2015年湖北高考数列与不等式专题分析

2015年湖北高考数列与不等式专题分析
2015年湖北高考数列与不等式专题分析

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要:纵观近几年高考数学卷,压轴题很多是数列型不等式,其中通常需要证明数列型不等式,它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法,而且还可以综合考查其它多种数学思想方法,充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握。对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔.本文以数列型不等式压轴题的证明为例,探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词:放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体: 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =, 1,2,3, n =,证明: 1 32 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----, 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的

(浙江专用)2020高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第3讲 数列的综合问题学案

第3讲 数列的综合问题 [考情考向分析] 1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点,也是一个难点,主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等. 热点一 利用S n ,a n 的关系式求a n 1.数列{a n }中,a n 与S n 的关系 a n =??? ?? S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2. 2.求数列通项的常用方法 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列{a n }中,满足a n +1-a n =f (n ),且f (1)+f (2)+…+f (n )可求,则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中,满足 a n +1 a n =f (n ),且f (1)·f (2)·…·f (n )可求,则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列). 例1 (2018·浙江)已知等比数列{a n }的公比q >1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足 b 1=1,数列{(b n +1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n . (1)求q 的值; (2)求数列{b n }的通项公式. 解 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项, 得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28,解得a 4=8. 由a 3+a 5=20,得8? ?? ??q +1q =20, 解得q =2或q =1 2. 因为q >1,所以q =2. (2)设c n =(b n +1-b n )a n ,数列{c n }的前n 项和为S n . 由c n =? ?? ?? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2,解得c n =4n -1(n ∈N * ). 由(1)可得a n =2 n -1 , 所以b n +1-b n =(4n -1)×? ?? ??12n -1 ,

数列与不等式知识点及练习唐

数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对 值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法: (1)利用观察法求数列的通项.(2)利用公式法求数列的通项:①?? ?≥-==-) 2()111n S S n S a n n n (;② {}n a 等差、等比数列{}n a 公式.(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:① )(1n f a a n n +=+;②).(1n f a a n n =+(4)造等差、等比数列求通项:q pa a n n +=+1;②n n n q pa a +=+1;③)(1n f pa a n n +=+;④n n n a q a p a ?+?=++12.第一节通项公式 常用方法题型1 利用公式法求通项 例1:1.已知{a n }满足a n+1=a n +2,而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,求下列数列{}n a 的通项公式: ⑴ 1322 -+=n n S n ; ⑵12+=n n S .总结:任何一个数列,它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系: ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项 例2:⑴已知数列{}n a 中,)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式; ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,11=a ,n n a n S ?=2 ,求数列{}n a 的通项公式. 总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”; 迭乘法适用于求递推关系形如 “ ) (1n f a a n n ?=+“;⑵迭加法、迭乘法公式:① 1 1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式 主要放缩技能: 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5.121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ,最大值为n b , 且n c =(1)求n c ;(2)证明: 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明:1611780<+ +< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ,且12n n n a s a + =,*n N ∈; (1)求证:数列{} 2n s 是等差数列; (2)解关于数列n 的不等式:11()48n n n a s s n ++?+>- (3)记312311112,n n n n b s T b b b b ==++++,证明:312n T <<

例4.已知数列{}n a 满足:n a n ?????? 是公差为1的等差数列,且121n n n a a n ++=+; (1) 求n a ;(2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中,已知1112,2n n n n a a a a a ++==-; (1)求n a ;(2)证明:112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6.数列{}n a 满足:11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++; (1)设2n n n b a =,求n b ;(2)记11(1)n n c n n a +=+,求证:12351162 n c c c c ≤++++<

