万有引力与航天习题 教师版

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单元小结练 万有引力与航天

(限时:45分钟)

1.(福建理综·13)设太阳质量为M ,某行星绕太阳公转周期为T ,轨道可视作半径为r 的圆.已

知万有引力常量为G ,则描述该行星运动的上述物理量满足

( )

A .GM =4π2r 3

T 2

B .GM =4π2r 2

T 2

C .GM =4π2r 2

T 3

D .GM =4πr 3

T

2

答案 A

解析 太阳对行星的万有引力提供向心力,即GMm r 2=m 4π2T 2r ,整理可得GM =4π2T 2r 3

,故

A 正确.

2.由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,这些卫星的( )

A .质量可以不同

B .轨道半径可以不同

C .轨道平面可以不同

D .速率可以不同

答案 A

解析 地球同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同且与地球自转“同步”,所以它们的轨道平面都必须在赤道平面内,故C 项错误;由ω=2πT 、mRω2=G Mm

R 2可得R =

3GMT 2

4π2,由此可知所有地球同步卫星的轨道半径都相同,故B 项错误;由v =Rω,ω=2πT 可得v =2πR T .可知所有地球同步卫星的运转速率都相同,故D 项错误;而卫星的质量不影响运转周期,故A 项正确.

3.如图1所示,某次发射同步卫星时,先进入一个近地的圆轨道,然后在P 点经极短时间

点火变速后进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P 点,远地点为同步轨道上的Q 点),到达远地点时再次经极短时间点火变速后,进入同步轨道.设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v 1,在P 点经极短时间变速后的速率为v 2,沿转移轨道刚到达远地点Q 时的速率为v 3,在Q 点经极短时间变速后进入同步轨道后的速率为v 4.下列关系正确的是

( )

图1

A .v 1

B .v 4

C .v 3

D .v 4

答案 BCD

解析 在P 点经极短时间点火,速度增大后进入椭圆形转移轨道,v 2>v 1;卫星在椭圆轨道上运动,机械能守恒,v 3

r 2=m v 2r ,

v =

GM

r

,由此可知,v 4

做周期相同的匀速圆周运动.根据宇宙大爆炸理论,双星间的距离在不断缓慢增加,设双星仍做匀速圆周运动,则下列说法错误的是

( )

A .双星相互间的万有引力减小

B .双星做圆周运动的角速度增大

C .双星做圆周运动的周期增大

D .双星做圆周运动的半径增大 答案 B

解析 由m 1r 1ω2=m 2r 2ω2及r 1+r 2=r 得,r 1=m 2r m 1+m 2,r 2=m 1r

m 1+m 2,可知D 正确;F

=G m 1m 2

r 2=m 1r 1ω2=m 2r 2ω2,r 增大,F 减小,A 正确;r 1增大,ω减小,B 错误;由T

=2π

ω

知T 增大,C 正确. 5.2010年诺贝尔物理学奖授予英国的安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫,表彰他们在石

墨烯材料方面的卓越研究.它是目前世界上已知的强度最高的材料,为“太空电梯”缆线的制造提供了可能.近日,日本大林建设公司公布了建造“太空电梯”计划,希望到了2050年,人们不需要搭乘太空船,只要搭电梯就能够圆太空梦.如图2所示,假设有一个从地面赤道上某处连向其正上方地球同步卫星的“太空电梯”.关于“太空电梯”缆线上各处,下列说法正确的是

( )

图2

A .重力加速度相同

B .线速度相同

C .角速度相同

D .各质点处于完全失重状态

答案 C

解析 由G Mm (R +h )2=mg 得g =GM

(R +h )2,可见离地面高度不同,其重力加速度大小不同,选项A 错误;缆线上各处的角速度均与地球自转角速度相同,选项C 正确;由v =(R +h )ω知,离地面高度不同的点,其线速度大小不同,选项B 错误;假设各质点处于完全失重状态,由G Mm (R +h )

2=m (R +h )ω2得ω= GM

(R +h )3

,则完全失重时离地面高度不

同处角速度大小不同,因角速度相同,故假设不成立.选项D 错误.

