天大版第1-5章概率论的基本概念习题及答案W
第一章 随机变量 习题一
主要知识点：事件的互不相容（互斥）、独立的概念；加法公式、乘法公式；
全概率公式及逆概率公式及其应用
典型习题：同步练习一：2、12、14、21、22、29、30、31
2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系
(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件
(3)20>x 与18
(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容
(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件
解: 互不相容:φ=AB ; 对立事件 : φ=AB )1( 且
Ω=?B A
12.(1)设事件A , B 的概率分别为 51 与 4
1
，且A 与 B 互斥，则
)(B A P = 5
1
.
A,B 互拆,则A B ?,AB A =,所以1
()()5
p AB P A ==
(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放
回地摸3只球，则取到的3
只都是红球的事件的概率等于 ___14
285____．
(3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果
2
从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率等于
___1324___．1111
4523
11
68
C C C C C C ?+?? (4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件， 已知P(A1) = α , P(A2) = β，P(A3) = γ ，则A1 , A2 , A3 至少有一个
发生的概率是 1-(1-α)(1-β)(1- γ) .
123123123()1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A ??=-=-
(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，
则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __34
57____．
331221
8989893
2034
57
C C C C C C C +++= 14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手
同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的，
求“中”的概率.
解:=A “甲中” ，=B “乙中”
98.072.08.09.0)()()()(=-+=-+=?AB P B P A P B A P
21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，
乙厂的合格率是80%．若用事件A 、A 分别表示甲、乙两厂产品，B 表示合格品．
试写出有关事件的概率. (1)=)(A P 70% (2)=)(A P 30% (3)=)|(A B P 95%
3
(4)=)|(A B P 80% (5)=)|(A B P 5% (6)=)|(A B P
20%
22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人
取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概
率各是多少？
解:设i A 第i 个人取得红球的事件),,,(1021 =i , 则i A 为第i 个人取得白球的事件，
显然10
1
)(1=
A P ,)(212121212φ==?=A A A A A A A A A 10
1
91109)|()()()(121212=?=?==∴A A P A P A A P A P
同理10
1!10!9)()(1092110==
=A A A A P A P 29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n 只白球，m 只红球；乙袋中装有N 只白球，M 只红
球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白
球的概率是多少？
解：设1H 表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，
2H 表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，
1212,H H H H ?=Ω?=Φ
B 表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，
所求事件 21BH BH B ?=
由全概率公式：)|()()|()()(2211H B P H P H B P H P B P ?+=
4
易知：m n m H P m n n H P +=+=)(,)(21 1
)|(,11)|(21++=+++=
M N N
H B P M N N H B P
于是1
11)(++++++++=M N N
m n m M N N m n n B P
30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例
分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2%
(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？
解：设=A “所取出的一件产品是废品”，=1B “产品系甲车间生产”，
=2B “产品系乙车间生产”，
=3B “产品系丙车间
生产”
已知25.0)(1=B P ,35.0)(2=B P ,4.0)(3=B P
05.0)|(1=B A P , 04.0)|(2=B A P ,02.0)|(3=B A P
(1)由全概率公式：
∑==?+?+?==3
1
0345
.002.04.004.035.005.025.0)()|()(i i i B P B A P A P
(2)由贝叶斯公式：
3623.00345
.005.025.0)()()|()|(111≈?==A P B P B A P A B P
4058.00345
.004
.035.0)()()|()|(222≈?==
A P
B P B A P A B P
5
2319.00345
.04
.002.0)()()|()|(333≈?==
A P
B P B A P A B P
所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.
31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点．假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设
各继电器接点闭合与否相互独立，求L 至R 是通路的概率.