数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题 测试时间: 120分钟 满分:150分 解答题(本题共9小题,共150分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 1. [2016 ?银川一模](本小题满分15分)在等差数列{刘中,a i = 3,其前n 项和为S, 等比数 列{b n }的各项均为正数,b 1 = 1,公比为q (q z 1),且b 2+ S 2= 12, q = f 2. b 2 (1) 求 a n 与 b n ; …1 1 1 1 2 (2) 证明:3< S +§+…+ S <§. b 2 + S 2= 12 , 1 1 1 故 S +S +…+ s n = 1 —百.(12 1 1 因为n >2所以0<市三$于 1 2 1 2 所以21 —市<2, 1 1 1 1 2 即 3= S 1 + S 2+…+ s n <2.(15 分) 3 3a 2. [2017 ?黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{◎}的首项a 1= , a n +1 = 二,n 5 2a n + 1 a 1 a 2 a n 2 1 1 (2) 记S = + — + ???+—,若$<100,求最大正整数 n . (1)设{a n }的公差为d ,因为 q + 6 + d = 12, 所以 6 + d q = 解得 q = 3 或 q =— 4(舍),d = 3.(4 分) 故 a n = 3+ 3( n — 1) = 3n , b n = 3n 1 .(6 分) ⑵证明:因为S n = n 3+ 3n (8分) 1 所以S n 3+ 3n 1 1 n n +1 .(10 分) 1 1 - 2 1 1 2- 3 1 1 3-4 + … + 1 1 n n +1

高考题基本不等式

温馨提示: 此题库为Word 版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,关闭Word 文档返回原板块。 考点26 基本不等式 一、选择题 1.(2015·四川高考文科·T9)设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤?? +≤??+≥? ,则xy 的最大值为( ) (A) 252 (B) 492 (C) 12 (D)14 【解题指南】利用基本不等式解题 【解析】选A 由条件得:()25y x ≤-。于是,()2 52525222x x xy x x +-??≤-≤= ? ?? 。xy 当且仅当5,52x y = =时取到最大值252。经验证,5 ,52 x y ==在可行域内。故选A 。 2..(2015·四川高考理科·T9)如果函数f(x)=21(m-2)x 2 +(n-8)x+1(m ≥0,n ≥0)在区间[21,2]上单调递减, 那么mn 的最大值为 ( ) A.16 B.18 C.25 D. 2 81 【解析】选 B.)(x f '=(m-2)x +n-8=0得28---=m n x .当m>2时,抛物线的对称轴为2 8 ---=m n x ,据题意,2 8 --- m n ≥2,即2m+n ≤12. 因为62 22≤+≤n m mn ,所以m · n ≤18,由2m+n=12且2m=n 得m=3,n=6.当m<2时,抛物线开口向下,根据题意得:-2128≤--m n ,即2n+m ≤18,因为92 22≤+≤m n mn ,所以m ·n ≤281,由2n+m=18且2n=m 得 m=9(舍).要使得mn 取最大值,应有2n+m=18(m<2,n>8),所以m ·n=(18-2n)·n<(18-2×8)×8=16,所以最大值为18. 3.(2015·福建高考文科·T5) 若直线 +=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等 于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.

数列不等式的证明方法

数列型不等式的证明 数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点,数列型不等式问题常被设置为高考压轴题,能力要求较高。因其仍然是不等式问题,可用处理不等式的方法:基本不等式法;比较法;放缩法,函数单调性法等都是常用的方法;但数列型不等式与自然数有关,因而还有一种行之有效的方法:数学归纳法。 1、重要不等式法 若数列不等式形如下式,可用均值不等式法求证。 (1)),(222R b a ab b a ∈≥+; (2) ),(2 +∈≥+R b a ab b a (3) ),,,(2121321+∈???????????≥+??????+++R x x x x x x n n x x x x n n n n 2、比较法 比较法是证明不等式的基本方法,可以作差比较也可以作商比较,是一种易于掌握的方法。 3、放缩法 常用的放缩结论: ①、 ,111)1(11)1(11112k k k k k k k k k --=-<<+=+-其中(2≥k ) ②、 ;)12)(12(1)12(12+->-n n n ;)12)(32(1)12(12--<-n n n ) 22(21 )12(12+<+n n n ③、 1 211 2-+< < ++k k k k k 用放缩法解题的途径一般有两条,一是先求和再放缩,二是先放缩再求和。 (1)、先求和再放缩 一般先分析数列的通项公式,如果此数列的前n 项和能直接求和或通过变形后可以求和,则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多,我们在数列求和的专题中有具体的讲解,主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。 例1、已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足)()()(q f p f q p f ?=+,且3 1 )1(=f , (1)当+∈N n 时,求)(n f 的表达式;(2)设))((+∈=N n n nf a n ,n T 是其前n 项和,试证明4 3