6.2013年2月16日凌晨,2012DA14小行星与地球“擦肩而过”,距离地球最近约2.77

万公里.据观测,它绕太阳公转的周期约为366天,比地球的公转周期多1天.假设小行星和地球绕太阳运行的轨道均为圆轨道,对应的轨道半径分别为R 1、R 2,线速度大小分别为v 1、v 2,以下关系式正确的是

( )

A.R 1R 2=366365

B.R 31

R 32=36623652 C.v 1v 2=365366

D.v 1

v 2= 3365366

答案 BD

解析 由开普勒行星运动定律和万有引力提供向心力可知R 3

T 2=k ,v =

GM R ,将T 1

T 2

=366

365

代入可得选项B 、D 正确. 7.小型登月器连接在航天站上,一起绕月球做圆周运动,其轨道半径为月球半径的3倍.某

时刻,航天站使登月器减速分离,登月器沿如图3所示的椭圆轨道登月,在月球表面逗留一段时间完成科考工作后,经快速启动仍沿原椭圆轨道返回.当第一次回到分离点时恰与航天站对接.登月器快速启动时间可以忽略不计,整个过程中航天站保持原轨道绕月运行.已知月球表面的重力加速度为g 0,月球半径为R ,不考虑月球自转的影响,则登月器可以在月球上停留的最短时间约为

( )

图3

A .4.7π R

g 0 B .3.6π R g 0 C .1.7π R

g 0

D .1.4π

R g 0

答案 A

解析 由题可知,航天站的轨道半径为3R ,设航天站转一周的时间为T ,则有GM 月m

(3R )2

m 4π2

T 2(3R ),对月球表面的物体有m 0g 0=GM 月·m 0R

2,联立两式得T =63π R

g 0

.登月器的登月轨道是椭圆,从与航天站分离到第一次回到分离点所用时间为沿椭圆运行一周的时间T ′和在月球上停留时间t 之和,若恰好与航天站运行一周所用时间相同时t 最小,则有:t min +T ′=T ,由开普勒第三定律有:(3R )

3

T 2=(4R

2)3T ′2

,得T ′=42π

R

g 0

,则t min =T -T ′≈4.7π

R

g 0

,所以只有A 对. 8.2012年6月18日,我国的神舟九号载人飞船与“天宫一号”目标飞行器顺利对接,三

位航天员首次入住“天宫”.已知“天宫一号”绕地球的运动可看做匀速圆周运动,转一周所用的时间约90分钟.关于“天宫一号”,下列说法正确的是

( )

A .“天宫一号”离地面的高度一定比地球同步卫星离地面的高度小

B .“天宫一号”的线速度一定比静止于赤道上的物体的线速度小

C .“天宫一号”的角速度约为地球同步卫星角速度的16倍

D .当航天员站立于“天宫一号”内不动时,他所受的合力为零 答案 AC

解析 由G Mm (R +h )2=m v 2R +h

=m (2πT )2(R +h )得v = GM

R +h

,T = 4π2(R +h )3

GM

可知,因为T 天v 同,A 对,B 错;因ω天ω同=T 同T 天

=60×24

90=16,所以C 对.

9.在四川汶川的抗震救灾中,我国自主研制的“北斗一号”卫星导航系统,在抗震救灾中

发挥了巨大作用.北斗导航系统又被称为“双星定位系统”,具有导航、定位等功能.“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O 做匀速圆周运动,轨道半径为r ,某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置(如图4所示).若卫星均按顺时针运行,地球表面处的重力加速度为g ,地球半径为R .不计卫星间的相互作用力.则以下判断中正确的是

( )

图4

A .这两颗卫星的加速度大小相等,均为Rg

r

B .卫星1向后喷气就一定能追上卫星2

C .卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间为πr

3R

r g

D .卫星1中质量为m 的物体的动能为1

2mgr

答案 C

解析 由万有引力定律GMm r 2=ma n ,在地球表面GMm 物R 2=m 物g ,故a n =gR 2

r 2,故A 错误;