解: 设i A 为第i
件，
已知)5,2,1()( ==n p A P i
显然 4325315421A A A A A A A A A A B ???= 故
)()()()()()(52414325315421A A A A P A A A P A A A P A A P A A P B P -+++=
)()()()(4352315432415321A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P ----
)()()(352413524142531A A A A A P A A A A A P A A A A A P ++- )()()(543212534143152A A A A A P A A A A A P A A A A A P -++ 54322522p p p p +-+=
32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产
的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？
解: A i ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ”
B ：“ 所取一个元件为不合格品 ”
6
则 ()1851=
A P ， ()1872=A P ， ()1843=A P ， ()18
24=A P ()2.01=A B P ，
()3.02=A B P ，
()4
.03=A B P ，
()5.04=A B P
由全概率公式 : ()()()i i i A B P A P B P ∑==4
1
=
57
180
由贝叶斯公式 :
()()()()5710
,5716,5721,57104321====B A P B A P B A P B A P
故该盒产品由乙厂生产的可能性最大
33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7．
飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6．若
三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率. 解：设)3,2,1,0(=n A i 表示“恰有i 人击中飞机”，B 为飞机被击落，
36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)(1=??+??+??=A P 同理41.07.05.04.07.05.06.03.05.04.0)(2=??+??+??=A P
14.07.05.04.0)(3=??=A P
易知2.0)|(,0)|(10==A B P A B P ，1)|(,6.0)|(32==A B P A B P 由全概率公式
)()|()()|()()|()()|()(33221100A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P B P +++=
458.014.0141.06.036.02.009.00=?+?+?+?=
第2章一维随机变量 习题2
主要知识点：离散随机变量分布律的性质；分布函数的性质；常见分布的分布律、密度、分布函数。
典型习题：同步练习二：一、2,5,6,8；二、3,9,13,16，20,28
7
一. 填空题：
2.设 随机变量 ξ 的分布函数为
()()+∞<<∞-+=x arctgx x F π
1
21 ,则
P{ 0<ξ<1} = ____1
4
_____. 解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F
14
5 设随机变量 ξ 的分布律是 {}4,3,2,1,21=??
?
??==k A k P k
ξ
则 ??????<<2521
ξP = 0.8 。
解：()A A k P k 1615
1618141214
1
=??? ??+++==∑=ξ
令
15161A = 得A =16
15
()()
21252
1
=+==??? ??<<ξξξp p P
8.041211516=??
?
???+=
6.若定义分布函数(){}x P x F ≤=ξ， 则函数 F(x)是某一随机变量ξ 的分布函
数的充要条件是
()F x 单调不减 ，函数()F x 右连续 ,且 F(- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ )
= 1
8. 设 ξ~(1,1)N ，记ξ 的概率密度为?( x ) ，分布函数为()F x ，则 {}{}=≥=≤11ξξP P 0.5 。
{}11
1(1)()(0)0.5
1
p F ξ-≤==Φ=Φ=,
8
{}{}1111(1)0.5p p F ξξ>=-≤=-= 二. 计算题：
3、(1)设随机变量X 的分布律为：0,,2,1,0k ,!
k a }k X {P k >λ=λ== 为常数，试确定常数a .
(2)设随机变量X 的分布律为：N ,,2,1k ,N
a
}k X {P ===，试确定常数a .
解: (1) 因∑∑
∑∞=∞
=∞
==λ=λ=
=0k k
k 0
k 0k 1!
k a !k a }k X {P 1ae =?λ，故λ-=e a
(2) 1a 1N 1
aN N
1a N a }k X {P N
1k N
1
k N
1k =?=?====∑∑
∑=== 9、设某批电子管正品率为
43，次品率为4
1
，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.
解：设测试次数为X ，则随机变量X 的可能取值为： ,3,2,1，当
X k =时，
相当于{前1-k 次测得的都是次品管子，而第k 次测得的是正品管
子}的事件，
4
3
)41(}{1-==k k X P ，),2,1( =k
13设X 服从泊松分布，且已知}2{}1{===X P X P ，求}4{=X P
解：!
}{k e k x P k λ
λ-=
=，由}2{}1{===x P x P ，得
!
2!
12λ
λ
λλ--=
e e ，
)0,0(0,2>===λλλλ因为舍去 0903.0!
42}4{2
4===-e x P
9
16. 已知连续型随机变量ξ 的概率密度为
13
()0
Ax B x f x +≤≤??=?
??
且知ξ在区间( 2，3 )内取值的概率是在区间( 1，2 ) 内取值的概
率的二倍 ，
试确定常数A ，B 。
解：由条件 {}{}21232<<=<<ξξp p 即
()()??+=+32
2
1
dx
B Ax 2dx B Ax 知 有
1
2
0A B += 又
由
()?+∞
∞
-=?1
dx x 即
()?=+=+3
1
1B 2A 4dx B Ax
解 ???
??=+=+1
24021B A B A 得 A = 13 ，B = -16
20、设连续型随机变量X 的分布函数为
)0(0,0
,)(>??
