∴由⑦解出代入①并利用⑧得
⑨
另一方面,再注意到,
再由⑦得
.
因此有
即所求椭圆C的长轴的取值范围为.
点评:欲求圆锥曲线的某个重要参数的取值范围,需要利用或挖掘题目中的不等关系.在这里,我们由导出关于a、b的等式⑦之后,一方面利用了本题中人们熟知的△>0确定的不等式,另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系:a>b>0,双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用,乃是解题成功的关键.
四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用
所给问题中的某些点,注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点,又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此,点在圆锥曲线内部的充要条件,便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中,常用的充要条件为:
1、
2、
3、
4、
例、已知椭圆的焦点为,过点且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,
,又椭圆上不同两点A、C满足条件:成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)设弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m,求m的取值范围.
解:
(1)由题设得2a=10,c=4
∴a=5,b=3,c=4
∴椭圆方程为
(2)(设而不解)设
则由题意得
①
故有点
∵A、C在椭圆上
∴
两式相减得
②
∴由①及所设得③
∴弦AC的垂直平分线方程为
∴由题意得④
注意到当x=4时椭圆上点的纵坐标为,又点在椭圆内部
故得⑤
于是由④、⑤得
∴所求的取值范围为
点评:此题解法充分体现了“以我为主”的思想。以我为主:以我所引入的参数诠释已知条件,以我所引入的参数构造弦的斜率,以我对这一解的认知决定解题策略……,本解法以运用自设参数为主而将所给的y=kx+m放在十分次要的位置,从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中,待抬头看题设时,解题已经胜利在望。想一想:这里为什么可以不用直线方程y =kx+m与椭圆方程联立。
五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用
“相等”与“不等”是辩证的统一,根据“相等”与“不等”之间相互依存的辩证关系,椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等”关系,那么必然蕴含这隐蔽的“不等”关系。因此,对于椭圆或双曲线的探求范围问题,适时认知并发掘出本题的不等关系,往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有:
1、
2、
例、已知双曲线的左、右焦点分别为、,若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与成等比数列,求离心率e的取值范围.
分析:寻求e的范围的一般途径为
(1)认知或发掘出本题的不等关系;
(2)将(1)中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式;
(3)将(2)中的不等式演变为关于e的不等式,进而通过解这一不等式导出所求范围.
其中,有关双曲线上点P处的两条焦点半径的问题,定义中明朗的等量关系:是认知或求值的理论基础;而定义中隐蔽的不等关系:则是寻求参量范围的重要依据。
解:
(1)确立不等关系
注意到这里①
(2)不等关系演变之一
设左支上的点P到左准线的距离为d,
则由题意得
(变形目的:利用第二定义,寻找两焦半径与e的联系)
∴②
又点P在双曲线左支上
∴(点P在左支这一条件的应用)③
∴由②③解得④
∴将④代入①得⑤
(3)不等关系演变之二:
由⑤得
故解得
于是可知,所求离心率e的范围为
第三部分直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习
之一)
众所周知,直线与圆锥曲线的问题,是解析几何解答题的主要题型,是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们,欲更快地提高解决这类问题的实践能力,需要切实解决好以下两个问题:
(1)条件或目标的等价转化;
(2)对于交点坐标的适当处理。
本文试从上述两个问题的研究切入,对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索,希望对高考备考有所帮助。
一、条件或目标的认知与转化
解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说,解题,就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而,转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础,我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。
1、化生为熟
化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中,弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此,由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题,要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功,解题便得以驾轻就熟,胜券在握。
(1)向弦中点问题转化
例1.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为(1)求双曲线方程;
(2)若直线(km≠0)与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上,求m的取值范围。
略解:
(1)所求双曲线方程为(过程略)
(2)由消去y得:
由题意知,当时,①
设中点
则C 、D 均在以A 为圆为的同一圆上
又
∴ ②
于是由②得 ③
由②代入①得
,解得m<0或m>4 ④
于是综合③、④得所求m 的范围为
(2)向弦长问题转化
例2.设F 是椭圆
的左焦点,M 是C 1上任一点,P 是线段FM 上的点,且满足
(1)求点P 的轨迹C 2的方程;
(2)过F 作直线l 与C 1交于A 、D 两点,与C 2交点B 、C 两点,四点依A 、B 、C 、D 顺序排列,求使 成立的
直线l 的方程。
分析:为避免由代换
引发的复杂运算,寻觅替代
的等价条件:设弦AD 、BC 的中点分别为
O 1、O 2,则,故 ,据此得 于是,所给问题便转化为弦长与弦中点
问题。
略解:
椭圆C 1的中心
点P 分 所成的比λ=2。
(1)点P 的轨迹C 2的方程为 (过程略)
(2)设直线l 的方程为 ①
①代入椭圆C
的方程得
1
,
故有
坐标为
故弦AD中点O
1
②
的方程得,
①代入椭圆C
2
又有
故弦BC中点O
坐标为
2
③
∴由②、③得④
注意到⑤
于是将②、③、④代入⑤并化简得:
由此解得。
因此,所求直线l的方程为
2.化繁为简
解析几何是用代数计算的方法解决几何问题,因此,解答解析几何问题,人们都有这样的共同感受:解题方向或途径明朗,但目标难以靠近或达到。解题时,理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现?既能想到,又能做到的关键,往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略,除去“化生为熟”之外,重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。
(1)借助投影
对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题,当题设条件的直接转化颇为繁杂时,不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法;将线段上有关各点向x轴(或y轴或其它水平直线)作以投影,进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化,这一手法往往能够有效地化解难点,将人们引入熟悉的解题情境。
例3.如图,自点M(1,-1)引直线l交抛物线于P
1 、P
2
两点,在线段P
1
、P
2
上取一点Q,使、、
的倒数依次成等差数列,求点Q的轨迹方程。
解:设
又设直线l的方程为①
①代入得
由题意得
或②且③又由题意得④
作P
1、Q、P
2
在直线y=-1上的投影P
1
′、Q′、P
2
′(如图)
又令直线l的倾斜角为则由得
