流体力学第二章作业答案

2.3 如图，用U 型水银测压计测量水容器中某点压强，已知H 1=6cm ，H 2=4cm ，求A 点的压强。

解：选择水和水银的分界面作为等压面得

11222()γγ++=+a A p H H p H

故A 点压强为：

511212() 1.1410Pa γγγ=++-=?A a p p H H

2.5 水压机是由两个尺寸不同而彼此连通的，以及置于缸筒内的一对活塞组成，缸内充满水或油，如图示：已知大小活塞的面积分别为A 2，A 1，若忽略两活塞的质量及其与圆筒摩阻的影响，当小活塞加力F 1时，求大活塞所产生的力F 2。

帕斯卡定律：加在密闭液体上的压强，能够大小不变地由液体向各个方向传递。根据静压力基本方程(p=p 0+ρgh),盛放在密闭容器内的液体，其外加压强p 0发生变化时，只要液体仍保持其原来的静止状态不变，液体中任一点的压强均将发生同样大小的变化。 这就是说，在密闭容器内，施加于静止液体上的压强将以等值同时传到各点。这就是帕斯卡原理，或称静压传递原理。 解：由111F p A =

，222F

p A =，根据静压传递原理：12p p = 12

21

F A F A ?=

2.6如图示高H =1m 的容器中，上半装油下半装水，油上部真空表读数p 1=4500Pa ，水下部压力表读数p 2=4500Pa ，试求油的密度ρ。

解：由题意可得abs1a 1p p p =-，abs2a 2p p p =+

abs1abs222

H H p g

p ργ++= 解得abs2abs1213()()22836.7kg/m 22

a a H H

p p p p p p gH gH γγ

ρ--+---=

==

2.7 用两个水银测压计连接到水管中心线上，左边测压计中交界面在中心A 点之下的

距离为Z ，其水银柱高度为h 。右边测压计中交界面在中心A 点之下的距离为Z+?Z ，其水银柱高为h+?h 。（1）试求?h 与?Z 的关系。（2）如果令水银的相对密度为13.6，?Z=136cm 时，求?h 是多少？

解：（1）分别取测压计中交界面为等压面得，

a 12A

A 2a 1()()

p h z p p z z p h h γγγγ+=+??

++?=++?? 解得?h 与?Z 的关系为：h z ?=?12γγ （2）当?Z=136cm 时，cm 101

2=?=

?γγz

h 2.9 如图示一铅直矩形平板AB 如图2所示，板宽为1.5米，板高h =2.0米，板顶水深h 1=1米，求板所受的总压力的大小及力的作用点。

解法一：

将坐标原点放在水面与直板延长线的交点，水平向右为O-x 轴，竖直向下为O-y 轴，建立直角坐标系O-xy ，在y 方向上h 处取宽度为d h 的矩形，作用力d F 为

h h A h F d 5.1d d γγ==

在y 方向上积分得总压力F 为

N 1088.5])[(2

5.1d 5.1d 42

1211

1

?=-+=

==?

?

++h h h h h F F h h h

h h h

γγ

总压力的作用点为

1

21.5d d 2.167m h h h

D h h h F

y F

F

γ+=

=

=?

?

解法二（直接运用公式）： （1） 总压力F 为：

3412()9.810(1) 1.52 5.881022

c c h F p A h A h bh N N γγ===+=??+??=?

（2）总压力的作用点为

3

11112() 2.167m 2()2

c D c c bh J h y y h h y A h bh

=+=++=+

2.10 如图示为一侧有水的倾斜安装的均质矩形闸门，其宽度b =2m ，倾斜角α=600

，铰链中心O 位于水面以上C =1m ，水深h =3m ，求闸门开启时所需铅直向上的提升力T ，设闸门重力G =0.196×105N 。（要注意理解力矩平衡原理和合力矩定理）

力矩平衡原理：如果把把物体向逆时针方向转动的力矩规定为正力矩，使物体向顺时针方向转动的力矩规定为负力矩，则有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零。

合力矩定理：平面力系的合力对平面上任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。

解法一：建立坐标系O-xy ，原点在O 点，Ox 垂直于闸门斜向下，Oy 沿闸门斜向下，如下图（1），浸在水中的闸门上的作用力 （不计大气压力）为

C 2sin 60

h bh

F h A γγ

==

?

设压力中心为D 到ox 轴的距离为D y ，则有

（1） （2）

3

0C D C C ()

212sin 60sin sin 602sin 60sin 603sin 60()2sin 60sin 60

b h h J C h C h y y h bh y A α=++=++=+

当闸门转动时，F 与G 产生的合力矩与提升力T 产生的力矩相等，则有

2()2()tan 602sin 60sin 603sin 602tan 60

T C h bh C h h C

G γ++=++

则T 大小为

22552/3981023123/30.19610 1.6310N sin 22sin120132

bh C h G T C h γα+??+??=?+=?+=?++

解法二：建立坐标系O-xy ，原点在液面与闸门的交点，Ox 垂直于闸门斜向下，Oy 沿闸门斜向下，如上图（2），浸在水中的闸门上的作用力 （不计大气压力）为

C 2sin 60

h bh

F h A γγ

==

? 设压力中心为D 到ox 轴的距离为D y ，则有

3

C D C C ()

212sin 602sin 603sin 60()2sin 60sin 60

b h J h h y y h bh y A =+=+=

当闸门转动时，F 与G 产生的合力矩与提升力T 产生的力矩相等，则有

2()()tan 602sin 60sin 602tan 60

D T C h bh C h C

y G γ++=++

则T 大小为

22552/3981023123/30.19610 1.6310N sin 22sin120132

bh C h G T C h γα+??+??=?+=?+=?++

2.12 在水深2m 的水池下部有一个宽为1m ，高为H =1m 的正方形闸门OA ，其转轴在O 点处，试问在A 点处需加多大的水平推力F ，才能封闭闸门？ 解法一：

将y 轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门延长线的交汇点

液面下深度h=y 处微面积d A 上的微液作用d F 为

dF hdA hbdh γγ==

闸门上的总作用力为 223d d 2

H

H

H

H

F F hb h γγ=

==

?

