2016离散复习练习题

（四）

一、判断题（每题1分，共10分）

1.在命运题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是惟一的。 （ ）

2. 011是公式r q p →∧)(的成真赋值 ( )

3.))(())(())()((y G y x F x y yG x xF ??∧????∨?? ( )

4. )()())()((x xG x xF x G x F x ?∨??∨? （ ）

5.三种重要的二元关系是等价关系、偏序关系和函数关系，它们的共同特点是都具有

自反性 。 ( )

6. 设F,R 都是二元关系,则(F ·R)-1=F -1·R -1。 ( )

7.设n 是任意一个正整数,则一定存在阶是n 的群. ( )

8. 布尔代数是有界格,也是分配格. ( )

9.无向完全图n K （n>2）一定是哈密顿图 ( )

10.阶数至少是2 树的每一条边都是桥,因而它的

边连通度是1. （ ） 二、空题（每小题２分，共２０分）

1. 谓词公式?x(P(x,y)∧ ?tQ(t,z)→R(x,y,t))中量词?的辖域是 ___________________。

2.设F(x):x 是人，H(x,y):x 与y 一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样高”的

符号化形式为_______ ___。

3.q p q p →?∧∨)(从公式分类角度来看，它为__________式。

4.设R={<1,1>,<1,2>,<2,3>}，则R 的对称闭包是 。

5.设A,B 是集合，=?=?==B A B A B A 那么，,2,4,3

6.<6Z ，⊕〉是模6加群， 则它的生成元是 。2⊕4=

7．整数加群是循环群，其生成元是 和 。

8.设≤><,A 是偏序集,如果_________ ____, 则称≤><,A 是(偏序)格。

9.一棵二叉树先序遍历得ABDECF ，中序遍历得DBEACF,则后序遍历的结果是________________。

10. r=5,当s= 时，完全二部图s r K ,才可能存在完美匹配。 。

三、计算题（1-4题每题8分；5-6题每题10分，共52分）

1.R 1={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>},R 2={<2,2>,<2,3>,<3,1>}

求：(1) R 1-1 (2) R 1·R 2 (3)R 22 (4)t(R 1)(传递闭包)

2．设G=????

?????? ??-=???? ??-=???? ??--=???? ??=0110,0110,1001,1001d c b a ，G 上的运算是矩阵乘法。已知G 构成群。

（1）指出个元素的阶；

（2）找出G 的全部子群；

（3）在同构的意义下G 是4阶循环群还是Klein 四元群？

3.(1)在一棵有2个2度顶点，4个3度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中应该有几片树叶？

(2)画出两棵非同构的满足上述条件的无向树 。

4.设为一个偏序集，其中，A={1，2，3，4，6，9，24，54},R 是A 上的整除关系。

（1）画出的哈斯图；

（2）求A 的极大元和极小元；

（3）求B={4,6}的上确界和下确界。

5.求公式r q p ?→)(的主和取范式(化成M 1∧M 2∧M 3的形式)。

６．画一棵带权为2，2，2，3，3，4，5，8的最优二叉树T ，并计算它的权W （T ）。

四、证明题（每小题6分，共18分）

1.前提： )(),(s r q r q p →→→→

结论: s q p →∧)(

2.定理（子群判别法1)设H 是群的非空子集，则H ≤G 当且仅当

(1)?a ，b ∈H ， a ?b ∈H ；

(2)?a ∈H ，a －1

∈H 。

利用上述定理证明：设H 是群的非空有限子集。若H 关于?封闭，则H 是G 的子群。

3.用数学归纳法证明n 阶无向树T 有n-1边。 （五）

一、选择题（每小题 2分，共 20 分。请将答案填在下面的表格内）

1、从集合分类的角度看,命题公式可分为( )

A.永真式、矛盾式

B. 永真式、可满足式、矛盾式

C. 可满足式、矛盾式

D. 永真式、可满足式

2、设B 不含有x ，))((B x A x →?等值于 ( )

A.B x xA →?)(

B.))((B x A x ∨?

C.B x xA →?)(

D.))((B x A x ∧?

3、设S,T,M 是集合，下列结论正确的是（ ）

A ．如果S ∪T=S ∪M ，则T=M

B ．如果S-T=Φ，则S=T

C ．S S S =⊕

D ．)(~T S T S =-

4、设R 是集合A 上的偏序关系，则R 不一定是( )

A.自反的

B. 对称的

C. 反对称的

D. 传递的

5 设R 为实数集，定义R 上4个二元运算，不满足结合律的是（ ）。

A. f 1(x,y)= x+y

B. f 2(x,y)=x-y

C. f 3(x,y)=xy

D. f 4(x,y)=max{x,y}

6、设是一个格，则它不满足( )

A.交换律

B. 结合律

C. 吸收律

D. 消去律

7、设A={1,2},则群>?<),(A P 的单位元和零元是( )

A. Φ与A

B. A 与Φ

C. {1}与Φ

D. {1}与A

8、下列编码是前缀码的是( ).

A.{1,11,101}

B.{1,001,0011}

C. {1,01,001,000}

D.{0,00,000}

9、下图中既是欧拉图又是哈密顿图的是（ ）

A ． 9K

B ．10K

C ．3,2K

D ．3,3K

10、下图所示的二叉树中序遍历的结果是（ ）

A ．abcde

B ．edcba

C ．bdeca

D ．badce

二、填空题（每题3分，共24分）

1、含3个命题变项的命题公式的主合取范式为76430M M M M M ∧∧∧∧,

则它的主析取范式为 。(的形势表示成m m ∨)

2、〈4Z ，⊕〉模4加群， 则3是 阶元，3⊕3= ，3的逆元是 。

3、设V=,其中“+”是普通加法。Z x ∈?，令?1(x)=x, ?2(x)=-x,?3(x)=x+5, ?4(x)=2x ，其中有 个自同构.