?<≥+=-λλx x Be A x F x
求(1)常数A ,B ，(2)}3{},2{>≤X P X P ，(3)概率密度)(x f 解: (1)1,1==B A （0=(00)(00)0F F A B -=+?+=， (2)λ
λ
32,1---e
e
，(3)???<≥=-0
,00,)(x x e x f x λλ
21、某种型号的电子管寿命X (以小时计)，具有如下概率密度：
???
??>=其它
,01000,1000
)(2
x x x f 现有一大批此种电子管(设各电子管
10
损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求)(x F .
解：设使用寿命为x 小时
?
=
--=-=≤-=>1500
10001500100023
2
|)1000(110001}1500{1}1500{x dx x x P x P
3
1
}1500{=
≤x P ， 所求事件的概率：+≤?>=322
5)]1500([)]1500([x P x P C P
5
5
54452335)]1500([)1500()]1500([)]1500([)]1500([>+≤>+≤>x P C x P x P C x P x P C 243
232)32(31)32(5)31()32(10)31()32(10542332=+??+??+??=
再求??∞--===x x x
dx x dx x f x F 100021000
11000)()(
?????≥-
=其它,0
1000,1000
1)(x x
x F 28、设)1,0(~N X ，求(1)X e Y =的概率密度；(2)122+=X Y 的概率密度；
(3)求||X Y =的概率密度
解：(1)设+∞<<∞-=-x e x f N x x ,21)(),1.0(~2
2
π
。注意
X e Y =是单调可微函数,所在可应用相应的定理
y
x y x e y e y x x 1
',ln ,0',=
=>== ??
?
?
?+∞<<=其它,00,1][ln )(y y y f y ?
即
11 ??
?
??+∞<
21)(2)(ln 2
y y
e y y π? (2)2211Y X =+≥，当1>y 时，Y 的分布函数非零，
221(){}{21}{}{2Y y F y P Y y P X y P X P X -=≤=+≤=≤=≤
?
?
--
---
-
≥-=
=
=2
10
22
21
2
12
02
1
,
222122y x y y x Y x dx e
dx e π
π
当1≤y 时，0)(=y F Y ，
2
2
2
,1()01
x Y dx y F y y -?>?=??≤?
Y 的概率密度
1()()0,1
Y y y F y y φ>'==≤?
即??
?
??≤>-=--1
,01,)
1(21
)(41
y y e y y y π?
(3)||,||0Y X y x ==≥，当0>y 时，Y 的分布函数
?
-=≤<-=≤=≤=y y
Y dx x f y x y P y x P y Y P y F )(}{}|{|}{)(
?
?
--
-
=
=
y y
y x x dx e
dx e
2
2
222221
π
π
当0≤y 时，0)(=y F Y (当0 (){||}0,()0Y F y P X y y φ=≤==)， 1 2 22 ,0()00 x y Y e dx y F y y - ?>=≤? Y 的概率密度? ? ?≤>='=0,00 ,)(2)()(y y y f y F y γ? ?? ? ??≤>=-0,00,22)(22 y y e y y π? 第三章 多维随机变量及其分布 主要知识点：离散随机变量联合分布律与边缘分布律的关系；联合分布函数与边缘分布函数的关系； 常见分布的联合分布与边缘分布；随机变量独立性的 判定及应用。 典型习题：同步练习三：一、5,6,8，10；二、6,8,9,10,11 一、填空题 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 13 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则=? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π67p . 二、证明和计算题 6、设随机变量 ) ,(Y X 的密度函数为 ???>>=+-其它0 ,0),()43(y x ke y x f y x (1)确定常数k ， (2)求),(Y X 的分布函数 ，(3)求 }20,10{≤<≤ 解：(1)??∞∞ +-=0 )43(1dx e k dy y x ??∞∞∞ -∞---=-?-=0003043412 ]31[]41[k e e k dx e dy e k x y x y ，所以12k =。 (2)??--+---?==y x y x v u e e dudv e y x F 0043)43()1)(1(12 1 1212),( )1)(1(43y x e e ----= 0,0>>y x 0),(=y x F ，0x ≤或0y ≤ 34(1)(1),0,0 (,)0 00x y e e x y F x y x or y --?-->>=? ≤≤? 14 (3))2,0()0,1()0,0()2,1(}20,10{F F F F Y X P --+=≤<≤< 95021.00)1)(1(83=+--=--e e 8、设随机变量),(Y X 在矩形区域 },|),{(d y c b x a y x D <<<<=内服从均匀分布，(1)求联合概率密 度及边缘概率密度. (2)问随机变量Y X ,是否独立？ 解：(1)根据题意可设),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<=其它 ,),(d y c b x a M y x f ?? ??∞+∞ -∞+∞ ---===b a d c c d a b M dy dx M dxdy y x f ))((),(1 于 是 ) )((1 c d a b M --= ，故 ? ? ?<<<<--=其它 0,) )(/(1),(d y c b x a c d a b y x f ? ? ∞+∞ --=--==d c X a b c d a b dy dy y x f x f 1 ))((),()( 即??? ??