2019年高考导数问题常见的分类讨论典型例题
高考导数问题常见的分类讨论典型例题 1.需对函数c bx ax x f ++=2)(是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。 例1、已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求a ,c 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间. 例2、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 例3、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性. 例4、已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f ,讨论)(x f 的单调性； 例5、设函数2 ()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()() x e g x f x =，讨论() g x 的单调性． 例6、函数31()3 f x x kx =-,其中实数k 为常数. (I) 当4k =时，求函数的单调区间； (II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点，求实数k 的取值范围. 练习：设函数()()2 ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。 2、需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例7、设函数（），其中．当时,求函数的极大值和极小值
品质检验员工作总结
品质检验员工作总结 品质检验员工作总结范文1 时光如梭，转眼间到了年末，在辞旧迎新之际，回顾这5个月来的工作历程，总结其中的经验、教训，有益于在以后的工作中取长补短，更好的做好本职工作。 从20__年7月15日起我在______项目部担负技术质检员，在这个大家庭中，我从领导身上体会到了敬业与关怀，在同事身上我学到了勤奋与自律。 7月份我刚到项目部，由于初次接触___，甚么都不懂，所以领导给我图纸让我对___有了初步的认识;给我设计规范让我了解 ___的1系列质量控制要求;给我施工方案让我明白施工的顺序和方 式方法，并在随后的1段时间里带我到工地给我介绍施工时用的工具。虽然当时工程还没有正式开工，施工工具不太全，可是却让我对今后所干的工作有了更深的了解。在工地上呆了1段时间后经过各个方面的接触，感觉自我已进入状态，领导便让我们用水准仪进行___各道工序的放线。刚开始进行的比较慢，1边放线1边还要看图纸，但随着时间的变化我们的速度在加快，对图纸了了解也在加深，图纸上的1些数据在脑海中构成了条件反射，这时候心中就有1种成绩感。这是之前在上学时所没有的1种感觉，很美。 8月份工程逐渐开始了，先是进行___，经过刚开始惊奇和不适应后就投入了自我的工作，___等，渐渐地也熟习了这项工作。过了1周左右打包队进场，___开始，领导安排我进行有关___的技术质检工作。在这期间我渐渐地发现，管理工人是1门很深的学问，如果不能充分的利用1切有益因素和相干的质量验收制度，威望不能确立，质量根本没法保证。我在这个方面做得就不好，这将是今后在工
作中的1个重点。在这期间由于团体公司文件项目部的___成了我的师父，在工作中有了给我传道、授业、解惑的人。 9月份___的条件条件已基本具有，从13号开始___。我被领导安排到__组辅助___班长1块抓质量工作。在这期间有好几次都差点忍耐不了___，可是当看到1群20左右的帅小伙能坚守岗位不中断的以1天两台的速度进行;__长每天早1个小时到，晚1个小时回，甚么都弄得妥妥的。都自愧不如，明白自我该学的还有很多。 10。11。12这几个月都在随着___走，每天___等。刚开始是明白要这么干所以这样干了，以后经过师父明白了为何要这么干，才感觉自我干的最最少还有点意义。在这同时我还负责了工程的资料工作，开始向身兼数职的工作生涯迈出了第1步。 在这5个多月当中我学到了很多的经验和知识，在与他人的交换、沟通方法上也有很多上进，但也发现了自我的1些不足的地方。经过师父和其他先辈的指点提高了我的整体水平。 总之，在今后的工作中，我将不断的总结与检讨，不断地鞭策自我并补充能量，提高本身素质与业务水平，为公司的发展贡献自我的气力。 品质检验员工作总结范文2 检验工作是1项精细的检验进程，我深知细节决定成败这1道理，所以在平常的工作中，我本着严谨认真的工作态度，认真的完成每项工作任务，工作态度进取端正，经过1年的工作与学习，我觉得自我收获颇多，专业知识及技能得到了进1步的积累与提高，应用愈来愈自若，但自考核方式更改以后，每天都感觉工作压力都很大，担心自我哪里做的不好或是不够好，使考核分数遭到影响，考核分数低了，直接影响到自我的工资，也会使自我觉得哪里没有他人做的好
专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(原卷版)
学习界的007 5 5 ?x 2 + 4x +1, ? ? ( ) = 专题 07 分类讨论思想在分段函数中的应用 【高考地位】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。 类型一 分段函数 万能模板 内 容 使用场景 分段函数 解题模板 第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类； 第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 第三步 得出结论. 例 1 函数 f (x ) = ?log 2 x , ? x > 0 x ≤ 0 ，若实数 a 满足 f ( f (a )) =1，则实数 a 的所有取值的和为（ ） A ．1 B ． 17 - C ． - 15 - D ． -2 16 16 ?x + 2, x ≤ -1 【变式演练 1】在函数 y = ?x 2 , - 1 < x < 2 ?2x , x ≥ 2 中，若 f (x ) = 1 ，则 x 的值是（ ） A ．1 B ．1或3 2 ??x 2 , x ∈[0, +∞) 例 2 已知函数 f x ? C ． ±1 D ． 在区间(-∞, +∞) 上是增函数,则常数 a 的取值范围是 ?? x 3 + a 2 - 3a + 2, x ∈ (-∞, 0 ) （ ） A ． (1, 2) B ． (-∞,1] [2, +∞) C ． [1, 2] D ． (-∞,1) (2, +∞ ) 3
分类讨论题(含答案)