4、设???

? ??=645132654321π是集合A={1，2，3，4,5,6}上的一个置换，则把它表示成不相交的轮换的积是 。

4、已知n 阶无向简单图G 有m 条边，则G 的补图有 条边。

5、一个有向图是强连通的充分必要条件是 。

7、已知n 阶无向图G 中有m 条边，各顶点的度数均为3。又已知2n-3=m ，

则m= .

8、在下图中从A 点开始，用普里姆算法构造最小生成树，加入生成树的第三条边是 （ ）。

A

B C D 24

三、计算题（每题9分，共 36分）

1、已知命题公式)()(p q q p ∨?→→?，

(1) 构造真值表。 (2) 求主析取范式(要求通过等值演算推出)。

2、R 1={<1,2>,<1,3>,<2,3>}, R 2={<2,2>,<2,3>,<3,4>},求：

(1)21R R - （２）11-R (３) 求12R R

３、设为一个偏序集，其中，A={1，2，3，4，6，9，12，24},R 是A 上的整除关系。

（1）画R 出的哈斯图；

（2）求A 的极大元和极小元；

（3）求B={4,6}的上确界和下确界。

４、画一棵带权为1，1，1，3，3，5，8的最优二叉树T ，并计算它的权W （T ）。

四、证明题（共 20分）

1、（7分）前提： r p q s q p ?∨→→,),(

结论: s r →

2、（7分）A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1)},

R={<(a,b),(c,d)>| (a,b),(c,d)∈A 且a+b=c+d }.

(1)证明：R 是A 上的等价关系．

(2)给出R 确定的对A 的划分(分类).

3、（6分）设>< ,G 是群, },|{x y y x G y G x x S =∈?∈=且对于,

证明S 是G 的子群.

（六）

一、选择题（每小题2分，共20分）

1．一个命题公式或一阶逻辑公式的（ ）是不惟一的。

A ．主析取范式

B ．主合取范式

C ．前束范式

D ．对偶式

2．下列四个公式正确的是

①)()())()((x xB x xA x B x A x ?∧??∧? ②)()())()((x xB x xA x B x A x ?∨??∨? ③)()())()((x xB x xA x B x A x ?∨??∨? ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧???∧?

A.①③

B.①④

C.③④

D.②④

3．设集合A={a ，b ，c ，d ，e}，偏序关系R 的哈斯图下图所示，则元素的关系不正确的是（ ）。

c

f

g A ．d c ≤ B ．e a ≤ C ．c a < D ．e d ≤

4．已知A,B 是集合│A │=15，│B │=10，│A ∪B │=20，则│A ∩B │=（ ）

A ．10

B ．5

C ．20

D ．13

5．X={a ，b ，c ，d ，e}，Y={1，2，3，4}，f 从X 到Y 的映射，其中f(a)=2, f(b)=4,f(c)=1,f(d)=3,f(e)=4,则f 是（ ）

A.双射

B. 满射

C. 单射

D. 不是单射也不是满射

6．设A,B,C 是三个非空集合,则( )是正确的.

A.C B C A B A =??=?

B.C B C A B A =??=?

C.C B C A B A =??=?

D. C B C A B A =?-=-

7．在下图所示的哈斯图中的偏序集不是格的是（ ）

8．下图中,（ ）是欧拉图。

A B C D

9.关于无向树的描述,不正确的是( ).

A. 无向树是连通图、没有回路,每个边都是桥；

B. 无向树是连通图、边数比顶点数少１,任意两个顶点的路径是惟一的；

C.无向树是连通图、没有回路,每个顶点都是割点；

D.无向树是连通图、没有回路，每条边都是割边。

10.关于含有n片树叶的最优二叉树描述,不正确的是( ).

A. 含有n片树叶的最优二叉树每个分支点都有两个孩子；

B. 含有n片树叶的最优二叉树分支点的个数是n-1；

C. W(T)等于个分支点的权重（构造最优二叉树时产生）之和；

D. 在权重一定的前提下，含有n片树叶的最优二叉树是惟一的。

二、计算题（每小题10分，共40分）

1.(1)求p

∨)

)

→

((的主析取范式；

r

q

p→

(2)根据主析取范式直接写出主合取范式；

(3)根据主析取范式直接写出真值表。

2.设集合A={a，b，c，d}，A上的关系R={,,,,} 求：（1）画出R的关系图；

（2）求出R的传递闭包tr(R) ；

(3) tr(R)中再添加一些元素后得D(R)，若使D(R)是等价关系，则tr(R)中再添

哪些元素后得D(R)?

3.(1)下图的最下生成树；

(2)求该图的点连通度和边连通度；

(3)求A到B的最短路径的长度。

A

B

4.(10分)对于下有向图,

(1)写出度序列和出度序列；

(2)写出邻接矩阵A，第一行元素之和的含义是什么？

(3) 求4A,据此说明从A到A的长度为4的回路用多少？

A

三、证明题

1 设A是正整数集合，在A

A?上定义二元关系R如下：

R

v

u

y

x>>∈

<

>

<<,

,

,当且仅当yu

xv=,证明：R为等价关系。

2. 设R为实数集，+为普通加法，?为普通乘法，是一个代数系统，*是R上的一个二元运算，使得R

y

x∈

?,，都有

x*y=x+y+x?y

证明:是含幺独异点。

3.设f

1，f

2

都是一从代数系统到代数系统的同态。设g是从A到B的

一个映射，使得对任意a∈A，都有g(a)=f

1(a) ?f

2

(a)；证明：如果为一个可

交换半群，那么g是一个由到的同态映射。