河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试文科数学试卷(含答案)

2018-2019学年度第一学期高三年级期中考试

数学试卷（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项： 1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ前，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.已知集合{}{}31,,6,8,10,12,14,A

x x n n N B ==-∈=则集合A

B 中元素的个数为

A.5

B.4

C.3

D.2 2.已知复数12i

,2i

z +=

-则z 的虚部为 A.1- B.0 C. 1 D. i 3.已知点()4,3P -是角α终边上的一点，则()sin πα-= A.

35 B.35- C.45- D.45

()22210234.x y a a a -=>=

已知双曲线的离心率为，则

A.2

B. D.1 5.某数学期刊的国内统一刊号是CN42-1167/01，设n a 表示421167n n

+的个位数字，则数列{}

n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++???+=

A.180

B.160

C.150

D.140

6.已知点()1,4P -，过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点，则抛物线C 的标准方程为

A.2

1

4

x y =

B.24x y =或216y x =-

C.216y x =-

D.21x y =或2

16y x =-

7.若数列{}n a 中，262,0,a a ==且数列11n a ??

??+??

是等差数列，则4a =

A.

12 B.13 C.14 D.16

()()()

()()8.s i n c o s 4

23

f

x x x R

x f x

g x g x π

λλπ

=+∈=-已知函数的图象关于直线对称，把函数

的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移

个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为

A.6

x π

= B.4

x π

=

C.3

x π

=

D.116

x π

=

2290.2:33M x O x y N OMN M ?=+=∠=设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是

A.[]1,1-

B.11,22??-????

C.?-?

D.22?-??? 13

60,3,,,310.4

ABCD BAD AB DF DC AE AC BF DE ?∠====?=

已知菱中则形，

A.89

B.218-

C.34-

D.43

22142

x y ABCD AB AD +=11.若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率为1，则直线的斜

率为

A.

12 B.12- C.1

4

- D.2-

2

12.,,,.3430,a b e e a e b

b

e b a b π

-?+=-已知是平面向量是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值是

A.2

1

1

D.2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、

填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

(

)()()2,0,

13.=20,

x x f x f f x ?≤?-=>设则_______________.

{}2246614.2,14,n a a a a a a =++==已知数列是等比数列，满足则_______________.

()215.121,0,______________2,_.

F C y x P l A B BP PA AF BF ==+=设为抛物线：的焦点，经过点的直线与抛物线交于两点，且则()()16.2sin sin2,_______________.f x x x f x =+已知函数则的最小值是

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置上） 17. （本小题满分10分）

()(),,,,,c o s

.s i n 1t a n 21,2

,.A B C A B C a b c a b b C

C

B

a b c -===?在中，角所对应的边分别为求

的值；若求

18. （本小题满分12分）

()()22221.

1212.

k l x y A B AB x k l x y C D AB CD l ==+==斜率为的直线与抛物线交于两点、，且的中点恰好在直线上求的值；

若直线与圆交于两点、，

，求直线的方程

19.（本小题满分12分）

{}()()()(){}()

(){}*1121

1

3,,1.141212.

n n n n n n

n n n n n n n a n S a S S y x n n N n

S n n b b b n T a a +++==

++∈??

?

???

+=-数列的前项和为，若点在直线上求证：数列是等差数列；若数列满足，求数列的前项和

20.（本小题满分12分）

()()()()1

e l n 1

2e 0

.

1215e .

x x f

x a x x x y a x f x -=

=+=>-

已知函数在处的切线与直线垂直求的值；

证明：

21. （本小题满分12分）

()(

)()()()()2222:100,12121,1,.

x y E a b A a b

E k E P Q A AP AQ +=>>-如图，椭圆经过点求椭圆的方程；

若经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点均异于点，

证明：直线与的斜率之和为定值

22.（本小题满分12分）

()()()()()()()[)()22

24l n ,.

11

1,121,,0.

f

x x a x x a

R a y f x f x f x x a a =-∈==∈+∞+

->设函数当时，求曲线在点处的切线方程；

若对任意恒成立，求实数的取值范围

2018-2019学年度第一学期高三年级期中考试

文数参考答案及解析

一、选择题

1～5 DCADB 6～10 DADCB 11～12 BC 二、填空题

113.2 14.8 15.172 16.

