14-15-2A答案
2014 —2015A 卷参考答案
高等数学1-2
一、填空题（共24分，每小题3分） 1.
z x z
+ 2. 12+e 3.0)1(323=-+z e x 4.??4 0 2
),(x x dy y x f dx
5. π2
6. 143
7. ]3 , 3(-
8. x e x c c y 221)(+= 二、选择题（共12分，每小题3分）
1. B
2. A
3. D
4. C 三. 解答题：（共64分） 1.（7分）
解: .令?????=++==+=0
1ln 2),(0)2(2),(2
2
y y x y x f y x y x f y x 得驻点) , 0(1
-e y
x y x f xy y x f y y x f yy xy xx 1
2),( , 4),( , )2(2),(22+
==+= 在驻点),0(1-e 处，e C B e A ==>+=- , 0 , 0)2(22， 因为0)2(222>+=--e e B AC
故11),0(---=e e f 为函数),(y x f 的极小值 2. （7分） 解：
21f x f y x
z
'+'=?? y
f x y f y f y x z
?'?+?'?+'=???2112
)()(22211211
1f y f x x f y f x y f ''-''+''-''+'= 221222111)(f xy f y x f xy f ''-''-+''+'=
解法1：
ρθθρθπ
θ
d d dxdy xy D
?
?
??=2
cos 0
3sin cos
?-=2
5cos cos 41π
θd
24
1
= 解法2：
?
?
??-=1 0
2
x x D
ydy dx x dxdy xy
dx x x x )(211 0 2
?-=
24
1
=
4. （7分）
解：1121)(---=x x x f 2
31121)3(11-+
-
-+=x x n
n n n
n n
x x )23()1(21)3()1(00
-----=∑∑∞=∞
=
n
n n n x )3()2
11()1(0
1
--
-=∑∞
=+ 由?????<-<-<-<-1231131x x ，得可展区间为 42< 5. （7分） 解：原方程可化为:x y x y ln 2 =+' 通解为 ])(l n [2 2 ?+??=- C dx e x e y dx x dx x ]ln [22?+=-C xdx x x ]91 ln 31[332C x x x x +-=- 91 , 1-==y x ，∴0=C ，故所求特解为)1ln 3(9 -=x x y 解：（1） 先求023=+'-''y y y 的通解为Y , 其特征方程为:0232=+-r r ，解得 2 , 121==r r 所以 x x e C e C Y 221+= （2）求原方程的一个特解*y 1=λ是特征方程的单根, 故可设x e B Ax x y )(*+= 记Bx Ax x Q +=2)(，则B Ax x Q +='2)(，A x Q 2)(='' 由x x Q q p x Q p x Q 2)()()()2()(2=+++'++''λλλ，得2 , 1-=-=B A 故 x e x x y )2(*+-= 原方程的通解为 x x x e x x e C e C y )2(221+-+= 7. （8分） 解法1：如图，L +BO 为封闭曲线，设其所围区域为D, 令2cos3P xy x y =-，31sin3Q x y =+ 由格林公式 L BO Pdx Qdy ++?=d D Q P x y σ?? ??-- ???? ??? ??+--=D dxdy y x x y x )]3sin 3(3sin 3[22 4 分 ?? =1 0 0 x dy xdx 5 分 5 2 1 2 3= =?dx x 6 分 0 21 13 BO BO Pdx Qdy Pdx x dx +==-= ? ?? ()L BO BO I Pdx Qdy +=-+=?? 211 5315 = -= 8 分 解法2：2132)3sin 1()3cos (I I dy y x dx y x xydx I L L +=++-+=?? 3 1 2 1 0 2 ()05 OA AB OA I xydx xydx x dx =+==+= ???? 令y x y x P 3cos ),(2-=，y x y x Q 3sin 1),(3+= 因 23sin 3Q P x y x y ??== ??，故2I 与积分路径无关 故??-=-=++-=1 0 23223 1 )3sin 1()3cos (dx x dy y x dx y x I OB 从而 15 1 315221=-=+=I I I 8.（7分） 解法1：由高斯公式 ???Ω -+=dV x x z I )(222 ???=1 2z D dxdy dz z ?-=1 22)(dz z z z π 20 π = 解法2：由高斯公式 ???Ω -+=dV x x z I )(222 dr r d d ?? ? =2 cos 0 422 0 sin cos π ? π ???θ =? 20 7 sin cos 52π ???πd 20 π = 9.（6分） .解：?? ? +=+=t t t t d f e d f d e t f 2 0 2 0 2 0 4 4)2 1 (2)21()(22 ρρρπρρρθπ ππ分) 方程两边对t 求导得 )( 8 8)(2 4t f t e t t f t πππ+=' 即2 4 8)( 8)(t e t t tf t f πππ=-' ] 8[)( 8 4 82C dt e te e t f dt t t dt t +?? =-?ππππ ] 8[2 2 2 4 4 4?+=-C dt e te e t t t ππππ ) 4(2 42 C t e t +=ππ 由于1)0(=f 1=?C 故)1 4()(2 42 +=t e t f t ππ