导数之数列型不等式证明

函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +?????

例3.已知函数()x f x e ax a =--(其中,a R e ∈是自然对数的底数, 2.71828e =…). (1)当a e =时,求函数()f x 的极值;(II )当01a ≤≤时,求证()0f x ≥; (2)求证:对任意正整数n ,都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px (1)求函数()f x 的极值点; (2)当p >0时,若对任意的x >0,恒有0)(≤x f ,求p 的取值范围; (3)证明:).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ??

数列与不等式的综合问题突破策略1

数列与不等式的综合问题突破策略 类型1:求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:(1)若函数f (x )在定义域为D ,则当x ∈D 时,有f (x )≥M 恒成立?f (x )min ≥M ;f (x )≤M 恒成立?f (x )max ≤M ;(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得. 【题1】 等比数列{a n }的公比q >1,第17项的平方等于第24项,求使a 1+a 2+…+a n > 1231111 n a a a a ++++……恒成立的正整数n 的范围. 【题1】 利用条件中两项间的关系,寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系,再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式,进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得:(a 1q 16)2=a 1q 23,∴a 1q 9=1. 由等比数列的性质知数列{ 1n a }是以11a 为首项,以1q 为公比的等比数列,要使不等式成立, 则须1(1)1n a q q -->111(1) 11n a q q --,把a 2 1=q -18代入上式并整理,得q -18(q n -1)>q (1-1n q ), q n >q 19,∵q >1,∴n >19,故所求正整数n 的取值范围是n ≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了,主要体现为用数列知识化简,用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【题2】设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,a n +1=S n +3n ,n ∈N *. (1)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式;(2)若a n +1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围. 【题2】 第(1)小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式;第(Ⅱ)小题将条件a n +1≥a n 转化为关于n 与a 的关系,再利用a ≤f (n )恒成立等价于a ≤f (n )min 求解. 【解】 (1)依题意,S n +1-S n =a n +1=S n +3n ,即S n +1=2S n +3n , 由此得S n +1-3 n +1=2(S n -3n ). 因此,所求通项公式为b n =S n -3n =(a -3)2 n -1,n ∈N *, ① (2)由①知S n =3n +(a -3)2 n -1,n ∈N *, 于是,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n +(a -3)2 n -1-3n -1-(a -3)2 n -2=2×3n -1+(a -3)2 n -2, a n +1-a n =4×3 n -1+(a -3)2 n -2=2 n -2·[12·(32 )n -2 +a -3], 当n ≥2时,a n +1≥a n ,即2 n -2·[12·(32)n -2+a -3]≥0,12·(32 )n -2 +a -3≥0, ∴a ≥-9, 综上,所求的a 的取值范围是[-9,+∞) 【点评】 一般地,如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式,则可考虑S n 与a n 的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法,应当引起重视. 类型2:数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法:(1)比较法,特别是差值比较法是最根本的方法;(2)分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析;(3)放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的. 【题3】 数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,a 3=7,S 4=24. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设p 、q 都是正整数,且p ≠q ,证明:S p +q <1 2 (S 2p +S 2q ). 【题3】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(1)小题;第(2)小题利用差值比较法就可顺利解决. 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差是d ,依题意得,??? a 1+2d =74a 1+6d =24,解得??? a 1=3 d =2 ,

