分式经典题型分类练习题

分式的运算

（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1

,

,,21,2

2

π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x

（5）x

x 1-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）3

1

+-x x

（2）

4

2||2--x x （3）

6

53222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正； （2）当x 为何值时，分式2

)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2

+-x x 为非负数. 练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32++-x x （3）

x

111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|

1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

3．解下列不等式 （1）

01

2

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M B M

A M

B M A B A ÷÷=

??= 2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）

y

x y

x --+-

（2）b

a a

---

（3）b

a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+

y x

，求

y

xy x y

xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x

11

+. 【例4】已知：21=-x

x ，求2

21x

x +

的值.

【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值. 练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+ 2．已知：31

=+x x ，求1

242++x x x 的值.

3．已知：311=-b a ，求

a

ab b b

ab a ---+232的值.

4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值. 5．如果21<

x x x |

||1|1+

---. （三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）

2

2

,

21,

1

222--+--x x x x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2 题型二：约分

【例2】约分：

（1）

322016xy y x -；（3）n m m n --2

2；（3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a bc ab c c b a ÷-?-；

（2）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-?+； （3）m

n m

n m n m n n m --

-+-+22；

（4）11

2

---a a a ；

（5）8

7

4321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ；

（7）)12()2

1444

(22

2+-?--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]1

21()144[(4

8

122x x x x -÷-+--的值； （2）已知：432z

y x ==，求22232z

y x xz yz xy ++-+的值；

（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1

(2

2a a a a --的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若1

11

312-+

+=

--x N

x M x x ，试求N M ,的值. 练习：

1．计算

（1）)

1(23

2)1(21)1(252+-+

+--++a a a a a a ；

（2）a b ab

b b a a ---

-222； （3）b

a c c

b a

c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；

（4）b a b b a ++-2

2；

（5）)4)(4(b

a ab

b a b a ab b a +-+-+-； （6）2

12

1111x x x ++

++-； （7）

)

2)(1(1

)3)(1(2)3)(2(1--+

-----x x x x x x . 2．先化简后求值

（1）1

1

12421222-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2

322])()[()(y

x

x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值.

3．已知：

1

21)12)(1(45--

-=---x B

x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2

805

399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.

（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）3132)()(---?bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---?

（3）2

4

253])

()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x

题型二：化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.

题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）223)102.8()103(--???；（2）3223)102()104(--?÷?. 练习：

1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|3

1|)51()5131

(?-+-+-÷?-- （2）322231)()3(-----?n m n m （3）

23232222)()3()()2(--??ab b a b a ab

（4）

2

1222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x

2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值. 第二讲 分式方程

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程 （1）

x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11

4

112=---+x x x ；

（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程 （1）

4441=+++x x x x ； （2）5

6

9108967+++

++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，6

1

167++

=++x x x . 【例3】解下列方程组

??????

???=+=+=+)

3(4

111)2(3111)1(21

11x z z y y x 题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x 的分式方程3

132--=-x m

x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：03

2>-=

a

x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x 的方程

)0(≠+=--d c d

c

x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程： （1）

021211=-++-x

x

x x ； （2）3

423-=--x x x ； （3）

22

3

22=--+x x x ； （4）

1

71372

22

2

--+

=--

+x x x

x x

x

（5）2

1

23524245--+=--x x x x （6）

4

1

215111++

+=+++x x x x （7）

6

8

11792--+

-+=--+-x x x x x x x x 2．解关于x 的方程： （1）b

x

a

2

11+

=)2(a b ≠；（2）)(11b a x b b x a a ≠+=+.

3．如果解关于x 的方程

2

22-=

+-x x

x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时，关于x 的方程1)

2)(1(23++-=++x x k

x x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程

a x a =++1

1

2无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法

例1．解方程：2

3

1+=

x x 二、化归法

例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程：871

78=----x x x 四、分子对等法

例4．解方程：)(11b a x

b b

x

a a

≠+

=+

五、观察比较法

例5．解方程：4

17

425254=-+-x x x x 六、分离常数法

例6．解方程：87

329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法

例7．解方程：

41

315121+++=+++x x x x

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程x

m

x x -=--221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程1

1122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例

3．若关于x 分式方程4

3

2212

-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

例4．若关于x 的方程

1

1512

2

1

--=

+-+

-x k x

x k x

x 有增根1=x ，求k 的值。

分式

题型一： （1） 1．如果分式

21

1

x x +-无意义，则x 应等于（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 0

2.若分式

212

()()