分类讨论题 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B ．如果圆O 的半径为10，且经 过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 6.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均 为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？
质量检验方法分类总结
质量检验方法分类总结 一、按生产过程的顺序分类 1. 进货检验 定义：企业对所采购的原材料、外购件、外协件、配套件、辅助材料、配套产品以及半成品等在入库之前所进行的检验。 目的：是为了防止不合格品进入仓库，防止由于使用不合格品而影响产品质量，影响正常的生产秩序。 要求：由专职进货检验员，按照检验规范(含控制计划)执行检验。 分类：包括首(件)批样品进货检验和成批进货检验两种。 2. 过程检验 定义：也称工序过程检验，是在产品形成过程中对各生产制造工序中产生的产品特性进行的检验。 目的：保证各工序的不合格品不得流入下道工序，防止对不合格品的继续加工，确保正常的生产秩序。起到验证工艺和保证工艺要求贯彻执行的作用。 要求：由专职的过程检验人员，按生产工艺流程(含控制计划)和检验规范进行检验。 分类：首验；巡验；末验。 3. 最终检验 定义：也称为成品检验，成品检验是在生产结束后，产品入库前对产品进行的全面检验。目的：防止不合格产品流向顾客。 要求：成品检验由企业质量检验部门负责，检验应按成品检验指导书的规定进行，大批量成品检验一般采用统计抽样检验的方式进行。 检验合格的产品，应由检验员签发合格证后，车间才能办理入库手续。凡检验不合格的成品，应全部退回车间作返工、返修、降级或报废处理。经返工、返修后的产品必须再次进行全项目检验，检验员要作好返工、返修产品的检验记录，保证产品质量具有可追溯性。 常见的成品检验：全尺寸检验、成品外观检验、GP12(顾客特殊要求)、型式试验等。 二、按检验地点分类 1. 集中检验 把被检验的产品集中在一个固定的场所进行检验，如检验站等。一般最终检验采用集中检验的方式。 2. 现场检验 现场检验也称为就地检验，是指在生产现场或产品存放地进行检验。一般过程检验或大型产品的最终检验采用现场检验的方式。 3. 流动检验(巡检) 检验人员在生产现场应对制造工序进行巡回质量检验。检验人员应按照控制计划、检验指导书规定的检验频次和数量进行检验，并作好记录。 工序质量控制点应是巡回检验的重点。检验人员应把检验结果标示在工序控制图上。 当巡回检验发现工序质量出现问题时，一方面要和操作工人一起找出工序异常的原因，采取有效的纠正措施，恢复工序受控状态；另一方面必须对上次巡回检后到本次巡回检前所有的加工工件进行100%追溯全检，以防不合格品流入下道工序或客户手中。
三角函数题型分类总结
专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= .
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像
导数中分类讨论三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型 高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释. 几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较 实例1：求函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间. 分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对 函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数 ()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()32 1132 a f x x x ax a -= +--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论： 当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下： 所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为 (),-∞+∞，没有单调递减区间. 当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：
三角函数知识点及题型归纳
三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ=. 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos =)25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ???（Ｂ）,3ππ?? ???（Ｃ）4,33ππ?? ???（Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是。 2.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为最大值为。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ???? 上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 8.函数2 ()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 32
分段函数练习题
1、分段函数 1、已知函数)(x f ＝267,0,100,, x x x x x ++<≥????? ，则 )1()0(-+f f ＝（ ） A ． 9 B ． 71 10 C ． 3 D ． 1110 提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。 解析：0代入第二个式子，-1代入第一个式子，解得)1()0(-+f f =3，故正确答案为C. 90 2、函数||x y x x =+的图象为下图中的（ ） 提示：分段函数分段画图。 解析：此题中x ≠0，当x>0时，y=x+1,当x<0时，y=x-1, 故正确答案为C. 120 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ②f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。 解析：此题中①③正确，故正确答案为A. 120 4、设()1232,2()log 1,2 x e x f x x x -?