<<-=其它 1)(b x a a b x f X ? ? ∞+∞ --=--==b a Y c d c d a b dx dx y x f y f 1 ))((),()( 即?? ?<<-=其它 ) /(1)(d y c c d y f Y (2)因为)()(),(y f x f y x f Y X ?=，故X 与Y 是相互独立的. 9、随机变量),(Y X 的分布函数为 15 ? ??≥≥+--=----其它,00 ,0,3331),(y x y x F y x y x ， 求：（1）边缘密度；（2）验证X,Y 是否独立。 解 ： （ 1 ） )33(3ln ),(y x x x y x F ----?=??， ,33ln ),(22y x y x y x F --?=??? 0,0>>y x . ? ??<>?=--其它00,033ln ),(2y x y x f y x ?????>?=?=---+∞ ?其它0033ln 3 3ln )(20x dy x f x y x X , ?????>?=?=---+∞ ?其它0 0,33ln 3 3ln )(20y dx x f y y x Y (2) 因为)()(),(y f x f y x f Y X ?=，故X 与Y 是相互独立的. 10、一电子器件包含两部分，分别以Y X ,记这两部分的寿命(以小时记)，设),(Y X 的分布函数为 ? ? ?≥≥+--=+---其它 00,01),() (01.001.001.0y x e e e y x F y x y x (1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)并求}120 ,120{>>Y X P 解：(1)???<≥-=+∞=-000 1),()(01.0x x e x F x F x X ? ? ?<≥-=+∞=-0 001),()(01.0y y e y F y F y Y 易证),()()(y x F y F x F Y X =，故Y X ,相互独立. (2)由(1)Y X ,相互独立 16 }] 120{1[}]120{1[}120{}120{}120,120{≤-?≤-=>?>=>>Y P X P Y P X P Y X P 091.0)]120(1)][120(1[42==--=?-e F F Y X 11、设随机变量(ξ , η)的分布函数为 F x y A B arctg x C arctg y (,)()()=++23 。 求：( 1 ) 系数A , B 及 C 的值 ，( 2 ) (ξ , η)的联合概率密度 ?(x , y)。 解 ： ( 1 ) F A B C (,)()()+∞+∞=++=ππ 22 1 0,0,02 2 A B C π π ?≠+ ≠+ ≠。 F A B C (,)()()-∞+∞=-+=ππ 22 0 2B π?= F A B C (,)()()+∞-∞=+-=ππ 22 02C π?= 由此解得 A B C ===122ππ ,, ( 2 ) 22 22 6 (,)(4)(9)F x y x y x y ?π?==??++ 第4章 随机变量的数字特征 主要知识点：期望、方差的定义与性质；常见分布的分布参数与期 望和方差的关系；期望和方差的计算； 协方差与相关系数的计算；不相关与独立的区别与联 系。 典型习题：同步练习四：一、3,4,6,9,10；二、3, 5，9,11，15,16,17 一、填空题 3、已知随机变量X 服从二项分布，且44.1)(,4.2)(==X D X E ，则二项分布的参数 n = 6 , p = 0.4 . 2.4,(1) 1.44np np p =-= 17 4、已知X 服从1 x 2x 2 e 1)x (-+-π =?，则. )(X E = 1 ,)(X D = 1/2 . 222 (1)_ _ _(1)x t t EX xe dx t x t e dt e dt +∞ +∞ +∞ -----∞ -∞ -∞ = = =-+= 2 _2 1u t e +∞ - -∞ = =? 2 2 2 2(1)2()(1)(1)x t D X E X x e dx t x t e dt ∞ ∞ ----∞ -∞ = =-=-=-? 221 11 )2 22t t te e dt ∞-∞--∞ -∞= -+ ==? 6、设Y X ,相互独立，则协方差=),cov(Y X 0 . 这时，Y X ,之间的相关系数=XY ρ 0 . 9、若4)(,8)(==Y D X D ，且Y X ,相互独立，则=-)2(Y X D 36 . 10、若b a ,为常数，则=+)(b aX D )(2X D a . 二、计算题 3、设X 的密度函数为?? ?≤≤=其它 0102)(x x x f ，求)(X E 、)(X D 解: ??= ==+∞ ∞-1 0232d 2d )()(x x x x xf X E ??===+∞∞-1032 22 1d 2d )()(x x x x f x X E 故 18 1 )32(21))(()()(222=-=-=X E X E X D 5、设连续型随机变量X 的分布函数 18 ?? ? ??>≤≤-+-<=1 ,111 ,arcsin 1 ,0)(x x x b a x X F 求 a 、b 、)(X E 、)(X D . 解: X 为连续型随机变量，所以 )(x F 为连续函数. (1)(1), 02 F F a b π --=-?-= 1 ),1()1(2=+?=+b a F F π 可解得; 12a = ,1 b π = X 的概率密度 ??? ?? <-='=其它 ,01,11)()(2x x x F x f π ? ?-+∞ ∞--==1 1 2 d 1d )()(x x x x x xf X E π=0 ?? -= -==-1 2 21 1 2 2 2 d 12 d 1)()(x x x x x x X E X D π ππ 令 t x sin =，则 2 1 d sin 2 )(20 2= =? π π t t X D 9、设),(Y X 的分布律为 求 )(),(Y E X E . 解 19 0)1.01.01.0(10)01.02.0)(1()(=++?++++-=X E ()1(0.20.10.1)2(0.100.1)3(00.30.1)2E Y =?+++?+++?++= 11、设随机变量),(Y X 的密度函数为 ?? ?