49(=f ，21
23)(x x f ='，2
3
)1(='f
设d cx bx ax x H +++=2
3
)(，c bx ax x H ++='23)(2
???
??
???
???=++=+++=+++=+++23238274916816472918141161641
c b a
d c b a d c b a d c b a
解得：22514-
=a ，450263=b ，450233=c ，251
-=d 。 故 25
1
45023345026322514)(23-
++-=x x x x H 。 )49()1)(41(1283)(225
---=-x x x x R ξ，其中，4
9
41≤≤ξ。
12 若0)()(],,[)(2
==∈b f a f b a c x f ，试证明：
()|)( |max 8
1
|)( |max 2x f a b x f b x a b
x a ''-≤
≤≤≤≤（插值余项的应用）
解：以0)()(==b f a f 为插值条件，作线性插值多项式，有
0)()()(=?--+?--=
b f a
b a
x a f b a b x x L 其余项为
))((!
2)
()()()()(b x a x f x f x L x f x R --''=
=-=ξ 故 )(max )(8
1
)2)(2()(max 21)(max 2x f a b b a b a b a x f x f b x a b x a b x a ''-=+--+?''=≤≤≤≤≤≤。
13 设,2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f 求)(x p 使)2,1,0()()(==i x f x p i i ； 又设 M x f ≤'''|)(| ，则估计余项)()()(x p x f x r -=的大小。（插值误差的估计） 解：由插值条件，有
??
?
??=++=-=+-2241
124c b a c c b a 解得：??
?
??==-=14/38/1c b a
从而 14
3
81)(2++-=x x x p 其余项为
)2,2()2()2(!
3)
()()()(-∈-+'''=
-=ξξx x x f x p x f x r M M x x M x r 27
3839166)4(6)(3=≤-≤
第三章 函数逼近
姓名 学号 班级
习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。
1 设x x f πsin )(=，求)(x f 于]1,0[上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：},1{span x =?
1),(1011==?dx ??，21),(1021==?xdx ??，31
),(1
222==?dx x ??
π
π?2
sin ),(1
1=
=?xdx f ，π
ππππ
π?1
sin 1
cos sin ),(1
2
1
2=
+
-
==
?x x x
xdx x f
法方程组为
?????
?????=????????????????ππ12312
121121a a
解得：π
2
1=a ，02=a
线性最佳平方逼近多项式为：π
?2
*
=
。
2 令11,)(≤≤-=x e x f x
，且设x a a x p 10)(+=,求10,a a 使得)(x p 为)(x f 于]1,1[- 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解：},1{span x =?
2),(1
1
11==?-dx ??，0),(1
1
21==?-xdx ??，3
2),(1
1
222=
=?-dx x ?? 1
1
1
1),(---==?e e dx e f x
?，11
1
22),(--==?e dx xe f x ?
法方程组为
??
?
???-=??????????????--1121232002e e e a a 解得：)(2
11
1--=e e a ，312-=e a
线性最佳平方逼近多项式为：x e e e x p 3
2)(1
1--+-=。 3证明：切比雪夫多项式序列
)arccos cos()(x k x T k =
在区间[]1,1-上带权21/1)(x x -=ρ正交。（正交多项式的证明） 解：对于k l ≠，有
dx x k x l x
T T k l )arccos cos()arccos cos(11),(1
12
?
--=
??
=--=π
π
2
)cos()cos()sin )(cos()cos(cos 11dt kt lt dt t kt lt t
?++-=π
])cos()[cos(21
dt t k l t k l 0])sin(1)sin(1[210=+++--=πt k l k
l t k l k l 对于k l =，有
dx x k x T T k k )arccos (cos 11),(21
12
?
--=
??
=--=π
π0
22
2)(cos )sin )((cos cos 11
dt kt dt t kt t
2
])2sin(21[21])2cos(1[210
0πππ
=+=+=?t k k t dt t k 故，序列)}({x T k 在[-1，1]上带权2
11)(x
x -=
ρ正交。
4求矛盾方程组：???