∴
同理,
平面向量历年高考题汇编难度高
数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1.★★(2014·辽宁卷L) 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b∥c ,则a∥c ,则下列命题中真命题是 ( ) A .p ∨q B .p ∧q C .)()(q p ?∧? D .)(q p ?∨ 2.★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB → 与AC → 的夹角为________. 3.★★(2014·四川卷) 平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,则=+FC EB ( ) A . B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OD OC OB OA +++等于 ( ) A .OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★(2011浙江L )若平面向量,αβ满足1,1a β=≤,且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ,则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★(2014浙江 L )记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?,,min{,},y x y x y x x y ≥?=?,设,a b r r 为平面向量,则( ) A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ C.2 222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2 222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+
高考数学平面向量专题卷(附答案)
高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()
A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高中平面解析几何知识点总结
高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线 的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意 直线.
(4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,有
高考专题突破四 高考中的立体几何问题
高考专题突破四高考中的立体几何问题 【考点自测】 1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,E为A1C1的中点,则DE与平面A1B1BA的位置关系为() A.相交B.平行 C.垂直相交D.不确定 答案 B 解析如图取B1C1的中点为F,连接EF,DF, 则EF∥A1B1,DF∥B1B, 且EF∩DF=F,A1B1∩B1B=B1, ∴平面EFD∥平面A1B1BA, ∴DE∥平面A1B1BA. 2.设x,y,z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形: ①x,y,z均为直线;②x,y是直线,z是平面;③z是直线,x,y是平面;④x,y,z均为平面. 其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的是() A.③④B.①③C.②③D.①② 答案 C 解析由正方体模型可知①④为假命题;由线面垂直的性质定理可知②③为真命题. 3.(优质试题届辽宁凌源二中联考)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为()
A.2+π 3 B.1 2+π C.2+π 6 D. 2 3+π 答案 D 解析结合三视图可知,该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的 三棱锥组成的组合体,其体积为V=1 3× 1 2×2×1×2+ 1 2×π×1 2×2= 2 3+π, 故选D. 4.(优质试题·天津滨海新区模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ①BD⊥AC; ②△BAC是等边三角形; ③三棱锥D-ABC是正三棱锥; ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是() A.①②④B.①②③ C.②③④D.①③④ 答案 B 解析由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角
高三第二轮复习平面向量复习专题
数学思维与训练 高中(三) ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分,是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题,向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中,在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用,并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1. 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中,主要考查平面向量的有关概念与性质,要求考生深刻理解平面向量的相关概念,能熟练进行向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1.(北京卷) | a |=1,| b |=2,c = a + b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 2.(江西卷·理6文6) 已知向量 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 3.(重庆卷·理4)已知A (3,1),B (6,1),C (4,3),D 为线段BC 的中点,则向 量与 的夹角为 ( C ) A . B . C . D .- 4.(浙江卷)已知向量≠,||=1,对任意t ∈R ,恒有| -t |≥| -|,则 ( ) 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用
高三数学精准培优专题练习8:平面向量
培优点八 平面向量 1.代数法 例1:已知向量a ,b 满足=3a ,b 且()⊥+a a b ,则b 在a 方向上的投影为( ) A .3 B .3- C . D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ,所以只需求出a ,b 即可. 由()⊥+a a b 可得:()2 0?+=+?=a a b a a b , 所以9?=-a b .进而?==a b b .故选C . 2.几何法 例2:设a ,b 是两个非零向量,且2==+=a b a b ,则=-a b _______. 【答案】【解析】可知a ,b ,+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线, 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ,边长2a =的菱形, =. 3.建立直角坐标系 例3:在边长为1的正三角形ABC 中,设2BC BD =uu u v uu u v ,3CA CE =uu v uu u v ,则AD BE ?=u u u v u u u v __________. 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题,本周仍以此题为例,从另一个角度解题,
观察到本题图形为等边三角形,所以考虑利用建系解决数量积问题, 如图建系: 3 0, A ?? ? ? ?? , 1 ,0 2 B ?? - ? ?? , 1 ,0 2 C ?? ? ?? , 下面求E坐标:令() , E x y,∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v , 13 2 CA ? =- ?? uu v , 由3 CA CE = uu v uu u v 可得: 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? , ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v , 53 6 BE ? = ?? uu u v ,∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v . 一、单选题 1.已知向量a,b满足1 = a,2 = b,且向量a,b的夹角为 4 π ,若λ - a b与b垂直,则实数λ的值为() A. 1 2 -B. 1 2 C. 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b,故选D.2.已知向量a,b满足1 = a,2 = b,7 += a b?= a b() A.1 B2C3D.2 【答案】A 对点增分集训