<<<<=其它 0,102 ),(x y x y x f , 求)(XY E . 解: y x xy y x y x xyf XY E G xOy d d 2d d ),()(????== G ：10<< =4 1d d d 21 21 = =???x xx y y x x x . 15、设区域G 为122≤+y x ，二维随机变量),(Y X 服从G 上的均匀分布，判断X 、Y 的相关性、独立性. 解: 显然，二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为 ??????∈=G y x G y x y x f ),( ,0),( ,1 ),(π 所以 ?????<==?? ---∞ +∞ -其它 ,0 1 ,d 1 d ),()(2211x x X x y y y x f x f π ?????<-=其它 ,0 1 ,122x x π )(y f Y ?????<-=其它 ,0 1 ,122y y π 因此 0d 12 d )()(1 1 2=-==? ?-+∞∞ -x x x x x xf X E π 同样可得 0)(=Y E 又1 1 11 ()(,)d d d d 0xOy G E XY xyf x y x y xy x y dx ππ-= ===????? 20 所以 0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X 故X 、Y 不相关，但由于 ),()()(y x f y f x f Y X ≠ 所以X 与Y 不相互独立. 16、设随机变量X 和Y 的联合分布律为 验证Y X ,不相关，但Y X ,不相互独立. 证：因为 8 3 1083)1()(0 8 3 1083)1()(=?++?-==?++?-=Y E X E 8 1 11081)1(10811)1(081)1()1()(=??++?-?++??-++?-?-=XY E 所以 0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X 故Y X ,不相关. 又 83 ,8311==??p p ， 8 1 11=p 所以 1111p p p ≠??. 故Y X ,不相互独立. 《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得 （1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码． 概率论第五章习题解答（科学出版社） 1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。 解 设这16只元件的寿命为i X ，1,2, ,16i =，则16 1 i i X X ==∑， 因为()100i E X μθ===，22()10000i D X σθ=== 于是随机变量 16 16 1600 1600 400 i i X n X X Z μ -?--= = = ∑∑近似的服从(0,1)N 160019201600{1920}{ }400400X P X P -->=>1600 {0.8}400X P -=> 1600 1{0.8}400 X P -=-<1(0.8)=-Φ＝10.78810.2119=-=. 2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率； （2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为i X ，1,2, ,50i =（以千美元 计）服从韦布尔分布，均值()5i E X =，方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。 解 （1）设每个投保人索赔金额为i X ，1,2,,10000i =，则索赔总金额为10000 1 i i X X == ∑ 又 ()280i E X =，2()800i D X =，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率 {2700000}1`{270000}P X P X >=-≤ 10000 1 28010000 27000002800000 1{ }800100 80000 i i X P =-?-=-≤ ?∑ 10000 1 2800000 101{ }80000 8 i i X P =-=-≤- ∑ 10000 1 2800000 1{ 1.25}80000 i i X P =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N 第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 第一章小测试 一、选择题 1.设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 不全发生可表示为（ ） A. ABC B. ABC C. C B A D. C B A 2.设事件A 和B 互为对立事件，则下列各式不成立的是（ ） A. ()0P AB = B. ()0P AB = C. ()1P A B = D.()1P B A = 3.将一枚均匀硬币抛掷3次，则至少有2次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 12 D. 58 4.盒内有6个产品，其中正品4个次品2个，不放回地一个一个往外取产品，则第二次才取到次品的概率与第二次取产品时取到次品的概率分别为（ ） A. 41153， B. 441515， C. 1133 ， D. 14315， 5.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.5P A =，()0.4P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 6.对于任意事件A,B,若A B ?,则下列各等式不成立的是（ ） A. B B A = B. φ=B -A C. B B A = D. φ=B A 7.设A,B 为任意两个概率不为0的互斥事件，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ()()P A B P A = B. ()()()P A B P A P B -=- C. ()()()P AB P A P B = D.