?

设压力中心为D 到原点的距离为D y ，则有

2

20

1

D d d 1.56m 3/2

H h h

h F y F

γγ=

=

=?

?

由'(2)D F H H y F =-得 (2)0.44'6474.6N 1

D H y F F

F H -=

==

解法二：

将y 轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门延长线的交汇点 设闸门上的总作用力为F ：

3

1()(1)11222

c H F h A H bH γγγγ==+=+???=

设压力中心为D 到原点的距离为D y ，

3

1

12() 1.56m 2()2

c D c c bH J

H y y H H y A

H bH =+=++=+

由'(2)D F H H y F =-得 (2)0.44'6474.6N 1

D H y F F

F H -===

2.13 如图示，a 和b 是同样的圆柱形闸门，半径R =2m ，水深h =R =2m ，不同的是图（a ）中水在左侧，而图（b ）中水在右侧，求作用在闸门AB 上的静水总压力P 的大小和方向？（闸门长度（垂直于纸面）按1m 计算）。

（a ） （b ）

解：

在图a 和图b 中总压力P 的大小是相同的，仅作用方向相反而已。

由于AB 是个圆弧面，所以面上各点的静水压强都沿半径方向通过圆心点，因而总压力P 也必通过圆心。

（1）先求总压力P 的水平分力。

铅垂投影面的面积 2

122x A bh m ==?=

投影面形心点淹没深度 /21c h h m ==

则 10009.81219600x c x P gh A N ρ==???= x P 的作用线位于

2

3

h 深度。在图a 和图b 中x P 的数值相同，但方向是相反的。 （2）求总压力的垂直分力。

在图（a ）中压力体是实际水体的体积，即实压力体，但在图（b ）中则应该是虚拟的水体的体积，即虚压力体，它们的形状、体积是一样的。则

2

2

z R 3.142P V (1)10009.8130800N 44

g g πρρ?==?=???=

z P 的作用线通过水体OAB 的重心，对于我们所研究的均匀液体，也即是通过压力体体积

OAB 的形心。

在图（a ）中的方向向下，而在图（b ）中的方向向上。

（3）求总压力及作用力的方向

P36450N

===

30800

()()57.5

19600

z

x

P

arctg arctg

P

α===°

即总压力的作用线与水平线的夹角57.5

α=°

2.14 如图示，为一储水设备，在C点测得相对压强为p=19600N/m2，h=2m

，R

=1m，求半球曲面AB的垂直分力。

解法一：由题意得2

AB

AB

h

p p

p S F G

γ

=-

?=+

，解得

3

2

()10257.33N

23

AB

h R

F p S

G p S

π

γγ

=?-=--=

解法二：C点到测压管水面的距离

19600

2

10009.8

a

p p

H m m

g

ρ

-

===

?

半球曲面AB的垂直分力：

23

2

[()]10257.33

23

z z

h

F F V R H R N

γγππ

===--=

2.16 挡水弧形闸门如图示，闸前水深H=18m,半径R=8.5m，圆心角θ=450，门宽b=5m。求作用在弧形门上总压力的大小和方向。

解：（1）水平分力

投影面如下图，025sin 4530X A bh R m ==?≈

sin ..()10009.8(183044102x c X c X X R F h A gh A g H A KN θγρρ===-

=???≈ 方向向右。

（2）铅直分力

压力体（虚压力体）如图abcde ，.z abcde V A b =

abcde abce cde A A A =+

cde A =扇形面积ode －三角形面积ocd

02

0020

451

.sin 45.cos 4510.293602

cde

A R R R m π=-≈

002(sin 45)(cos 45)(188.5)(8.58.53022

abce A H R R R m =-?-=-??-?≈ 210.293040.29abcde A m =+=

10009.840.2951794.21Z z abcde F gV gA b KN ρρ==?=???= 方向向上。

（3）总压力

4761F KN ==

（4）作用力的方向

合力指向曲面，其作用线与水平方向的夹角

01794.21tan(

)tan()22.144410

Z X F arc arc F α===，标注如下图所示。

压力作用点距液面为：

1794.21

sin tan (188.58.5)15.46m 4410

D z H R R θα=-?+?=-+?=

2.17 盛有水的开口圆桶形容器，以角速度ω绕垂直轴O 作等速旋转。当露出桶底时，

ω应为若干？（如图示中符号说明：坐标原点设在筒底中心处。圆筒未转动时，筒内水面高度为h 。当容器绕轴旋转时，其中心处液面降至H o ，贴壁液面上升至H 高度。容器直径为D 。）（旋转体体积等于同底同高圆柱体体积一半） 解：当露出桶底时，在O —xyz 坐标系中，抛物面方程为22

2r Z g

ω=

当r R =时，Z H =

ω=

由回转抛物体的体积恰好是高度为h 的圆柱体体积之半， 即：

2

2

22

2

R R H h ππ=

?

2H h =，2D R =

ω?=