三、解答题

17.解：（1）由cos a b b C -=及正弦定理，得sin sin sin cos A B B C -=，

即()sin sin sin cos B C B B C +=+，即sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，

即sin cos sin C B B =，得sin tan C B =，所以

sin 1tan C

B

=.（4分） （2）由cos a b b C -=，且1,2a b ==，得1

cos 2

C =-，

由余弦定理，得22212cos 1421272c a b ab C ??

=+-=+-???-= ???

，

所以c =

（10分）

18.解：（1）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,,A x y B x y 由2

,

2,

y kx m x y =+??

=?得2

220x kx m --=，

则12122,2.x x k x x m +==-（2分）

因为AB 的中点在直线1x =上，所以122,x x +=即22k =，所以1k =.（4分）

（2）因为O 到直线l 的距离d CD ==（5分）

由（1）得，12AB x =-=（6分）

又,AB CD =所以=

化简，得28200,m m +-=所以10m =-或2m =.（10分）

由480,

m d ?=+>???

得12m -<< 所以2,m =直线l 的方程为2y x =+.（12分） 19.解：（1）

点()1,n n S S +在直线()*1

1n y x n n N n

+=

++∈上， 11

1n n n S S n n ++∴=++，两边同除以1n +，则有111n n S S n n

+-=+.（2分）

又

131S =，∴数列n S n ??

????

是以3为首项，1为公差的等差数列.（4分） （2）由（1）可知，()

2*2,

n S n n n N =+∈

∴当1n =时，13a =；当2n ≥时，121,n n n a S S n -=-=+

经检验，当1n =时也成立，()

*

21n a n n N ∴=+∈.（6分）

()

()

()()()411111,21232123n

n n n b n n n n +?

?∴=-=-+ ?++++??

211433n T n ∴=-+.（12分） 20.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，

()e e ln x

x f x a x x ??

'=+

???

，由已知()y f x =在1x =处的切线的斜率2e k =， 所以()1e 2e,f a '==所以2a =.（4分） （2）要证明()1

15e x xf x ->-，即证明1

2e ln 15e

,0x x x x x ->->，等价于证明512ln ,e e x

x x +

> 令()5

2ln ,e

g x x x =+

所以()()2ln 1g x x '=+. 当10e x <<时，()0g x '<；当1

e

x >时，()0g x '>，

所以()52ln e g x x x =+

在10,e ?? ???上为减函数，在1,e ??

+∞ ???

上为增函数， 所以()min 13.e e

g x g ??==

?

因为1e x y ??= ???在()0,+∞上为减函数，所以0

111e e x ????

<= ? ?????

，于是()311,e e x g x ≥>>

所以()1

15e

.x xf x ->-（12分）

21.解：（1

）由题设知

1,2

c b a ==结合222a b c =+

，解得a = 所以椭圆E 的方程为2

2 1.2

x y +=（4分） （2）由题设知，直线PQ 的方程为()()112,y k x k =-+≠代入2

21,2

x y += 得()

()()22

1241220,k x k k x k k +--+-=

由已知0?>，设()()112212,,,,0,P x y Q x y x x ≠则()()

121222

4122,,1212k k k k x x x x k k --+==++

从

而

直

线

,A P A

Q

的斜率

之

和

为

()121212121211221122AP AQ y y kx k kx k

k k k k x x x x x x ??+++-+-+=

+=+=+-+ ???()

()()()

()12

12412222221 2.22k k x x k k k k k k x x k k -+=+-=+-=--=-（12分） 22.解：（1）当1a =时，()10f =，()()()44ln 24f x x x x '=-+-，()12,f '=- 所以曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为()21,y x =--即220x y +-=.（4分）

（2）设()()()

[)222

24ln ,1,,g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞

则()()()()()44ln 2424ln 1,1,g x x a x x a x x a x x '=-+-+=-+≥ 当1a ≤时，()g x 在[)1,+∞上单调递增，

所以，对任意1x ≥，有()()110g x g a ≥=->，所以 1.

a <

当1a >时，()g x 在[)1,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，

所以()()()2

min 12ln g x g a a a a ==--，

由条件知，()2

12ln 0a a a -->，即()12ln 10.a a -->

设()()12ln 1,1,h a a a a =-->则()12ln 0,1,h a a a '=--<>

所以()h a 在()1,+∞上单调递减，又()10h =，所以()()10h a h <=与条件矛盾. 综上可知，实数a 的取值范围为(),1.-∞（12分）