()()P A B P A -= 8.将一枚均匀硬币抛掷3次，则恰有一次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 38 B. 18 C. 58 D. 12 9. 已知在10只电子元件中，有2只是次品，从其中取两次，每次随机地取一只，作不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（ ） A. 145 B. 15 C. 1645 D. 845 10.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.6P A =，()0.3P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.3 B. 0.7 C. 0.72 D. 0.9 11.事件A 、B 、C 中恰有一个事件发生的事件是（ ） A ．ABC B ． C AB C ．C B A D ．C B A C B A C B A ++ 12．设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ） 习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ; 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理 1.加法原理：分类计数。 2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合 1.排列数（与顺序有关）： )(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---=Λ !n A n n =，n A A n n ==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)： !m A C m n m n =，m n n m n C C -= 如：3512344567!447 4 7 =??????==A C ，211 2672757757=??===-C C C 3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没 有重复的3位数，共有___483442 414 =??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有 _48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。 （5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。 （6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3个， 取到2个白球1个红球的方法有___1 325C C ____种。 38876 56321 C ??= =?? 第一章、基础知识小结 一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含 设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件 事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A Y 或B A +。 性质：（1）B A B B A A Y Y ?? , ； （2）若B A ?，则B B A =Y 3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A I 或AB 。 性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB = 4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。 性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。 6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。 性质：（1）A A =； （2）Ω==Ωφφ,； （3）AB A B A B A -==- 设事件A,B ，若AB=Φ,A+B=?,则称A 与B 相互对立.记作 。 概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ； (5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(． 习题5-1 1. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||2}P X E X -（）≥. 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2 () {()}D X P X E X εε -≥≤ , 所以 1{||2} 2 P X E X -（）≥≤. 2. 设随机变量X , Y 的数学期望分别是2和-4, 方差分别是1和4, 而相关系数为0.5. 则根据切比雪夫不等式估计 {|2|P X Y +≥12}. 解 {2}2()() 22(4) E X Y E X E Y +=+=?+-=, {2}4()()22Cov(,)D X Y D X D Y X Y +=+-? 840.5124=-???=. 所以, {|2|P X Y +≥12}≤ 2 4112 36 = . 3. 设随机变量X 的数学期望E (X ) = μ, 方差D (X ) = σ2 , 由切比雪夫不等式估计P {|X -μ|≥3σ}. 解 令ε = 3σ, 则由切比雪夫不等式P {|X -μ|}≥ε}≤ 2 () D X ε , 有 P {|X -μ|≥3σ}≤ 22 1(3) 9 σ σ= . 4. 独立重复地做一项试验, 假设每次试验成功的概率为0.7 5. 用切比雪夫不等式求: 至少需要做多少次 试验, 才能以不低于0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间? 