分类讨论问题的原因初探
高中代数分类讨论问题的原因初探 分类讨论思想作为高考数学一种必考的数学思想，在高中数学教学中的地位可谓举足轻重，然而很多同学对分类讨论思想在什么情况下要用到，怎么样去使用分类讨论思想都还不甚了解。笔者在多年的高中数学教学中对该思想进行了一些梳理，以求起到抛砖引玉的作用。我认为造成高中代数分类讨论的常见的情形大体有如下几种。 1、 研究指数函数和对数函数性质时对底数必须分类讨论 例如：已知f(x)＝a a 2－1 (a x －a －x )(a>0且a≠1)．讨论f(x)的单调性 解：当a>1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f(x)为增函数． 当00，且a ≠1时，f(x)在定义域内单调递增． 总结：本题中指数函数的底数是字母a ，因此对字母a 进行讨论成为首先要解决的问题。因为当a>1时和当00)，若f(x)≥ln x 在 [1， ＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解：令g(x)＝f(x)－ln x ＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，
x ∈[1，＋∞)，则g(1)＝0，g ′(x)＝a －a －1x 2－1x ＝ ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)? ????x －1－a a x 2， ①当1－a a >1时，01，故g ′(x)>0，g(x)是增函数，g(x)>g(1)＝0，即f(x)>ln x ， 故当x ≥1时，f(x)≥ln x 恒成立． 综上所述，所求a 的取值范围为???? ??12，＋∞. 总结：本题中若令g ′(x)＝0，得x=1－a a 或x=1,由于给定区间为[1， ＋∞)，故1－a a 与1必须进行大小比较，因此出现了对a 进行讨论。 3、 研究等比数列求和问题时必须对公比是否为1进行讨论 例如：求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1的前n 项和S n .（a ≠0） 解： 若a ＝1，则通项a n ＝1＋1＋…＋1＝n ， 于是S n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12 ； 若a≠1，则通项a n ＝1＋a ＋…＋a n －1＝1－a n 1－a ＝11－a (1－a n )，
木工机械质量检测复习总结第一章和第二章课后习题解答说课材料
木工机械质量检测 第一章绪论 1.说明产品的定义及其分类。 答：定义：产品是活动或过程的结果。分类：目前一般将产品分为四种类型，分 别是硬件、软件、流程性材料、服务。通过械加工或以机械加工为主要方法生产出来 的产品，称为机械产品。 2.质量与质量特性的概念以及质量特性主要内容有哪些? 答：质量：机械产品质量是指工程机械产品这一实体满足明确和隐含需要的能力 和特性的总和。质量特性：是指产品、过程或体系与要求有关的固有属性。质量特性包括：技术性能指标，可靠性，维修性，安全性，适应性，经济型，时间性，环境符合性。 3.什么是检验? 答：质量检验就是对产品、过程或服务的一种或多个特性进行测量、检查、验、 计量并将这些特性与规定的要求进行比较，做出接收(合格)或拒收(不合格)判别的过程。 4.质量检验的方式和方法有哪些? 答：检验方式有：按检验程序划分：进货检验、过程检验、最终检验；按检验地点划分：固定(集中)检验、就地检验、流动(巡回)检验；按检验目的划分：生产检验、验收检验、复查检验，仲裁检验；按检验数量划分：全数检验、抽样检验；按检验后果性质划分：非破坏性检验、破坏性检验；按检验人员划分：自我检验、互相检验、专职检验；按检验数据性质划分：计量值检验、计数值检验。质量检验方法通常分为：感官检验、器具检验、试验性使用检验三种。 5.产品质量检验的依据有哪些? 答：产品质量检验的依据是：国家法律和法规、技术标准、产品图样、工艺文件、明示担保和质量承诺、订货合同及技术协议。 6.如何提高检验人员的素质? 第二章材料性能检验 1.拉伸试验主要测定材料的哪些指标? 答：拉伸试验可测定材料的屈服极限σs、强度极限σ b、伸长率δ和截面收缩率ψ，这是最具有代表性的材料力学性能的四个指标。
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．
