2014届高三数学一轮复习课时跟踪检测 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 Word版含解析]

课时跟踪检测(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1．(2012·西安模拟)设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R)的图像关于直线x ＝π

3对称，则

φ等于( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

2．(2012·潍坊模拟)将函数y ＝cos 2x 的图像向右平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·sin x 的

图像，则f (x )的表达式可以是( )

A ．f (x )＝－2cos x

B ．f (x )＝2cos x

C ．f (x )＝

2

2

sin 2x D ．f (x )＝

2

2

(sin 2x ＋cos 2x ) 3．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π

4个单位长度，所得图

像经过点????

3π4，0，则ω的最小值是( )

A.13 B ．1 C.5

3

D ．2

4.(2012·海淀区期末练习)函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R)的部分图像如图所示，那么f (0)＝( )

A ．－12

B ．－

32

C ．－1

D ．－ 3

5.(2012·福州质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )

A.????－7π12，5π

12 B.????－7π12，－π

12 C.???

?－π12，7π12 D.???

?－π12，5π12 6.(2012·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建

立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0??

?

?

32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的

纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )

A ．y ＝sin ????π30t ＋π

6 B ．y ＝sin ????－π60t －π

6 C ．y ＝sin ???

?－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ???

?－π30t －π3

7.(2012·南京模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)

????ω＞0，|φ|＜π

2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ????

π24＝________.

8．(2012·珠海模拟)某港口水的深度y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据：

据，可得函数y ＝f (t )的近似表达式为________．

9．给出下列六种图像变换方法：

(1)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1

2；

(2)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图像向右平移π

3个单位；

(4)图像向左平移π

3个单位；

(5)图像向右平移2π

3个单位；

(6)图像向左平移2π

3

个单位．

请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图像变换到函数y ＝sin ????

x 2＋π3的图像，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．

10．(2012·苏州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π

2

，求函数的解析式．

11．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)????ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ????π4＝3

2

.

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图像．

12．已知函数f (x )＝23sin ????x 2＋π4cos ????

x 2＋π4－sin (x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；

(2)若将f (x )的图像向右平移π

6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]

上的最大值和最小值．

1．(2012·山西四校联考)将函数y ＝cos x 的图像上所有的点向右平行移动π

10个单位长度，

再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )

A ．y ＝cos ????2x －π10

B ．y ＝cos ????2x －π

5 C ．y ＝cos ???

?12x －π10 D ．y ＝cos ???

?12x －π20 2．电流强度I (A )随时间t (s)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)A >0，ω>0，

0<φ<π2的图像如图所示，则当t ＝1

100

s 时，电流强度是( )

A ．－5A

B ．5A

C ．53A

D ．10A

3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？

答 案

课时跟踪检测(二十一)

A 级

1．选D 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π－π

6，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝

5π

6

. 2．选B 平移后的函数解析式是y ＝cos 2????x －π

4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .

3．选D 将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π

4个单位长度，得到的图像对应的函数解

析式为f (x )＝sin ω????x －π4＝sin ????ωx －ωπ4.又因为函数图像过点????3π4，0，所以sin ????3ωπ4－ωπ4＝sin ωπ2＝0，所以ωπ

2

＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为2.

4．选C 由图可知，A ＝2，f ????π3＝2， ∴2sin ????2π3＋φ＝2，∴sin ????2π

3＋φ＝1， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π

6＋2k π(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin φ＝2sin ????－π6＋2k π＝2×????－1

2＝－1. 5．选D 由函数的图像可得14T ＝2π3－5π

12，∴T ＝π，

则ω＝2，又图像过点????

5π12，2，

∴2sin ????2×5π12＋φ＝2，∴φ＝－π

3

＋2k π，k ∈Z ，

∴f (x )＝2sin ????2x －π3，其单调递增区间为????k π－π12，k π＋5π

12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.

6．选C 由题意可得，函数的初相位是π

6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺

时针旋转，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π

30

.

7．解析：由题中图像可知，此正切函数的半周期等于

3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π

2

，所以，ω＝2.由题意可知，图像过定点????3π8，0，所以0＝A tan ????2×3π8＋φ，即3π

4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以，φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以，φ＝π

4.再由图像过定点(0,1)，得A ＝1.综上可知，f (x )

＝tan ????2x ＋π4.故有f ????π24＝tan ????2×π24＋π4＝tan π

3

＝ 3. 答案： 3

8．解析：从表可以看出，当t ＝0时，y ＝10，且函数的最小正周期T ＝12， ∴b ＝10，由2πω＝12得ω＝π6.

由t ＝3时y ＝13得 A sin π

2＋10＝13，∴A ＝3.

∴y ＝f (t )的近似表达式为 y ＝3sin π

6t ＋10.

答案：y ＝3sin π

6

t ＋10

9．解析：y ＝sin x ――→(4) y ＝sin ????x ＋π3――→(2)

y ＝sin ????x 2＋π3，或y ＝sin x ――→(2)

y ＝sin 12x ――→(6) y ＝sin 12????x ＋2π3＝sin ????x 2＋π3. 答案：(4)(2)(或(2)(6))

10．解：由题意可得????? A ＋n ＝4，－A ＋n ＝0，解得????

?

A ＝2，n ＝2.

又因为函数的最小正周期为π

2，

所以ω＝2π

π2

＝4.

由直线x ＝π

3

是一条对称轴可得

4×π3＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z )， 故φ＝k π－5π6(k ∈Z )，又0<φ<π2，

所以φ＝π

6

.

综上可得y ＝2sin ????4x ＋π

6＋2. 11．解：(1)周期T ＝2π

ω

＝π，∴ω＝2，

∵f ????π4＝cos ????2×π4＋φ＝cos π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2<φ<0， ∴φ＝－π3

.

(2)∵f (x )＝cos ?

???2x －π

3，列表如下：

12．解：(1)因为f (x )＝3sin ????x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝232cos x ＋1

2sin x ＝2sin ???

?x ＋π

3， 所以f (x )的最小正周期为2π.

(2)∵将f (x )的图像向右平移π

6个单位，得到函数g (x )的图像，

∴g (x )＝f ????x －π6＝2sin x －π6＋π

3＝2sin ????x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈????

π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π

3

时，

sin ????x ＋π

6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π

6

，即x ＝π时，

sin ????x ＋π6＝－1

2

，g (x )取得最小值－1. B 级

1．选A 依题意得，将函数y ＝cos x 的图像上所有的点向右平行移动π

10个单位长度，

得到的是函数y ＝cos ????x －π10的图像；再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是y ＝cos ?

???2x －π

10. 2．选A 由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1

100.

∴T ＝150＝2π

ω，∴ω＝100π.

∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． 又∵点????1300，10在图像上， ∴10＝10sin ????100π×1

300＋φ， ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π

6， ∴I ＝10sin ????100πt ＋π

6. 当t ＝1

100

时，

I ＝10sin ?

???100π×1100＋π

6＝－5. 3．解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.

根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π

6，且????? －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得?

????

A ＝200，

B ＝300.

根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小， 当x ＝8时f (x )最大， 故sin ????2×π

6＋φ＝－1， 且sin ???

?8×π

6＋φ＝1.

又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π

6

.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f (x )＝200sin ????

π6x －5π6＋300.

(2)由条件可知，200sin ????π6x －5π6＋300≥400，化简，得 sin ????π6x －5π6≥12?2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π

6，k ∈Z ， 解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .

因为x ∈N ＋，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10.

即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．