基本不等式与线性规划复习

基本不等式与线性规划复习
基本不等式与线性规划复习

基本不等式与线性规划

基本不等式与线性规划

不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为 正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 .4.下列函数中,最小值为22的是 ( ) A .x x y 2+= B .)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C .x x e e y -+=2 D .2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .y=x +x 1 B .y= sinx +x sin 1 ,x ∈(0,2π) C .y= 2 32 2++x x D .y= x x 1 +

6.若lg x +lg y =2,则x 1+y 1 的最小值为( ) A .201 B .51 C .2 1 D .2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值 为 . 8.若1>=+y x y x 则y x 2 1+的最小 . (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 1 1+的最小值为( ) A .8 B .4 C .1 D .4 1 已知312,0,0=+>>y x y x ,则y x 11+的最小 . 若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+ ( ) A .8 B .4 C .22 D .4 22 和定,积有最大(和定的判断依据:相反符号) 1.设 , 20<

不等式与线性规划

1. 不等式2560x x -++≥的解集是______________________________ 2. ()21680k x x --+<的解集是425x x x ??<->???? 或,则k =_________ 3. 不等式20ax bx c ++>的解集为{} 23x x <<,则不等式20ax bx c -+>的解集是___ 4. 若0a b >>,则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________ 5. 已知点(2 , 1)和点(-4 , 5)在直线 3x –2y + m = 0 的两侧,则 m 的取值范围 为_________ 6. 若?????≥+≤≤2 22y x y x ,则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是______________ 7. 已知x ,y 满足?????≥-+≥≥≤-+0320 ,1052y x y x y x ,则x y 的最大值为___________,最小值为____________ 8. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为___________ 9. 、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ,则z=x 2+y 2的最大值和 最小值分别是___________ 10. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ,使z=x+ay(a>0)取得最小值 的最优解有无数个,则a 的值为___________ 11. 若不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式解集是{x|x<-3或x>-2},求k 的值; (2)若不等式解集是R ,求k 的取值。 12. 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型卡 车与4辆载重为10t 的B 型卡车,有10名驾驶员;每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次,B 型卡车3次;每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元,B 型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只调配A 型或B 型卡车,所花的成本费分别是多少?

线性规划常见题型全集

绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题(题型注释) 1.已知实数x ,y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ,则z =4x +y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析:画出可行域,根据图形可知,当目标函数经过A(2,0)点时,z =4x +y 取得最大值为8 考点:线性规划. 2.若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?,表示的平面区域是一个三角形区域,则a 的取值范围是 ( ) A.43a ≥ B.01a <≤ C.413 a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D

【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域(如图1所示),由于直线x y a +=斜率为1-,纵截距为a, 自直线x y a +=经过原点起,向上平移,当01 a <≤时, 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域(如图2所示);当 4 1 3 a <<时, 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域(如图3所示),当 4 3 a≥时, 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域(如图1所示),故选D. 图1 图2 图3 考点:平面区域与简单线性规划. 3.已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? 则 y x的取值范围是( ) A. 9[6] 5 ,B.9 (][6) 5 -∞,?,+∞C.(3][6) -∞,?,+∞D.(3,6]

基本不等式与线性规划

不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为 . 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为 . 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 . 4.下列函数中,最小值为22的是 ( ) A .x x y 2+ = B .)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C .x x e e y -+=2 D .2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .y=x + x 1 B .y= sinx +x sin 1,x ∈(0,2 π) C .y= 2 322++x x D .y=x x 1 + 6.若lg x +lg y =2,则 x 1 +y 1的最小值为( ) A . 20 1 B . 5 1 C . 2 1 D .2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为 . 8.若1>=+y x y x 则 y x 2 1+的最小 . (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 1 1+的最小值为( ) A .8 B .4 C .1 D .4 1 总结:常见倒数关系 x x a a -与 a b b a log log 与

线性规划常见题型大全

线性规划常见题型大全 Revised by BETTY on December 25,2020

绝密★启用前 2014-2015学年度?学校8月月考卷 试卷副标题 考试范围:xxx ;考试时间:100分钟;命题人:xxx 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 一、选择题(题型注释) 1.已知实数x ,y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ,则z =4x +y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析:画出可行域,根据图形可知,当目标函数经过A(2,0)点时,z =4x +y 取得最大值为8 考点:线性规划. 2.若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?,表示的平面区域是一个三角形区域,则a 的取值范围是( ) A.43a ≥ B.01a <≤ C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D

【解析】根据0220x y x y y -≥??+≤? ?≥??? 画出平面区域(如图1所示),由于直线x y a +=斜率为1-,纵截 距为a , 自直线x y a +=经过原点起,向上平移,当01a <≤时,0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个 三角形区域(如图2所示);当413a <<时,0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥? ?+≤ ?表示的平面区域是一个四边形区域 (如图3所示),当43a ≥时,0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个三角形区域(如图1所 示),故选D. 图1 图2 图3 考点:平面区域与简单线性规划. 3.已知变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤, ?? ≥,??+-≤, ? 则y x 的取值范围是( ) A .9[6]5, B .9(][6)5-∞,?,+∞ C .(3][6)-∞,?,+∞ D .(3,6] 【答案】A 【解析】 试题分析:画出可行域, y x 可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点(59,22),(1,6)则可知k =y x 的范围是9[6]5,. 考点:线性规划,斜率. 4.(5分)(2011?广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组 给定.若M (x ,y )为D 上的动点,点A 的坐标为 ,则 z=的最大值为( )

高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题

第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 +bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0); ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x ); ②当0a g (x ) ?f (x )1时,log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0,g (x )>0; ②当0log a g (x )?f (x )0,g (x )>0. 2.五个重要不等式 (1)|a |≥0,a 2 ≥0(a ∈R ). (2)a 2 +b 2 ≥2ab (a 、b ∈R ). (3) a +b 2 ≥ab (a >0,b >0). (4)ab ≤(a +b 2)2 (a ,b ∈R ). (5) a 2+ b 22 ≥ a +b 2 ≥ab ≥ 2ab a +b (a >0,b >0). 3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.