解 假设做n 次试验, 才能以0.90的概率使试验成功的频率保持在0.74和0.76之间. 用X 表示试验成功的次数, 从而~(,0.75)X B n , 由题设, 要使 {0.740.76}{ 0.750.01}0.90X X P P n n < <=-<≥. 又由切比雪夫不等式得 2 2 ( )0.750.25{0.740.76}{ 0.750.01}110.01 0.01 X D X X n P P n n n ?< <=-<- =- ?≥. 要满足题意, 只需2 0.750.2510.900.01 n ?- ?≥即可. 解之得 2 0.750.25 187500.010.10 n ? =?≥ . 习题 5-2 1. 一本书有十万个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 用中心极限定理求排版后错误不多于15个的概率. 解 设 第一章测试 1 【单选题】(10分) 设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件=()。 A. {1,2,5,6,7,9,10} B. {1,2,5,6,7,8,9,10} C. {1,2,4,5,6,7,8,9,10} D. {1,2,3,5,6,7,8,9,10} 2 【单选题】(10分) 同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为()。 A. 0.325 B. 0.125 C. 0.375 D. 0.25 3 【单选题】(10分) 假设任意的随机事件A与B，则下列一定有（）。 A. B. C. D. 4 【单选题】(10分) 设A，B为任意两个事件，则下式成立的为()。 A. B. C. D. 5 【单选题】(10分) 设则＝（）。 A. 0.48 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.30 6 【单选题】(10分) 设A与B互不相容，则结论肯定正确的是()。 A. B. C. D. 与互不相容 7 【单选题】(10分) 已知随机事件A,B满足条件，且，则（）。 A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6 8 【单选题】(10分) 若事件相互独立，且，则()。 A. 0.665 B. 0.875 C. 0.775 D. 0.95 9 【单选题】(5分) A. B. C. D. 10 【判断题】(5分) 不可能事件的概率一定为0。（） A. 对 B. 错 11 【判断题】(5分) A. 错 B. 对 12 【判断题】(5分) 贝叶斯公式计算的是非条件概率。（） 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑 球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤= .1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案 每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c 1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 第一章测试题 一、选择题 1.设A, B, C 为任意三个事件,则与A一定互不相容得事件为 (A) (B) (C) (D) 2、对于任意二事件A与B,与不等价得就是 (A) (B) (C) (D) 3.设、就是任意两个事件,,,则下列不等式中成立得就是( ) 4.设,,,则( ) 事件与互不相容事件与相互独立 事件与相互对立事件与互不独立 5.对于任意两事件与,( ) 6.若、互斥,且,则下列式子成立得就是( ) 7.设、、为三个事件,已知,则( ) 0、3 0、24 0、5 0、21 8.设A,B就是两个随机事件,且0 11.将一枚均匀得硬币独立地掷三次,记事件A=“正、反面都出现”,B=“正面最多出现一次”,C=“反面最多出现一次”,则下面结论中不正确得就是( ) (A)A与B独立(B)B与C独立(C)A与C独立(D)与A独立 12.进行一系列独立重复试验,每次试验成功得概率为p,则在成功2 次之前已经失败3次得概率为( ) (A) (B) (C) (D) 二、选择题 1、设A, B, C为三个事件, 且____、 2、设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件就是不合格品, 另一件也就是不合格品得概率为_______、 3、随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域得概率与区域得面积成正比, 则原点与该点得连线与x轴得夹角小于得概率为______、 4、设随机事件A, B及其与事件A?B得概率分别就是0、4, 0、3, 0、6, 若表示B得对立事件, 则积事件得概率= ______、 5、某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中得一种, 则同时订这两种报纸得住户得百分比就是________、 6、三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障得概率依次为0、9, 0、8, 0、7, 则这三台机器中至少有一台发生故障得概率________、 7、电路由元件A与两个并联元件B, C串联而成, 若A, B, C损坏与否相互独立, 且它们损坏得概率依次为0、3, 0、2, 0、1, 则电路断路得概率就是________、 8、甲乙两人投篮, 命中率分别为0、7, 0、6, 每人投三次, 则甲比乙进球多得概率______、 9、三人独立破译一密码, 她们能单独译出得概率分别为, 则此密码被译出得概率_____、 10、设A,B就是任意两个随机事件,则 11、已知A、B两事件满足条件,且,则 12、已知 13 ()()(),()()0,() 416 P A P B P C P AB P BC P AC ======,则都不发生得概 率为__________ 三、计算题概率论第一章课后习题答案
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