??=-=+=+2
423
21
2121x x x x x x 的最小二乘解。（最小二乘法）
解法一：求1x 与2x ，使得
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x f
达到最小。于是，令
0)2(2)42(2)3(22121211
=--+-++-+=??x x x x x x x f
0)1)(2(22)42(2)3(22121212
=---+?-++-+=??x x x x x x x f
即：???=+=+9629232121x x x x ，其最小二乘解为：???==6429.05714.22
1x x 。
解法二：
??
??
??????=????????????????-24311211121x x ，记作b AX =，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组
b A AX A T T =，即???
???=???????
?????99622321x x 解之，得???==6429.05714
.22
1x x 。
5 已知一组试验数据
试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 解：作矩阵
????????????????????=5.515141315.2121A ，??????
???
???????????=95.8865.44y
法方程为
)()(y A X A A T T =
即
??
????=?????????????25.161405.9022226
b a 解得：2288.1=a ，4831.1=b 。 其直线拟合函数为x y 4831.12288.1+=。
6 用最小二乘原理求一个形如2
bx a y +=的经验公式,使与下列数据相拟合.
（最小二乘二次逼近） 解：
??
????=?????????????5.3693214.2717277699532753275
b a 解得：9726.0=a ，0500.0=b 故经验公式为 2
05.09726.0x y +=。
第四章 数值积分
姓名 学号 班级
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式
)()0()()(h cf bf h af dx x f h
h
++-≈?
-试确定c b a ,,使它的代数精度尽可能
高。（代数精度的应用和计算） 解：分别取2
,,1)(x
x x f =，使上述数值积分公式准确成立，有；
??
?
??=+-=+-=++3/2)()(0
)()(2322h h c h a h c h a h c b a 解得：3,34,3h c h b h a ===。 故求积公式为)(3
)0(34)(3)(h f h
f h h f h dx x f h h ++-≈?-。
再取3)(x x f =，左边=?-=h h dx x 03，右边=0)(3
034)(333
=+?+-h h h h h
再取4
)(x
x f =，左边=?-=h
h h dx x 5254
，右边=3
2)(3034)(354
4h h h h h h =+?+-
此求积公式的最高代数精度为3。 2 求积公式
)0()1()0()(0101
f B f A f A dx x f '++≈?
，试确定系数0A ,1A 及0B ，使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 解：分别取2
,,1)(x x x f =，使求积公式准确成立，有
???
??==+=+3/12/11
1
0110A B A A A 解得：61,31,32010===
B A A 。 求积公式为)0(6
1
)1(31)0(32)(10f f f dx x f '++≈?。
再取3)(x x f =，左边==?+?+?≠=?06
113103241103
dx x 右边
故该求积公式的最高代数精度为2。
3数值积分公式
)]2()1([2
3
)(3
f f dx x f +≈?
，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式
的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）
解：令1)(=x f ，)]2()1([2
3
]11[2333
f f dx +=+=
=?
x x f =)(，)]2()1([2
3
]21[23293
0f f xdx +=+==
? 2
)(x x f =，)]2()1([2
3
]21[232159230
2f f dx x +=+=≠
=? 故代数精度为1。由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。 4如果0)(>''x f ，证明用梯形公式计算积分?
b
a
dx x f )(所得到的结果比准确值大，并说明其
几何意义。（梯形求积） 解：梯形求积公式
)]()([2
b f a f a
b T +-=
是由过点))(,(a f a ，))(,(b f b 的线性插值函数
)()()(b f a
b a
x a f b a b x x L --+--=
在[a,b]上的定积分。
注意到：在区间[a,b]上，0)(>''x f ，而0))((<--b x a x ，有
0))((!
2)
()]()([)()(<--''=-=-=-?
???dx b x a x f dx x L x f dx x L dx x f T I b
a
b
a
b
a
b
a
ξ 从而T I <。
其几何意义可作以下解释：
在区间[a,b]上，0)(>''x f ，故曲线)(x f y =下凹，直线)(x L y =位于曲线之上，因
此，曲边梯形的面积?=
b
a
dx x f I )(小于梯形面积?=b
a
dx x L T )(。
5用4=n 的复化梯形公式计算积分
?2
11
dx x ，并估计误差。（复化梯形求积）
解：41412=-=h ，取求积节点为)4,,1,0(4
1
1 =?+=i i x i
)](21
)()()()(21[)]()([2
11
4321013
02
1
3
1
x f x f x f x f x f h x f x f h dx x dx x i i i i x x i i
++++=+≈=+==∑?
