专题21复数A辑(学生版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

专题21复数A辑

历年联赛真题汇编

1．【2000高中数学联赛(第01试)】设ω=cosπ

5+i sinπ

，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )

A．x4+x3+x2+x+1=0B．x4?x3+x2?x+1=0

C．x4?x3?x2+x+1=0D．x4+x3+x2?x?1=0

2．【1995高中数学联赛(第01试)】设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z11995,Z21995,?，Z201995所对应的不同的点的个数是( )

A.4

B.5

C.10

D.20

3．【1994高中数学联赛(第01试)】给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a2+b2>c2，则a2+b2?c2>0.

(2)设a，b，c都是复数，如果a2+b2?c2>0，则a2+b2>c2.那么下述说法正确的是( )

A．命题(1)正确，命题(2)也正确

B．命题(1)正确，命题(2)错误

C．命题(1)错误，命题(2)也错误

D．命题(1)错误，命题(2)正确

4．【1992高中数学联赛(第01试)】设复数z1，z2在复平面上的对应点分别为A，B，且|z1|=4,4z12?2z1z2+z22=0. O为坐标原点，则△OAB的面积为( )

A．8√3B．4√3C．6√3D．12√3

5．【1991高中数学联赛(第01试)】设a，b，c均为非零复数，且a

b =b

，则a+b?c

a?b+c

的值为( )

A．1B．±ωC．1,ω,ω2

D．1,?ω,?ω2，其中ω=?1

2+√3

6．【1990高中数学联赛(第01试)】设非零复数x，y满足x2+xy+y2=0，则代数式(x

x+y )

1990

+(y

x+y

)

1990

的值是( )

A．2?1989B．?1C．1D．以上答案都不对

7．【1986高中数学联赛(第01试)】设z为复数，M={z|(z?1)2=|z?1|2}，那么( ).

A．M={纯虚数}B．M={实数}C．{实数}?M?{复数}D．M={复数}

8．【1985高中数学联赛(第01试)】设Z，W，λ为复数，|λ|≠1，关于Z的方程Z－λZ=W有下面四个结论：1.Z=λ?W+W?

1?|λ|2是这个方程的解；Ⅱ.这个方程只有一个解；Ⅲ.这个方程有两个解；Ⅳ.这个方程有无穷多解.则( )

A．只有I和Ⅱ是正确的B．只有和Ⅲ是正确的

C．只有I和Ⅳ是正确的D．以上A，B，C都不正确

9．【1984高中数学联赛(第01试)】集合S={Z2|argZ=α,α为常数}在复平面的图形是( )

A．射线argZ=2a B．射线argZ=－2a

C．射线argz=－a D．上述答案都不对

10．【2020高中数学联赛A卷(第01试)】设z为复数.若z?2

z?i

为实数(i为虚数单位),则|z+3|的最小值为. 11．【2020高中数学联赛B卷(第01试)】设9元集合A={a+bi|a,b∈{1,2,3}},i是虚数单位. α=(z1,z2,?z9)是A中所有元素的一个排列,满足|z1|≤|z2|≤?≤|z9|,则这样的排列α的个数为.

12．【2018高中数学联赛A卷(第01试)】设复数满足|z|=1，使得关于x的方程2x2+2z?x+2=0有实根，则这样的复数z的和为.

13．【2018高中数学联赛B卷(第01试)】已知复数z1,z2,z3满足|z1|=|z2|=|z3|=1,|z1+z2+z3|=r，其中r

是给定实数，则z1

z2+z2

+z3

的实数是(用含有r的式子表示).

14．【2017高中数学联赛B卷(第01试)】设复数z满足z+9=10z?+22i，则|z|的值为. 15．【2016高中数学联赛(第01试)】设复数z、w满足|z|=3,(z+w?)(z??w)=7+4i，其中i是虚数单位，z?,w?分别表示z、w的共轭复数，则(z+2w?)(z??2w)的模为.

16．【2015高中数学联赛(第01试)】已知复数数列{z n}满足z1=1,z n+1=z?n+1+n i(n=1,2,?)，其中i为虚数单位，z?n表示z n的共轭复数，则z2015的值为.