数列型不等式的证明.docx

数列型不等式证明的常用方法 一. 放缩法 数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点,在多 省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的 一个重要方法,它具有很强的技巧性的特点,学生往往无从 下手,下面总结放缩法证明的一些常用技巧, 例如 归一技巧、 抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ,仅供参 考 . 1 归一技巧 归一技巧,指的是将不容易求和的和式中的所有项或 若干项全部转化为 同一项 ,或是将和式的通项中的一部分转 化为 同一个式子 (或数值),既达到放缩的目的,使新的和 式容易求和 . 归一技巧有 整体归一、分段归一。 例如 1 1 1 1 设 n 是正整数,求证 n 1 n 2 1. 2 2n 1 1 1 【证明】 n 1 n 2 L 2n 1 1 1 1 1 . 2n 2n 2n 2n 2 14444244443 个 1 n 2n 1 1 L 1 另外: n 1 n 2 2n 1 1 1 1 n n n n 1 . 144424443 n 个 1 n 1 1 【说明】在这个证明中,第一次我们把 n 1 、 n 2 、

1 1 L 2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 2n ,此时式子同时变小, 1 1 L 1 1 顺利把不易求和的 n 1 n 2 2n 变成了 n 个 2n 的 和,既将式子缩小,同时也使缩小后的式子非常容易求和, 这就是 “归一” 所达到的效果。 而不等式右边的证明也类似 . 1.1 整体归一 放缩法中,如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的,称之为“整体归一” . 例 1. 数列 a n 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任 意 n N * ,总有 a n , S n ,a n 2 成等差数列 . ( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式; ( Ⅱ ) 设数列 b n 的前 n 项和为 T n ,且 b n ln n x ,求证:对 2 a n 任意实数 x 1, e ( e 是常数, e = )和任意正整数 n , 总有 T n 2 ; (Ⅰ)解:由已知:对于 n N * ,总有 2S n a n a n 2 ①成立 ∴ 2S n 1 a n 1 a n 1 2 (n ≥ 2 )② ① -- ②得 2a n a n a n 2 a n 1 a n 1 2 ∴ a n a n 1 a n a n 1 a n a n 1 ∵ a n , a n 1 均为正数, ∴ a n a n 1 1 (n ≥ 2) ∴数列 a n 是公差为 1 的等差数列

2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第1讲等差数列与等比数列学案

第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点,注意基本量及定义的使用,考查分析问题、解决问题的综合能力. 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列:a n =a 1+(n -1)d ; 等比数列:a n =a 1·q n -1 . 2.求和公式 等差数列:S n = n (a 1+a n ) 2 =na 1+ n (n -1) 2 d ; 等比数列:S n =????? a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1),na 1(q =1). 3.性质 若m +n =p +q , 在等差数列中a m +a n =a p +a q ; 在等比数列中a m ·a n =a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5等于( ) A .-12 B .-10 C .10 D .12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4, 得3???? ??3a 1+3×(3-1)2×d =2a 1+2×(2-1)2×d +4a 1+4×(4-1)2×d ,将a 1=2代入上式,解得d =-3, 故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中,若S 4=80,S 2=8,则公比q =________,a 5=________. 答案 3 162