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围 0 180 (2)经过两点的直线的斜率公式是 (3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ,其斜率分别为k1, k2 ,则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地, 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时,l1与l2 的关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在,设为k1, k2 ,则l1 l2 k1 k2 1 注:两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率 之积为 -1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时, l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点,k 为斜率 斜截式k 为斜率, b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距, b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ,B,C 为系数无限制,可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是,两条 直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条 直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平 行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1 )两点间的距离平面上的两点间的距离公式 (2)点到直线的距离 点到直线的距离; (3)两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注:(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用 公式计算 (二)直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法: 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ,则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1.如图,圆O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 为劣弧AC 的中点,则OD =u u u r ( ) A .2133BA AC +u u u r u u u r B .2133BA A C -u u u r u u u r C .1233BA AC +u u u r u u u r D .4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E ,列出相应式子得出结论. 【详解】 解:连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E , 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选:A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法,结合几何特点,考查分析能力,属于中档题. 2.已知正ABC ?的边长为4,点D 为边BC 的中点,点E 满足AE ED u u u r u u u r =,那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为( ) A .8 3 - B .1- C .1 D .3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ,即可求得cos ∠BEC ,由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可. 【详解】
由已知可得:7 , 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B . 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式,属中档题. 3.若向量a b r r ,的夹角为3 π ,|2|||a b a b -=+r r r r ,若()a ta b ⊥+r r r ,则实数t =( ) A .1 2 - B . 12 C 3 D .3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ,结合条件可得b a =r r ,又由()a ta b ⊥+r r r ,可得20t a a b ?+?=r r r ,即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ,也即22cos 3 b a b π =r r r ,所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ,得()0a ta b ?+=r r r ,即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选:A
高考数学专题复习与策略专题平面解析几何突破点圆锥曲线中的综合问题专题限时集训理
专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题 [建议用时:45分钟] 1.(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1, F 2,点B (0,3)为短轴的一个端点,∠OF 2B =60°. 图15-4 (1)求椭圆C 的方程; (2)如图15-4,过右焦点F 2,且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ,E 两点,A 为椭圆的右顶点,直线AE ,AD 分别交直线x =3于点M ,N ,线段MN 的中点为P ,记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由. [解] (1)由条件可知a =2,b =3,故所求椭圆方程为x 24+y 2 3=1.4分 (2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y =k (x -1). 由????? y =k x -1,x 24+y 23 =1,可得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2 -12=0.5分 因为点F 2(1,0)在椭圆内,所以直线l 和椭圆都相交,即Δ>0恒成立.设点E (x 1,y 1), D (x 2,y 2), 则x 1+x 2=8k 2 4k 2+3,x 1x 2=4k 2 -124k 2+3.6分 因为直线AE 的方程为y =y 1x 1-2(x -2),直线AD 的方程为y =y 2 x 2-2 (x -2), 令x =3,可得M ? ? ??? 3, y 1x 1-2,N ? ????3,y 2x 2-2,所以点P 的坐标? ????3,12? ????y 1x 1-2+y 2x 2-2.8分 直线PF 2的斜率为k ′=12? ?? ??y 1 x 1-2+y 2x 2-2-0 3-1 =14·x 1y 2+x 2y 1-2y 1+y 2x 1x 2-2x 1+x 2+4=14·2kx 1x 2-3k x 1+x 2+4k x 1x 2-2x 1+x 2+4
专题10 立体几何(重难点突破)学生版
专题10 立体几何 【重难点知识点网络】: 【重难点题型突破】: 一、证明直线、平面的平行与垂直 例1.(2020·海南高三一模)如图,三棱锥S ABC -的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形,且平面SBC⊥平面ABC. (1)若P点是线段SA的中点,求证:SA⊥平面PBC; (2)点Q在线段出上且满足 1 3 AQ AS =,求BQ与平面SAC所成角的正弦值.