∑?
+6970.01680
1171
]84217464544421[41==?++++?= 因
2ln 1
2
1
=?
dx x
，则误差大约为：0039.06970.02ln =-。 6设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(====-=-f f f f f ,则用复化辛甫生公式计算
?
-1
1
)(dx x f ，若有常数M 使 M f ≤||)4(，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复
化辛甫生公式） 解：
???
+=
--1
01
1
1
)()()(dx x f dx x f dx x f
)]1(61
)5.0(64)0(61[)]0(61)5.0(64)1(61[
f f f f f f ++++-+-≈ 1667.116
67]29466441[61≈=+?+++?+≈ ?
?
---+-++≤
--1
22)4(0
1
21)4(2)1()5.0)(0(!
4)
()0()5.0)(1(!
4)
(dx x x x f dx x x x f S I ξξ ])1()5.0)(0()0()5.0)(1([241
020
1
2dx x x x dx x x x M
??---+-++≤- 0042.06
)25.0(6)1()5.0)(0(122
5
.00
21
2?=-=---≤??M
dt t t M dx x x x M M 008.0≤
7已知高斯求积公式
)57735.0()57735.0()(1
1
-+≈?-f f dx x f 将区间[0,1]二等分，用复
化高斯求积法求定积分
?
1
dx x 的近似值。（高斯公式）
解：
dx x dx x dx x ?
?
?
+
=
1
2
/12
/10
1
对于
dx x ?
2
/10作变量换t x 4
1
41+=
，有 ]57735.0157735.01[81
1811
12
/10-++≈+=??
-dt t dx x
对于
dx x ?
1
2/1作变量换t x 4
1
43+=
，有 ]57735.0357735.03[8
1
3811
11
2/1-++≈+=??
-dt t dx x
6692.0]57735.0357735.0357735.0157735.01[8
1
1
=-+++-++≈?
dx x
8 试确定常数A ，B ，C 和a ，使得数值积分公式
)()0()()(2
2
a Cf Bf a Af dx x f ++-≈?
-有尽
可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
解：分别取4
3
2
,,,,1)(x x x x x f =，使上述数值积分公式准确成立，有；
???
??
?
????
???
=+-=+-=+-=+-=++564)()(0)()(316)()(0)()(444332
2a C a A a C a A a C a A a C a A C B A 整理得：
?
??
?
?????=+=
+==++564)(316)(442C A a C A a C A C B A 解得：5
12,916,910===
=a B C A 。 数值求积公式为
)5
12
(910)0(916)512(910)(2
2
f f f dx x f ++-≈
?
- 再取5
)(x x f =，左边=
?
-=2
2
50dx x ，右边=
0)5
12(9100916)512(9105
5=+?+- 再取6
)(x x f =，左边=
?
-=
2
2
67
256
dx x ，右边=25768)512(9100916)512(91066=+?+-
可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达到了5132=-?次，故它是高斯型的。
9设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求)(2x P 。
（2）构造如下的高斯型求积公式
)()()(11001
x f A x f A dx x xf +≈?
。（高斯求积）
解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权x x =)(ρ且在[0，1]上正交的多项式序列 取1)(0=x P ，设)()(001x P x x P α+=，且它与)(0x P 在[0，1]上带权x x =)(ρ正交，于是
),(),(),(0000010P P P x P P α+==，3
2
)
,()
.(1
1
02
0000-=-=-=??xdx
dx
x
P P P x α
故 3
2)(32)(01-=-
=x x P x x P 。 设)()()(00112
2x P x P x x P αα++=，且它与)(0x P 、)(1x P 在[0，1]上带权x x =)(ρ正交，
于是
),(),(),(00000220P P P x P P α+==，2
1)
,()
,(1
1
03
0002
0-=-=-
=??xdx
dx x P P P x α
),(),(),(011112
21P P P x P P α+==，5
6
)32()32()
,()
,(1
21
3
11121-=---=-=??dx x x dx x x P P P x α
10
3
5621)32(56)(21)(56)(220122+-=---=--=x x x x x P x P x x P
解（2）：10
3
56)(2
2+-
=x x x P 的零点为：10662,1±=
x 。 设
)10
6
6()1066(
)(1010
++-≈?
f A f A dx x xf 分别取x x f ,1)(=，使上述求积公式准确成立，有
?????=++-=+3/1106610662/11010A A A A ，即???