证明数列不等式之放缩技能及缩放在数列中的应用全套整合

证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全 证明数列型不等式,其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧,充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例1.证明:当Z n n ∈≥,6时, (2) 12n n n +<. 证法一:令)6(2 ) 2(≥+=n n n c n n ,则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时,1n n c c +<.因此当6n ≥时,6683 1.644 n c c ?≤==< 于是当6n ≥时,2 (2) 1.2 n n +< 证法二:可用数学归纳法证.(1)当n = 6时,6 6(62)483 12644 ?+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立,即 (2) 1.2k k k +< 则当n =k +1时,1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、(2)所述,当n ≥6时, 2 (1) 12n n +<. 二、借助数列递推关系 例 2.已知12-=n n a .证明: ()23 11112 3 n n N a a a *++++ <∈. 证明:n n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++ , ∴3 2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++= -+n n n a a a a a a S . 例3. 已知函数f(x)= 52168x x +-,设正项数列{}n a 满足1a =l ,()1n n a f a +=. (1) 试比较n a 与5 4 的大小,并说明理由; (2) 设数列{}n b 满足n b =54-n a ,记S n =1 n i i b =∑.证明:当n ≥2时,S n <1 4(2n -1).

(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系,掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义,掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系,并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a+b 2 (a,b>0) 掌握基本不等式ab≤ a+b 2 (a,b>0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式. 了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?ab,ab>0?1 a < 1 b .

②a <0b >0,0b d . ④0b >0,m >0,则 ①b a b -m a -m (b -m >0). ②a b > a +m b +m ;a b 0). [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a 1,则a >b .( ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( ) (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性.( ) (6)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1.(必修5P74练习T3改编)若a ,b 都是实数,则“a -b >0”是“a 2 -b 2 >0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:选A.a -b >0?a >b ?a >b ?a 2 >b 2 , 但由a 2 -b 2 >0?/ a -b >0. 2.(必修5P75A 组T2改编) 1 5-2______1 6-5(填“>”“<”或“=”). 解析:分母有理化有 1 5-2=5+2,1 6-5 =6+5,显然5+2<6+5,所以

数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题 测试时间:120分钟 满分:150 分 解答题(本题共9小题,共150分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1.[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n ,等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,公比为 q (q ≠1),且b 2+S 2=12,q =S 2 b 2 . (1)求a n 与b n ; (2)证明:13≤1S 1+1S 2+…+1S n <2 3 . 解 (1)设{a n }的公差为d ,因为 ???? ? b 2+S 2=12,q =S 2 b 2 ,

所以? ???? q +6+d =12,q =6+d q .解得q =3或q = -4(舍),d =3.(4分) 故a n =3+3(n -1)=3n ,b n =3n -1 .(6分) (2)证明:因为S n = n 3+3n 2 ,(8分) 所以1 S n =2n 3+3n =23? ?? ??1 n - 1n +1.(10分) 故1 S 1+1 S 2+…+1 S n = 23???? ??? ????1-12+? ????12-13+? ???? 13-14+…+? ????1n -1n +1 =23? ? ???1- 1n +1.(12分) 因为n ≥1,所以0<1n +1≤12,于是1 2≤1- 1 n +1 <1,

所以13≤23? ? ???1- 1n +1<23, 即13≤1S 1+1S 2+…+1S n <2 3 .(15分) 2.[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1=35,a n +1=3a n 2a n +1 ,n ∈N *. (1)求证:数列???? ?? 1a n -1为等比数列; (2)记S n =1a 1+1a 2+…+1 a n ,若S n <100,求最 大正整数n . 解 (1)证明:因为1 a n +1=23+1 3a n , 所以1 a n +1-1=13a n -13=13? ?? ??1 a n -1. 又因为1a 1-1≠0,所以1 a n -1≠0(n ∈N * ), 所以数列???? ?? 1a n -1为等比数列.(7分)

考点10 基本不等式(教师版) 备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

考点10 基本不等式 1、掌握基本不等式2 b a a b +≤ 。 2、能用基本不等式证明简单不等式。 3、能用基本不等式求最值问题。 基本不等式是江苏数学考纲要求的c 级要求,是江苏高考试卷重点考查的模块之一,在全国各地也经常考查到。基本不等式是求函数最值得一种重要的方式,纵观近五年江苏高考不难发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。在高考中属于中档题或者难题·因此在复习中要引起学生的重视。 在学习中,要掌握运用基本不等式求函数的最值,要注意以下几点: ①掌握基本不等式满足的条件:一正、二定、三相等。 ②掌握基本不等式的一些常见变形,最终都要化成 d bx c ax ++的形式。 ③掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧,如三元变二元,二元变一元。以及双换元等。在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。 1、【2020年山东卷】.已知a >0,b >0,且a +b =1,则( ) A. 2 2 1 2 a b +≥ B. 122 a b ->