例2.(2020·全国高三其他模拟)如图,三棱柱111ABC A B C -中,平面11A ACC ⊥平面ABC ,ABC 和1A AC 都是正三角形,D 是AB 的中点. (1)求证:1//BC 平面1A DC ; (2)求二面角11A DC C --的余弦值.
二、体积问题 例3.(2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟)在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11ABB A ⊥底面ABC ,90ABC ∠=?,且侧面11ABB A 为菱形. (1)证明:1A B ⊥平面11AB C ; (2)若160A AB ∠=?,2AB =,直线1AC 与底面ABC 1C ABA -的体积.
例4.(2020·四川省眉山市高三二诊(文))如图,在长方体中,,为的中点,为的中点,为线段上一点,且满足,为的中点. (1)求证:平面; (2)求三棱锥的体积; (3)求直线与直线所成角的余弦值. 1111ABCD A B C D -1224AB BC AA ===E 11A D N BC M 11C D 11114 MC D C =F MC //EF 1A DC 1C FCN -1A D CF
53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)
专题26 平面向量(知识梳理) 一、向量的概念及表示 1、向量的概念:具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。 (2)向量的表示方法: ①具有方向的线段,叫做有向线段,以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量,读作向量AB ; ②用小写字母表示:a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系: ①向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段; ③向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模:向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作||。 3、零向量:长度等于零、方向是任意的向量,记作。 4、单位向量:长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量:(1)若非零向量a 、的方向相同或相反,则b a //,又叫共线向量; (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量:若非零向量a 、方向相同且模相等,则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量:=?模相等,方向相同; (2)相反向量:b a -=?模相等,方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ,作a AB =,b BC =,则A 、B 、D 三点不共线,以AB 、AD 为邻边 作平行四边形,则对角线上的向量b a AC +=,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量,依次把这n 个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量,这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作a -。 (1)规定:零向量的相反向量仍是零向量; (2)a a =--)(; (3)0)()(=+-=-+a a a a ; (4)若a 与b 互为相反向量,则b a -=,a b -=,0=+b a 。 2、向量的减法:已知向量a 与b (如图),作a OA =,b OB =,则a BA b =+,向量BA 叫做向量a 与b 的差,并记作b a -,即OB OA b a BA -=-=,由定义可知: (1)如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量; (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ,或简记为“终点向量减始点向量”;
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析
高中数学《平面解析几何》期末考知识点 一、选择题 1.已知椭圆22 1259 x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4,那么点M 到另一个 焦点的距离等于( ) A .1 B .3 C .6 D .10 【答案】C 【解析】 由椭圆方程可得225210a a =∴= ,由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C . 2.已知椭圆2 2 :12 y C x +=,直线:l y x m =+,若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称, 则m 的取值范围是( ) A .? ?? B .? ?? C .? ?? D .? ?? 【答案】C 【解析】 【分析】 设()11,A x y ,()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点,AB 的中点为()00,M x y ,根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称,将A ,B 两点代入椭圆方程,两式作差可得 002y x =,点M 在椭圆C 内部,可得2221m m +<,解不等式即可. 【详解】 设()11,A x y ,()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点,AB 的中点为()00,M x y , 则1202x x x +=,1202y y y +=,1AB k =-. 又因为A ,B 在椭圆C 上,所以2211 12y x +=,2 2 2212 y x +=, 两式相减可得 1212 1212 2y y y y x x x x -+?=--+,即002y x =. 又点M 在l 上,故00y x m =+,解得0x m =,02y m =. 因为点M 在椭圆C 内部,所以2221m m +<,解得m ?∈ ?? . 故选:C 【点睛】 本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想,属于基础题.