x x x +--的值为0，则x 的取值范围为 （ ）

(A) 21x x =-=或 (B) 1x = (C) 2x ≠± (D) 2x ≠

3．把分式0.1220.30.25x x -+的x 系数化为整数，那么0.122

0.30.25x x

-+= ．

4．不改变分式的值，使231

72

x x x -+-+-的分子和分母中x 的最高次项的系数都是正数，

应该是（ ）

A. 23172x x x ++-

B. 23172x x x ---

C. 23172x x x +-+

D. 231

72x x x --+

5．将分式11341123

a b

a b +-化简，结果为（ ） A. a b

a b

+- B. 3423a b a b +- C. 4364a b a b +- D. 4364a b a b --

6、已知m x 21+=，m y 21

1+=，则y 等于（ ）

A 、x -2

B 、1-x x

C 、12-+x x

D 、1

1

-+x x

7．已知22440x xy y -+=，那么分式 的值等于________________；

8．若02x <<，化简|2||2|

22x x x x

-----得（ ） A. －2 B. 2 C. 0 D. 1 9．

531333Ax B x x x x x

+-=+---，则A=________,B=_____________.

10．. 如果x ＞y ＞0，那么

11y y

x x

+-+的值是 （ ） (A) 0 (B) 正数 (C) 负数 (D) 不能确定

题型二： 1．解下列方程： （1）

572x x =- （2）32221221

x x x x --+=-- x y

x y

+-

（3）．

1122x x x x +-=-+ （4）．141

43=-+--x

x x （5）3233x x x

--=-- （6）22

13111x x x x --=--

（7）．关于x 的方程233

4

ax a x +=- 的解是x = 1, 则a = ____________ 题型三： 1.若方程1

211

m x x -=-+无解，则m 的值为____________ 2．若

1044m x

x x

--=--无解，则m 的值为____________ 3．关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________ 4．若关于x 的方程21

11x m x x ++=--产生增根，则 m ＝____________； 5．若分式方程4

24-+=-x a

x x 有增根，则a 的值为____________； 6．k 取何值时，方程x x k

x x x x +=+-+2

11

2会产生增根？ 题型四：

1．计算

（1）2ab ÷23()b a - （2）222224

693a a a a a a a

+-÷-+- （3）

4222x x x ++-- （4）23()224

x x x x x x -÷-+- （5）()2

1a a a a -÷- （6）22144422

a a a a a --?-+- 2．计算

（1） 先化简，再求值：

221

42

a a a ---，其中a=-1 （2） 当56,1949x y =-=-时，代数式442222

2x y y x

x xy y x y --?

-++的值为多少？ （3） 若2410x x -+=，求221

x x +

的值： （4）．已知1

3x x

-=，则分式221x x +的值为 ．

（5）．先化简，再求值：

2

142442

a a a a a a a a ---??-÷

?++++??，其中a 满足：2210a a +-= （6）有这样一道题“计算222211

1x x x x x x x

-+-÷--+的值，其中2005x =”。甲同学把条件 "x=2005”

错抄成”x=2050"，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？试一试，你就会有收获。

题型五：

1、 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A 、

22

1v v +千米 B 、2121v v v v +千米 C 、2

1212v v v v +千米 D 、无法确定 2．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天

要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是----------------（ ）

A ．21140140-+x x ＝14

B ．21280

280++x x ＝14 C ．21140140++x x ＝14 D ．21

10

10++x x ＝1 3、 A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ）

A 、9448448=-++x x

B 、9448448=-++x x

C 、9448=+x

D 、9496496=-++x x

4．计算机生产车间制造a 个零件，原计划每天造x 个，后来供货要每天多造b 个，则可

提前几天完成？

5．甲、乙二人分别从相距16千米的A 、B 两地同时相向而行．甲出发4小时甲比乙每小时乙

相遇，若甲的速度是乙的速度的2倍，那么甲，乙两人的速度各是多少？

6．有一项工作需要在规定日期内完成，如果甲单独做，刚好如期完成；如果乙单独做，就要超过规定日期3天。现在由甲、乙两人合做2天，剩下的工作由乙单独做，刚好如期完成，问规定日期是几天

7.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元, 乙工程队工程款1.1万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 8．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．

（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?

（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400

千克按定价的七折（“七折”即定价的70﹪）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少

元？

9．金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.

从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；

若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.

(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.

10．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程

11