C. 22log log 2a b +≥- D. ≤ 【答案】ABD 【解析】对于A ,() 2 2 2 2 2 1221a b a a a a +=+-=-+2 1211222a ? ???+ ? ≥-=, 当且仅当1 2 a b == 时,等号成立,故A 正确; 对于B ,211a b a -=->-,所以1 1222 a b -->=,故B 正确; 对于C ,2 222221log log log log log 224a b a b ab +??+=≤==- ? ?? , 当且仅当1 2a b ==时,等号成立,故C 不正确; 对于D ,因为 2 112a b =+≤++=, ≤,当且仅当1 2 a b == 时,等号成立,故D 正确; 故选:ABD 2、【2020年江苏卷】已知22451(,)x y y x y R +=∈,则2 2x y +的最小值是_______. 【答案】 4 5 【解析】∵224 51x y y += ∴0y ≠且4 2 2 15y x y -= ∴422 2 2 221144+5555y y x y y y y -+=+=≥,当且仅当221455y y =,即2231,102x y ==时取等号. ∴2 2x y +的最小值为 45 . 故答案为: 4 5 . 3、【2020年天津卷】.已知0,0a b >>,且1ab =,则 118 22a b a b +++的最小值为_________. 【答案】4 【解析】 0,0,0a b a b >>∴+>,1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b ∴ ++=++++

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式 主要放缩技能: 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ,最大值为n b , 且n c =(1)求n c ;(2)证明: 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明:1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ,且12n n n a s a + =,*n N ∈; (1)求证:数列{} 2n s 是等差数列; (2)解关于数列n 的不等式:11()48n n n a s s n ++?+>- (3)记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++,证明:312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足:n a n ?????? 是公差为1的等差数列,且121n n n a a n ++=+; (1) 求n a ;(2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中,已知1112,2n n n n a a a a a ++==-; (1)求n a ;(2)证明:112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足:11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++; (1)设2n n n b a =,求n b ;(2)记11(1)n n c n n a +=+,求证:12351162 n c c c c ≤++++<

数列与不等式综合习题

数列与不等式的题型分类.解题策略 题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:(1)若函数f(x)在定义域为D ,则当x∈D 时,有f(x)≥M 恒成立f(x)min ≥M;f(x)≤M 恒成立f(x)max ≤M;(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得. 【例1】 等比数列{a n }的公比q >1,第17项的平方等于第24项,求使a 1+a 2+…+a n >1a 1+1a 2+…+1 a n 恒成立的正整数n 的取值范围. 【分析】 利用条件中两项间的关系,寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系,再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式,进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得:(a 1q 16)2 =a 1q 23 ,∴a 1q 9 =1. 由等比数列的性质知:数列{1a n }是以1a 1为首项,以1q 为公比的等比数列,要使不等式成立, 则须a 1(q n -1)q -1>1a 1[1-(1q )n ]1-1q ,把a 21=q 18代入上式并整理,得q 18(q n -1)>q(1-1q n ), q n >q 19 ,∵q>1,∴n>19,故所求正整数n 的取值范围是n≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了,主要体现为用数列知识化简,用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【例2】 (08·全国Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,a n+1=S n +3n ,n∈N*.(Ⅰ) 设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式;(Ⅱ)若a n+1≥a n ,n∈N*,求a 的取值范围. 【分析】 第(Ⅰ)小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式;第(Ⅱ)小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系,再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min 求解. 【解】 (Ⅰ)依题意,S n+1-S n =a n+1=S n +3n ,即S n+1=2S n +3n ,

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