数学专题突破:立体几何
高三数学第二轮复习专题——立体几何专题复习 1、如图,已知面ABC ⊥面BCD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,且AB=BC=CD ,设AD 与面AB C 所成角为α,AB 与面ACD 所成角为β,则α与β的大小关系为 (A )α<β (B )α=β (C )α>β (D )无法确定 2、下列各图是正方体或正四面体,P ,Q ,R ,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共面... 的一个图是 P P P P Q Q Q Q R R R R S S S S P P P P Q Q Q Q R R R R S S S S P P P P Q Q Q Q R R R R S S S S P P P P Q Q Q Q R R R R S S S S (A ) (B ) (C ) (D ) 3、在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 是对角线A 1C 上的点,且PQ = 2 a ,则三棱锥P -BDQ 的体积为 (A )3363a (B )3183a (C )324 3a (D )无法确定 4、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直,长度分别为3cm ,2cm 和3cm ,则此球的体积为 (A ) 33312cm π (B )33 3 16cm π (C )3316cm π (D )3332cm π 5、如图,在一根长11cm ,外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成10个螺旋,如 果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上,则铁丝长度的最小值为 (A ) 61cm (B )157cm (C )1021cm (D )1037cm 6、设a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题: ① 若b a ⊥,α⊥a ,α?b ,则α//b ;②若α//a , βα⊥,则β⊥a ; ③若β⊥a ,βα⊥,则α//a 或α?a ;④若b a ⊥,α⊥a ,β⊥b ,则βα⊥ 其中准确命题的个数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 7、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等,如果E 、F 分别为SC ,AB 的中点,那 么异面直线EF 与SA 所成角为 ( ) A .090 B .060 C .045 D .030 8.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中: ①BM 与DE 平行; ②CN 与BE 是异面直线; ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中,准确的是 ( )
历年平面向量高考试题汇集学习资料
历年平面向量高考试 题汇集
高考数学选择题分类汇编 1.【2011课标文数广东卷】已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实 数,(a +λb)∥c ,则λ=( ) A.14 B .1 2 C .1 D .2 2.【2011·课标理数广东卷】若向量a ,b ,c 满足a ∥b 且a ⊥c ,则c·(a +2b)=( ) A .4 B .3 C .2 D .0 3.【2011大纲理数四川卷】如图1-1,正六边形ABCDEF 中,BA →+CD →+EF →= ( ) A .0 B.BE → C.AD → D.CF → 4.【2011大纲文数全国卷】设向量a ,b 满足|a|=|b|=1,a·b =-1 2,则|a +2b|=( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5.【2011课标文数湖北卷】若向量a =(1,2),b =(1,-1),则2a +b 与a -b 的夹角等于( ) A .-π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6.【2011课标理数辽宁卷】若a ,b ,c 均为单位向量,且a·b =0,(a -c)·(b -c)≤0,则|a +b -c|的最大值为( ) A.2-1 B .1 C. 2 D .2 【解析】 |a +b -c|=(a +b -c )2=a 2+b 2+c 2+2a·b -2a·c -2b·c ,由于a·b =0,所以上式=3-2c·(a +b ),又由于(a -c)·(b -c)≤0,得(a +b)·c ≥c 2=1,所以|a +b -c|=3-2c·(a +b )≤1,故选B. 7.【2011课标文数辽宁卷】已知向量a =(2,1),b =(-1,k),a·(2a -b)=0,则k =( ) A .-12 B .-6 C .6 D .12
高考专题突破四(高考中的立体几何问题)解析
(时间:70分钟) 1.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( ) A .4 B.143 C.163 D .6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得:V =13(2×2+1×1+2×2×1×1)×2=14 3 . 2.已知α,β是两个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若m ⊥α,m ?β,则α⊥β;
②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β; ③如果m?α,n?α,m、n是异面直线,那么n与α相交; ④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,则n∥α且n∥β. 其中正确的是() A.①②B.②③ C.③④D.①④ 答案D 解析根据面面垂直的判定定理知①正确;②若m∥n,则得不出α∥β,错误;③n与α还可能平行,错误;易知④正确. 3.如图梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E、F分别是AB、CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,给出四个结论: ①DF⊥BC; ②BD⊥FC; ③平面DBF⊥平面BFC; ④平面DCF⊥平面BFC. 在翻折过程中,可能成立的结论是________.(填写结论序号) 答案②③ 解析因为BC∥AD,AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不垂直,则①不成立;设点D 在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4,可使条件满足,所以②正确;当点P落在BF上时,DP?平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以③正确;因为点D的射影不可能在FC上,所以平面DCF⊥平面BFC不成立,即④错误.故答案为②③.