卫星1向后喷气时,卫星速度增大,将做离心运动,不能追上卫星2,故B 错误;由GMm

r 2

=m ·4π2

T 2r 得T =2πr

r

GM

=2πr r R 2g =2πr

R

r

g

,卫星1由A 运动到B 所需时间t =T 6=πr 3R

r g ,故C 正确;由GMm r 2=m v 2

r 和GM =gR 2得E k =12m v 2=mR 2g 2r

,故D 错误. 10.我国未来将建立月球基地,并在绕月轨道上建造空间站.如图5所示,关闭发动机的航

天飞机A 在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近,并将在椭圆的近月点B 处与空间站对接.已知空间站绕月轨道半径为r ,周期为T ,引力常量为G ,月球的半径为R .下列判断正确的是

( )

图5

A .航天飞机到达

B 处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速 B .图中的航天飞机正在加速飞向B 处

C .月球的质量M =4π2r 3

GT 2

D .月球的第一宇宙速度v =2πr

T

答案 ABC

解析 航天飞机到达B 处时速度比较大,如果不减速此时万有引力不足以提供航天飞机所需的向心力,这时航天飞机将做离心运动,故A 正确;因为航天飞机越接近月球,受到的万有引力越大,加速度越大,所以正在加速飞向B 处,故B 正确;由万有引力提供空间站做圆周运动的向心力,则G Mm r 2=m 4π2r T 2,整理得M =4π2r 3

GT 2,故C 正确;速

度v =2πr

T 是空间站在轨道r 上的线速度,而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度,故

D 错误.

11.“神舟十号”飞船发射升空后,先后经历5次变轨,调整到处于“天宫一号”目标飞行

器后方约52公里处,并与“天宫一号”处于同一离地面高343公里的圆形轨道上,最后与“天宫一号”实施首次交会对接,完成浪漫的“太空之吻”.“神舟十号”飞船与

“天宫一号”飞行器处在同一轨道上时,忽略它们之间的万有引力,则 ( )

A .“神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器受到地球的吸引力大小相等

B .“神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器的向心加速度大小相等

C .对接前,“神舟十号”欲追上“天宫一号”,必须在同一轨道上点火加速

D .“神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器速度一样大,比地球同步卫星速度大 答案 BD

解析 “神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器二者质量未知,受到地球的吸引力大小无法求出,A 错误;由于二者处于同一离地面高343公里的圆形轨道上,由公式v = GM

r

知,“神舟十号”与“天宫一号”的速度大小相等,高度比同步卫星低,所以速度比地球同步卫星速度大,由a =GM

r 2知,二者向心加速度大小相等,所以B 、D 正确;

若在同一轨道上点火加速,飞船将做离心运动,所以C 错误. 12.某球形天体的密度为ρ0,引力常量为G .

(1)证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星,运动周期与天体的大小无关.(球的体积公式为V =4

3πR 3,其中R 为球半径).

(2)若球形天体的半径为R ,自转的角速度为ω0=

πGρ02,表面周围空间充满厚度d =R

2

(小于同步卫星距天体表面的高度)、密度ρ=4ρ0

19的均匀介质,试求同步卫星距天体表面的

高度. 答案 见解析

解析 (1)设环绕其表面运行的卫星的质量为m ,运动周期为T ,球形天体半径为R ,天体质量为M ,由牛顿第二定律有G mM R 2=m (2π

T )2R

① 而M =ρ0·4

3

πR 3

由①②式解得T =

Gρ0

,可见T 与R 无关,为一常量. (2)设该天体的同步卫星距天体中心的距离为r ,同步卫星的质量为m 0,则有G m 0(M +M ′)r

2=m 0ω20r

③ 而M ′=ρ·4

3π[(R +d )3-R 3]

由②③④式解得r =2R

则该天体的同步卫星距表面的高度h =r -R =R

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