小题满分限时练

限时练(一)

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )

A.A ∩B ＝????

??

x ???x <32

B.A ∩B ＝?

C.A ∪B ＝????

??

x ???x <32

D.A ∪B ＝R

解析 由3－2x >0得x <3

2， 所以

A ∩

B ＝{x |x <2}∩??????x ???x <32＝????

??

x ???x <32.

答案 A

2.设i 为虚数单位，若复数

i

1＋i

的实部为a ，复数(1＋i)2的虚部为b ，则复数z ＝a －b i 在复平面内的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析 ∵

i 1＋i

＝

i （1－i ）

（1＋i ）（1－i ）

＝12＋12i ，∴a ＝12，

∵(1＋i)2＝2i ，∴b ＝2，

则z ＝a －b i 对应点的坐标为? ????

12，－2，位于第四象限.

答案 D

3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后

一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

答案 B

4.已知f(x)满足?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1

e x＋k(k为常数)，则

f(ln 5)的值为()

A.4

B.－4

C.6

D.－6 解析∵f(x)满足?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，

故f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝0.

∵x≤0时，f(x)＝1

e x＋k，

∴f(0)＝1＋k＝0，k＝－1，

所以当x≤0时，f(x)＝1

e x－1，

则f(ln 5)＝－f(－ln 5)＝－4.

答案 B

5.某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写()

A.i ≤2 015

B.i ≤2 016

C.i ≤2 017

D.i ≤2 018

解析 由程序框图，初始值S ＝2，i ＝1. 循环一次后，S ＝－3，i ＝2； 循环两次后，S ＝－1

2，i ＝3； 循环三次后，S ＝1

3，i ＝4； 循环四次后，S ＝2，i ＝5； 循环五次后，S ＝－3，i ＝6； …

依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.

如果i ≤2 015，则循环结束S ＝1

3；如果i ≤2 016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i ≤2 016”. 答案 B

6.下列命题，其中说法错误的是( )

A.双曲线x 22－y 2

3＝1的焦点到其渐近线距离为 3

B.若命题p ：?x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：?x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2

C.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题

D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ?α，且b ∥α 解析 双曲线x 22－y 2

3＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|

3＋2

＝3，故A 正确.

若命题p ：?x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：?x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2，B 正确.

若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确.

设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中，如图，则存在平面α，使得a ?α，且b ∥α，故D 正确.

答案 C

7.在直角坐标系中，P 点的坐标为? ????

35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ

＝3π

4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210 B.－325 C.－7212

D.－8213

解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝4

5，

x Q ＝cos ? ?

???α＋3π4＝35×? ????－22－45×22＝－7210.

答案 A

8.圆O 的半径为3，一条弦|AB |＝4，P 为圆O 上任意一点，则AB → ·BP →

的取值范围为( )

A.[－16，0]

B.[0，16]

C.[－4，20]

D.[－20，4]

解析 以圆心O 为原点，两条互相垂直的直径所在直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系.设P (x ，y )(－3≤x ≤3)，由题意知x 2＋y 2＝9，A (－2，－5)，B (2，－5)，则AB → ·BP →

＝(4，0)·

(x －2，y ＋5)＝4(x －2)∈[－20，4].

答案 D

9.已知函数f (x )＝sin ? ?

???2x ＋π6＋cos 2x ，则f (x )的一个单调递减区间是( )

A.??????

π12，7π12 B.??????－5π12，π12 C.????

??－π3，2π3 D.????

??－π6，5π6 解析 函数f (x )＝sin ? ?

???2x ＋π6＋cos 2x

＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ? ?

???2x ＋π3，

由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π

2＋2k π(k ∈Z )， 得π12＋k π≤x ≤7

12π＋k π(k ∈Z ). ∴f (x )的一个单调递减区间为??????

π12，7π12.

答案 A

10.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( ) A.7π B.14π C.7

2π

D.714π3

解析 三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.所以长方体的体对角线长是

12＋22＋32

＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×?

????1422

＝14π. 答案 B

11.不等式组???2x －y ＋6≥0，

x ＋y ≥0，x ≤2

表示的平面区域的面积为(

)

A.48

B.24

C.16

D.12

解析 作出满足约束条件的可行域如图中阴影所示，则点A (－2，2)，B (2，－2)，C (2，10)，所以平面区域面积为S △ABC ＝12|BC |·h ＝1

2×(10＋2)×(2＋2)＝24.

答案 B

12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.??????－32e ，1 B.??????

－32e ，34 C.????

??32e ，34 D.????

??32e ，1 解析 因为f (0)＝－1＋a <0，

又x 0是唯一的使f (x )<0的整数，所以x 0＝0. 所以?????f （－1）≥0，f （1）≥0.