高考平面向量及其应用专题及答案 百度文库
一、多选题 1.下列说法中错误的为( ) A .已知(1,2)a =,(1,1)b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B .向量1(2,3)e =-,213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C .若//a b ,则a 在b 方向上的投影为||a D .非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-,则a 与a b +的夹角为60° 2.已知ABC 的三个角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos A b B a =,则该三角形的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 3.在ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 2sin c A =,且 02 C << π ,4b =,则以下说法正确的是( ) A .3 C π = B .若72 c = ,则1cos 7B = C .若sin 2cos sin A B C =,则ABC 是等边三角形 D .若ABC 的面积是4 4.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 5.已知点()4,6A ,33,2B ??- ??? ,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33?? ??? B .97,2?? ??? C .14,33??-- ??? D .(7,9) 6.ABC 中,2AB =,30ACB ∠=?,则下列叙述正确的是( ) A .ABC 的外接圆的直径为4. B .若4A C =,则满足条件的ABC 有且只有1个 C .若满足条件的ABC 有且只有1个,则4AC =
高考数学-平面向量专题复习
平面向量 【考点例题解析】 考点1.共线定理应用 例一:平面向量→ →b a ,共线的充要条件是( ) A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一:对于非零向量→ →b a ,,“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二:设→ →b a ,是两个非零向量( ) A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ,则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _,则存在实数λ,使得 → → =a b λ D 若存在实数λ,使得→ → =a b λ,则→ → → → =+b a b a _ 例二:设两个非零向量→ → 21e e 与,不共线, (1)如果三点共线;求证:D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= (2)如果三点共线, 且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一:设→ →21e e 与两个不共线向量,,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线,求实数 k 的值。 变式二:已知向量→ →b a ,,且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一:设P 是三角形ABC 所在平面内的一点,,2BA BC BP += 则( ) A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一:已知O 是三角形ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且OC OB OA ++=20,那么( )A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二:在平行四边形ABCD 中a AB =,b AD =,NC AN 3=,M 为BC 的中点,则=MN ( 用b a ,表示) 例二:在三角形ABC 中,c AB =,b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+
专题07 立体几何初步(重难点突破)教师版
专题07 立体几何初步 【重难点知识点网络】: 一、空间几何体的有关概念 1.空间几何体 对于空间中的物体,如果我们只考虑其形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体. 2.多面体 (1)多面体:一般地,我们把由若干个围成的几何体叫做多面体. (2)多面体的面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC ′B′等. (3)多面体的棱:相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 如图中棱AA′,棱BB′等. (4)多面体的顶点:棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 如图中顶点A,B,C等. 3.旋转体 (1)旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体,它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成. (2)旋转体的轴:平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.
二、几种最基本的空间几何体 1.棱柱的结构特征 ①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF?A′B′C′D′E′F′. ②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示 为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱. ①棱柱的底面:棱柱中,两个互相的面叫做棱柱的底面,简称底. ③棱柱的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.
①底面互相 . ②侧面都是 . 2.棱锥的结构特征
(完整版)平面向量高考真题精选(一)
平面向量高考真题精选(一) 一.选择题(共20小题) 1.(2017?新课标Ⅱ)设非零向量,满足|+|=|﹣|则() A.⊥B.||=||C.∥D.||>|| 2.(2017?新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则?(+)的最小值是() A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1 3.(2017?浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=?,I2=?,I3=?,则() A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3 4.(2017?新课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为() A.3 B.2 C.D.2 5.(2016?四川)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 6.(2016?新课标Ⅱ)已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=() A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 7.(2016?天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、
BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为()A.﹣ B.C.D. 8.(2016?山东)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为() A.4 B.﹣4 C.D.﹣ 9.(2016?四川)在平面内,定点A,B,C,D满足==,?=?=?=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 10.(2016?新课标Ⅲ)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120° 11.(2015?新课标Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B. C.D. 12.(2015?新课标Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=() A.(﹣7,﹣4)B.(7,4) C.(﹣1,4)D.(1,4) 13.(2015?四川)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=()A.2 B.3 C.4 D.6 14.(2015?山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.﹣a2B.﹣a2C.a2 D.a2 15.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N