?
???
-
=-=+631211010A A A A 解得：661410-=
A ，6
61411+=A 。 高斯型求积公式为
)10
6
6()66141()1066()66141()(1
+++--≈?f f dx x xf
第五章 非线性方程求根
姓名 学号 班级
习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。
1用二分法求方程012
=--x x 的正根，要求误差小于0.05。（二分法）
解：1)(2
--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--
=f ，故有根区间为]2,23
[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47
,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813
,23[。
（5）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813
,23[。
（6）计算025********)1625()1625(2<-=--=f ，故有根区间为]813
,1625[。
（7）计算010*********)3251()3251(2<-=--=f ，故有根区间为]8
13
,3251[。
（8）若取中点64103=c 作为取根的近似值，其误差小于032.0321
3251813<=-
取近似根6094.164
103*
≈=x ，可满足精度要求。
2说明方程04ln 2
=-+x x 在区间[1，2]内有惟一根*x ，并选用适当的迭代法求*
x （精
确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法） 解：4ln )(2
-+=x x x f ]2,1[∈x
03)1(<-=f ，02ln )2(>=f ，0221
2)(>>+
='x
x x f ，故函数单调增加，因此，该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根。 取迭代函数x x ln 4)(-=? ]2,1[∈x
显然21ln 4)(2ln 431=-≤≤-≤
13 1ln 41ln 41)(<= -≤ -- ='e x x x ? 故迭代k k x x ln 41-=+ （ ,2,1=k ）对任意初始值]2,1[1∈x 收敛。 对于初值5.11=x ，其迭代值分别为 8959.12=x ，8331.13=x ，8423.14=x ，8409.15=x 由于3154102 1 0014.0-?≤ =-x x ， 故8409.15=x 作为近似值，已精确到了3位有效数字。 3设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代法n n x x cos 3 2 41+=+ (1)证明R x ∈?0均有 * lim x x n n =∞ >-（* x 为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取40=x 用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过3 10-，列出各次迭代值。（和收敛性讨论） 解(1)：x x cos 3 2 4)(+ =?，132sin 32)(<≤-='x x ?（),(∞-∞∈x ） ，故该迭代对任意初值均收敛于方程的根* x 。 解(2)：由** cos 324x x + =，故有3 2314324324310*π ππ-<=+<<-= 2)(**≠-='x x ?，故该迭代的收敛速度是1阶的。 解(3):取40=x ，代入迭代式，可计算出以下结果： 5642.31=x ，3920.32=x ，3541.33=x ，3483.34=x ，3475.35=x 由于3 45100008.0-<=-x x ，取3475.3* ≈x 可满足精度要求。 4设)(* *=x x ?，1)(max <='λ?x ，试证明：由 ,1,0)(1==+n x x n n ? ，得到的序 列{}n x 收敛于* x 。（收敛性证明） 证明：由)(* *=x x ?知，方程)(x x ?=有根。 *01*12***1)()(x x x x x x x x x x n n n n n -≤≤-≤-≤-=-+-+λλλ?? 由10<≤λ，当∞→n 时，有0* 1→-+x x n ，即序列{}n x 收敛于*x 。 5 设方程0sin 233=--x x 在[0,1]内的根为* x ，若采用迭代公式n n x x sin 3 2 11- =+，试 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因, 故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和. 解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 第一章绪论 习题一 1.设R>0,RR的相对误差为δ，求f(R)=lnR的误差限。解：求lnR的误差极限就是求f(R)=lnR的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知RR的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数RR=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1.给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2.在-4≤R≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3.若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4.若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5.求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6.已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(R)=1.0067R+0.08367R(R-0.2)+0.17400R(R-0.2)(R-0.3 ) 由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7.给定f(R)=cosR的函数表 用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差 解：先构造差分表 第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2 数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj 数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 习 题 一 解 答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。 分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。 解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。 （2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差： 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。 解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点， 用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应 取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ； 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q (1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=-- 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 课后习题解答 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案数值分析试题及答案汇总
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