几个有趣的概率悖论

·几个有趣的概率悖论

所谓悖论，是一个逻辑学的术语，原本是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述。数学中经常有各种各样的悖论，有些在数学哲学史上产生过重要影响．一些著名的悖论曾使高明的哲学家与数学家为之震惊，为之绞尽脑汁，并引发了人们长期艰难而深人的思考。其中最有震撼力的一个悖论应该是罗素关于集合论的悖论，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”．概率论中也有一些有趣的悖论，下面列出几个以引发大家思考。

悖论一：

A、B、C三个人被关在一个狱里。第二天，三人中有一人且只有一人将被执行死刑，另外两人将被释放，而看守知道哪个人将被执行死刑，哪两个人将会获释。A知道自己会被执行死刑的概率是，另外两人中至少一个人会被释放，于是A写了一封家书，想托B或C中能获释的一个人带出去。A想问问看守，到底应该把信交给谁（即B和C到底谁能获释）。看守想：“此时A被执行死刑的概率是，若我把B或C中那个会获释的人告诉了A，那么只有两人可能被执行死刑，A被执行死刑的概率就上升到了，如果自己隐瞒这个信息，A被执行死刑的概率还会是”。现在的问题是，A明明知道B和C中一定会有一个被释放，为什么自己不知道这个人是谁时，自己被执行死刑的概率是，而知道了这个人是谁时，自己被执行死刑的概率就上升到了了呢？或者说，两人中反正有一个肯定会被释放，知道不知道这个人的名字为什么会影响自己被执行死刑的概率呢？

问题的答案是：看守的担心是没有必要的，不论他是否把B、C中一个会被释放的人的名字告诉A，A还是只有。我们这样来分析：

如果A什被执行死刑（这个事的概率是），那么看守可以选择B或C告诉A，选A还是选B是等可能的，因此，“A被执行死刑且看守告诉A：B会释放”这件事的概率是的，也就是。表中的其他情况可以类似的分析。现在我们来看，如果看守告诉A，明天B会被释放，我们看看此时A被执行死刑的概率是多大。从表中可以看出，此时只有情况1a或3可能发生，而情况3发生的概率是情况1a发生的概率的2倍，因此，情况1a发生的概率是而情况3发生的概率是，也就是此时C执行死刑的概率上升了。

与这个悖论相关的，有一个有意思的问题：

假设你在参与一个游戏节目，有三扇门，其中两扇门后面是山羊，另一扇门后面是轿车，你可以选择一扇门，门后的东西就归你了。现在你选择了一扇门，比如1号门，而知道另外两扇门后面是什么的主持人给你打开了另两扇门中的一扇，比如2号，里面是山羊，你现在需要作一个决定：你改变自己的选择吗？也就是说你还是坚持选择1号门还是改选3号门？

据说这个问题和解答曾在美国中央情报局的办公室内、在波斯飞机驾驶员的营房内引起过争论，也曾被麻省理工学院的数学家们和新墨西哥州洛斯阿拉莫斯实验室的计算机程序员们进行过分析。读者朋友，你怎样看呢？

《数学课程标准》在谈概率教学时，谈到了游戏规则公平性的问题，下面这个悖论与此有关。

悖论二：

张三有两张扑克牌：1和10，李四也有两张：5和9，王五也有两张：3和6。现在张三和李四玩游戏：两个各自从自己的扑克牌中随机抽出一张，比较数字，大者胜。请问这个游戏规则公平吗？若张三和王五玩这个游戏呢？

答案是：规则是公平的。分析起来不难：事实上，这个游戏的结局与李四摸到哪张牌没有关系，如果张三摸到1，李四无论摸到哪张都胜，如果张三摸到1 0，李四无论摸到哪张都负。于是，这个游戏就相当于张三从1和10两张牌中摸出一张，若张三摸到1则李四胜，若张三摸到10则张三胜，显然，张三李四获胜的概率都是，规则是公平的。类似的分析也可以得出，张三和王五玩这个游戏也是公平的。

现在的问题是：若李四与王五玩这个游戏，也是公平的吗？

按说，“公平”也应象“相等”一样，有传递性，相等的传递性即：A=B,B= C A=C.李四与张三玩游戏公平且张三与王五玩游戏公平是否可以得到李四与

王五玩游戏也公平呢？仔细分析一下可以看出，这里李四与王五玩这个游戏并不公平。李四与王五各摸一张牌，会出现四种结果：（5，3），（5，9），（9，3），（9，6），这四种结果出现的概率是相等的，四种结果中，只有出现（5，9）这一种结果时，王五可以获胜，因此，在这个游戏中，王五获胜的概率为，而李四获胜的概率是。

悖论三：

你的一个新朋友家里恰好有两个小孩，且至少有一个是女孩，请问：这个家庭有两个女孩的概率是多少？

在考虑这类问题时，我们通常要先作一个假设，那就是生一个小孩，是男孩和是女孩的概率是相等的，即这两个事件是等可能的。

分析1：我们这样来理解这个问题：你问你的新朋友：“你有孩子吗？”，答：有两个，你再问：有女孩吗？答：有。那两个孩子都是女孩的概率是多少？我们用G表示女孩，B表示男孩，那么一个家庭有两个孩子，其性别情况有如下可能（按年龄顺序排列）：GG、GB、BG、BB。这四种情况是等可能的，现在已知一个信息，那就是至少有一个女孩，那么以上四种情况中，BB这种情况是不可能存在的，只剩下另外三种情况，这三种情况同样是等可能的，两个女孩（GG）是其中一种，因此，恰好有两个女孩的概率是。

我们现在还是来讨论同一个问题，只是换一种分析方法。

分析2：我们这样来理解这个问题：你碰到你的新朋友，她身边有个小姑娘，你问她：你有小孩吗？她回答：有两个。你再问：有女孩吗？她指着身边的女孩回答：这个就是。那么，你这位朋友有两个女孩的概率是多大？这个问题事实上是：如果你有一个女孩，另一个也是女孩的概率有多大？或者说，你的朋友有两个小孩子，你见到了一个女孩，那么没见到的那个也是女孩的概率是多大？显然是。

问题是，看起来是同样一个问题，我们所得到的信息也好象一样，可为什么有两个不同的答案呢？有一个用抛硬币来类比分析这个悖论的说法，我们用1

角硬币和伍角硬币各一枚来分析，让一个学生抛这两枚硬币并报告情况，我们来分析以下几种报告方法：

1．如果两枚硬币都是国徽，他说：“至少有一枚硬币是国徽。”如果两枚硬币都是字，他说：“至少有一枚硬币是字。”如果两枚硬币不相同，他说：“至少有一枚是……。”（国徽和字由他随便说一个）。无论他说的是什么，两个硬币都是一样的概率是什么？是。

2．这个学生进而又同意只是在出现国徽时才叫：“至少有一枚硬币是国徽。”如果没有一枚硬币是国徽，他就什么也不说，重来一次。这时，两枚硬币那是国徽的概率是多少？（因为现在两枚都是字的情况已排除在外了）。

3．学生进而又同意按一角硬币落下的情况叫，即按一角硬币的国徽朝上或字朝上叫。这时，两个硬币一样的概率是多少？是。

4．学生又同意这样叫：只当一角的硬币是国徽时才叫：“至少有一枚是国徽。”这时两枚硬币都是国徽的概率是多少？是。

可以看出，“这个家庭有两个女孩的概率是多少？”是一个不明确的问题，我们的第一种分析对应于上面的情况2，而第二种分析对应于情况4。