17．【2002高中数学联赛(第01试)】已知复数Z1Z2满足|Z1|=2,|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则|Z1+Z2

Z1?Z2

|=.

18．【2001高中数学联赛(第01试)】若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1?2z2=2?i，则z1z2= .

优质模拟题强化训练

1．若复数z满足|z|<1且|z?+1

z |=5

，则|z|=( )

A．4

5B．3

C．1

D．2

2．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=(cosB?sinA)+i(sinB?cosA)在复平面内所对应的点位于 ( ).

A．第一象限.B．第二象限.C．第三象限D．第四象限

3．已知z满足|z+5?12i|=3.则|z|的最大值是()

A．3B．10C．20D．16

4．方程ax2+b|x|+c=0(a,b,c∈R,a≠0)在复数集内不同的根的个数为().

A．2或4个B．至多4个

C．至多6个D．可能为8个

5．设复数z满足|z|=1，i是虚数单位，则|(z+1)+i(7?z)|的值不可能是().

A．4√2B．4√3C．5√2D．5√3

6．已知复数z满足z2005+λz2004i?λz?i=0．其中λ为实常数且满足λ2≤1．则|z|=()．

A．√2

2B．|λ+1

λ?1

|C．1D．√1+λ2

7．已知集合A={z∈C|(a+bi)z?+(a?bi)z+2c=0,a、b、c∈R,ab≠0}，B={z∈C||z|=1}，若A∩B=?，则以|a|、|b|、|c|为三边().

A．一定构成锐角三角形B．一定构成直角三角形

C．一定构成钝角三角形D．可能不构成三角形

8．已知复数(x?2)+(y?2)i(x、y∈R)的模等于|xcos45°+ysin45°+1|，则动点P(x,y)所在的轨迹为( ) A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

9．已知复数z满足3z6+2iz5?2z?3i=0，则z的模().

A．大于1B．等于1C．小于1D．不能确定

10．在复平面内, 由复数1

i 、2

i?1

、(i?1)3所对应的点构成的三角形的最大内角等于()．

A．π?

√13B．

√13

C．45°D．120°

11．设z=m+n i是方程az4+i bz3+cz2+i dz+e=0的一个复数根，这里a,b,c,d,e,m,n∈R.则下列各数一定是方程的根的是().

A．m?n i B．?m+n i C．n+m i D．1?m+n i

12．对于虚数i(i2=?1)，作集合S={i,i2,i3,i4}，易知，S中任两个元素相乘的积，仍在S中．现规定S中关于乘法的单位元θ：对任意的a∈S，都有aθ=θa=a．则θ为( )．

A．i B．i2C．i3D．i4

13．设f(z?+i)=z+2z?+2i，其中，z为复数，i为虚数单位. 则f(1)等于().

A．2+i B．2?i C．3+i D．3?i

14．已知关于实数x的方程(1+ix)n=(1?ix)n A(其中A∈C，n∈N+)的解恰有一个.则A与n应满足( ). A．|A|=1，n∈N+B．|A|=1，n=1或2

C．A=1，n∈N+D．|A|=1，A≠?1，n=1

15．设w=cosπ

5+isinπ

.则(x?w)(x?w4)(x?w7)(x?w9)的展开式是().

A．x4+x3+x2+x+1B．x4+x3+x+1

C．x1?x4+x2?x+1D．x4?x2?x+1

16．已知(1+ix)4n+2(x∈R)展开式中的实部是关于x的多项式．则此多项式的系数和为()．A．(?1)n22n+1B．0C．22n+1D．?22n+1

17．复数z1=1

1+cosθ+isinθ+1

1+cosθ?isinθ

，z2=cosθ+isinθ

1+cosθ+isinθ

+cosθ?isinθ

1+cosθ?isinθ

的关系为()．

A．z1>z2B．z1=z2C．z1

18．复数z满足z+1

∈R且|z?2|=√2．则这样的复数有()个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

19．设a,b,c均为非零复数，且a

b =b

，则a+b?c

a?b+c

的值为()．(其中ω=?1

+√3

A．1.B．±ω.C．1，ω，ω2.D．1，?ω，?ω2. 20．若a是一个复数，且(a2?a)2=1，则a3?2a2能取到( )个不同的值.

A．2B．3C．4D．6