北师大版九年级数学上册 4.4.4黄金分割 同步测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章4.4.4黄金分割 同步测试题
一、选择题
1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )
A ．如果AC A
B ＝BC
AC ，那么线段AB 被点C 黄金分割
B ．如果A
C 2
＝AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割
C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比
D ．一条线段有两个黄金分割点
2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式中正确的是( )
A ．A
B 2
＝AC ·BC B ．BC 2
＝AC ·AB C ．AC 2＝BC ·AB
D ．AC 2
＝2AB ·BC
3．已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为( )
A ．(5－1)cm
B ．0.618 cm
C ．(3－5)cm
D.3－5
2
cm
4．若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列说法正确的有( )
①AB ＝
5＋12AC ；②AC ＝3－5
2
AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC ≈0.618AB. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5.我们把宽与长的比值等于黄金比
5－1
2
的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB ＞BC)的边AB 上取一点E ，使得BE ＝BC ，连接DE ，则AE
AD
等于( )
A.2
2
B.
5－1
2
C.3－52
D.
5＋1
2
二、填空题
6.已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，以PB ，
AB 为边的矩形的面积为S 1与S 2的关系是S 1＝S 2．
7．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm ，那么相邻一条边的
8．已知线段AB ＝4 cm ，C 为AB 的黄金分割点，则AC 9．宽与长的比是
5－1
2
(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，FD 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中是黄金矩形的是矩形DCGH ．
10．如图，△ABC 是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC ，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形(底
与腰的比为
5－1
2
的三角形是黄金三角形)．已知AB ＝4，则DE
11．乐器上一根弦AB 长80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板上，支撑点C 是靠近点B 的黄
金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则CD 9．如图，连接正五边形ABCDE 的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－1
2.若AB ＝5－1
2
，则MN
三、解答题
12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，点F在BC的延长线上，且EF＝DE，以CF为边作正方形CFGH，点H在CD边上．试说明点H是线段CD的黄金分割点．
13.如图，以长为2 cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上．
(1)试求AM，DM的长；
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．
14．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB 的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．
参考答案
1-5、CCACB
6、S1＝S2．
7、(105－10)cm.
8、(25－2)cm或(6－25)cm．
9、矩形DCGH．
10、6－25．
11、5－2．
12、解：∵点E是BC的中点，
∴EC＝1.
∴EF＝DE＝22＋12＝ 5.
∴CF＝5－1.
∵四边形CFGH是正方形，
∴CH＝CF＝5－1.
∴CH
CD
＝
5－1
2
.
∴点H是线段CD的黄金分割点．
13、解：(1)在Rt△APD中，AP＝1 cm，AD＝2 cm，
由勾股定理，得PD＝AD2＋AP2＝ 5 cm.
∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝(5－1)cm.
∴DM＝AD－AM＝(3－5)cm.
(2)点M是线段AD的黄金分割点，理由如下：
∵AM2＝(5－1)2＝6－25，AD·DM＝2×(3－5)＝6－25，∴AM2＝AD·DM.
∴点M是线段AD的黄金分割点．
14、解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，
且AD＞BD，
∴AD2＝BD·AB.
∵AD＝AC＝BC，
∴BC2＝BD·AB，即BC∶BD＝AB∶BC.
∵∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC.∴∠A＝∠BCD.
设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，
∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x.
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x.
在△ABC中，x＋(2x＋x)＋x＝180°，
解得x＝36°，∴∠A＝36°.
15、解：点E是线段AB的黄金分割点．理由如下：连接EC.
∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.
又∵AE＝BC，∴EC＝BC.∴∠BEC＝∠B.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.
∴∠BEC＝∠ACB.
又∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB.
∴BE
BC
＝
BC
AB
，即BC2＝BE·AB，
又∵AE＝BC，∴AE2＝BE·AB. ∴点E是线段AB的黄金分割点