则?????e －1[2×（－1）－1]＋a ＋a ≥0，e （2×1－1）－a ＋a ≥0，

解得a ≥32e . 又因为a <1，所以3

2e ≤a <1. 答案 D

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)

13.若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.

解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p

2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0).

因为抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2

－y 2

＝1的一个焦点，所以－p

2＝

－2，解得p ＝2 2. 答案 2 2

14.设{a n }是公差为2的等差数列，b n ＝a 2n ，若{b n }为等比数列，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝________.

解析 ∵{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝a 1＋2(n －1)＝a 1＋2n －2， ∵{b n }为等比数列，b n ＝a 2n ，

∴b 22＝b 1b 3，∴(a 4)2

＝a 2·

a 8. 因此(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，解之得a 1＝2. 从而

b n ＝a 2n ＝a 1＋2(2n －1)＝2n ＋1，

所以b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝22＋23＋24＋25＋26＝124. 答案 124

15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边.若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，

c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________. 解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3， ∴(a ＋b )2－c 2＝ab ，得a 2＋b 2＝c 2－ab ＝3－ab . ∵a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，

∴3－ab ≥2ab ，则ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号，

∴当ab 取得最大值时，a ＝b ＝1，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1

2，sin C ＝1－cos 2C

＝32，

故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×1×32＝3

4. 答案 3

4

16.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ≠0)，若f (x )存在2个零点x 1，x 2，且x 1，x 2都大于0，则a 的取值范围是______.

解析 f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2

a ， 当a >0时，易知x ＝0是极大值点，x ＝2

a 是极小值点. ∵f (0)＝1≠0，

∴f ? ??

??2a ＝a 2

－4

a 2<0，解得a ∈(0，2). 当a <0时，易知x ＝2

a 是极小值点，x ＝0是极大值点.

又f (0)＝1>0，∴函数f (x )只有一个大于零的零点，不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(0，2). 答案 (0，2)

限时练(二)

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( ) A.(－1，1) B.(－1，2) C.(0，2)

D.(1，2)

解析 由|x －1|<1，得－1

2.已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A.－2i B.2i C.－2

D.2

解析 由z i ＝1＋i ，得z ＝1＋i

i ＝1－i ， ∴z 2＝(1－i)2＝－2i. 答案 A

3.若点P 到直线y ＝3的距离比到点F (0，－2)的距离大1，则点P 的轨迹方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝－8x C.x 2＝8y

D.x 2＝－8y 解析 依题意，点P 到直线y ＝2的距离等于点P 到点F (0，－2)的距离.由抛物线定义，点P 的轨迹是以F (0，－2)为焦点，y ＝2为准线的抛物线，故点P 的轨迹方程为x 2＝－8y . 答案 D

4.已知数列{a n }满足：对于?m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝1

2，那么a 5＝( )

A.132

B.116

C.14

D.12

解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝1

2. 令m ＝1，得1

2a n ＝a n ＋1，

所以数列{a n }是公比为12，首项为1

2的等比数列. 因此a 5＝a 1q 4

＝? ??

??125＝1

32.

答案 A

5.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3

D.5π6

解析 向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7. 可得a 2－a ·b ＝4－a ·b ＝7，可得a ·b ＝－3， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－32×3＝－

12， 由0≤〈a ，b 〉≤π，得〈a ，b 〉＝2π

3. 答案 C

6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )

A.8

B.17

C.29

D.83

解析 由程序框图知，循环一次后s ＝2，k ＝1. 循环二次后s ＝2×3＋2＝8，k ＝2.

循环三次后s ＝8×3＋5＝29，k ＝3.满足k >n ，输出s ＝29. 答案 C

7.函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π

12个单位得到函数y ＝g (x )的图象，且函数g (x )在区间??????π6，π3上单调递增，在区间??????

π3，π2上单调递减，则实数ω的值为

( ) A.7

4 B.3

2 C.2

D.54

解析 根据题意g (x )＝sin ω? ?

?

??x －π12，

又函数g (x )在区间??????π6，π3上单调递增，在区间??????

π3，π2上单调递减，所以当x ＝π3时，

g (x )＝1，∴g ? ????π3＝sin ω? ????

π3－π12＝1，即sin ωπ4＝1，则由题意得ω＝2.

答案 C

8.设函数f (x )＝?

??1，x 为有理数，

0，x 为无理数，则关于函数f (x )有以下四个命题：

①?x ∈R ，f (f (x ))＝1；②?x 0，y 0∈R ，f (x 0＋y 0)＝f (x 0)＋f (y 0)；③函数f (x )是偶函数；