高考数学专题练习:不等式与线性规划

高考数学专题练习:不等式与线性规划 1.若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1,43 B.? ???? 12,43 C.? ? ???1,74 D.? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4. 综上,12<a <7 4,故选D. 2.已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A.(a -1)(b -1)<0 B.(a -1)(a -b )>0 C.(b -1)(b -a )<0 D.(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3.由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-33. 4. 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A.若a >b ,则ac 2>bc 2 B.若a <b <0,则a 2>ab >b 2

线性规划常见题型大全

. 绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题(题型注释) 1.已知实数x ,y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ,则z =4x +y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】 试题分析:画出可行域,根据图形可知,当目标函数经过A(2,0)点时,z =4x +y 取得最大值为8 考点:线性规划. 2.若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?,表示的平面区域是一个三角形区域,则a 的取值范围是 ( ) B.01a <≤ C. D.01a <≤或【答案】D

试卷第2页,总17页 【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域(如图1所示),由于直线x y a += 斜率为1 -,纵截距为a, 自直线x y a +=经过原点起,向上平移,当01 a <≤时, 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+ ≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域(如图2所示) 时, 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域(如图3所示)时, 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域(如图1所示),故选D. 图1 图2 图3 考点:平面区域与简单线性规划. 3.已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? ( ) A.(3][6) -∞,?,+∞ D.(3,6] 【答案】A

线性规划与基本不等式

线性规划及基本不等式 一、知识梳理 (一)二元一次不等式表示的区域 1、对于直线0=++C By Ax (A>0),斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________ 2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域. 当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域. 3、问题1:画出不等式组?????≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2:求z=x-3y 的最大值和最小值 注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件,由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解(x,y )叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解(11,y x )和(22,y x )分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解. (2)、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 1.首先,要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域). 2.设z=0,画出直线l0. 3.观察、分析,平移直线l0,从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (3)、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 (二)基本不等式 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成 立2.、已知x 为正数,求2x+x 1 的最小值

线性规划问题中目标函数常见类型梳理

线性规划问题中目标函数常见类型梳理 山东 张吉林 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点,对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透,只靠死记硬背,生搬硬套,导致思路混乱,解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下,以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型(或截距的相反数) 例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥??-+≥??≤? ,则24z x y =+的最小值为( ) A .5 B .-6 C .10 D .-10 分析:将目标函数变形可得124 z y x =-+,所求的目标函数的最小值即一组平行直线12 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析:由实数x 、y 满足的约束条件,作可行域如图所示: 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时,在y 轴上的截距最小,又(3,3)C -,故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-,答案选B 。 点评:深刻地理解目标函数的含义,正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。 二 直线的斜率型 例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ?+≤?≥? ,求函数31y z x +=+的值域. 解析:所给的不等式组表示圆22 4x y +=的右半圆(含边界),

31 y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --,斜率为z 的直线族.则问题的几何意义为:求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值.由图知,过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大,max 2(3)50(1) z --==--.过点P 所作半圆的切线的斜率最小.设切点为(,)B a b ,则过B 点的切线方程为4ax by +=.又B 在半圆周上,P 在切线上,则有22434 a b a b ?+=?--=?解 得65a b ?=???--?=?? 因 此min z =。综上可知函数的值域 为???? 三 平面内两点间的距离型(或距离的平方型) 例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ,则22448w x y x y =+--+的最值为___________. 解析:目标函数2222 448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-,其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示:

高中不等式的基本知识点和练习题(含答案)

不等式的基本知识 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>;d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则:b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42 -=?,则不等式的解的各种情况 如下表: 2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿偶不穿;(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。()()()如:x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x

简单的线性规划 习题含答案

线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ,则z=x+2y的取值范围是() A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 () A、4 B、1 C、5 D、无穷大解:如图,作出可行域,△ABC的面 积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选 B 3.满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有() A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解:|x|+|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ,使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值 为() A、-3 B、3 C、-1 D、1 解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将 l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产

不等式与线性规划教案

一 体验高考 1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束 条件?? ? ??≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( B ) (A)21 (B)1 (C)2 3 (D)2 解析:∵x+y-3=0和y=2x 交点为(1,2), ∴只有m ≤1时才能符合条件,故选B. 2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x 2+4 1)>lg x(x>0) (B)sin x+ x sin 1 ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R ) (D) 1 1 2 +x >1(x ∈R ) 解析:当x>0时,x 2+41≥2·x ·2 1 =x, 故lg(x 2+41)≥lg x(x>0), 当且仅当x=2 1 时取等号,因此A 不对, B 中由于x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正、负不确定, 因此sin x+ x sin 1≥2或sin x+x sin 1 ≤-2,故B 不正确, C 中,由基本不等式x+y ≥2xy (x>0,y>0)知x 2+1≥22x =2|x|,故C 一定成立, 而D 中,由于x 2≥0,则x 2+1≥1.因此0<1 1 2+x ≤1. 从而D 不正确,因此选C.

3.(2011年高考湖南卷,理10)设x,y ∈R,且xy ≠0,则(x 2+21y )(21x +4y 2 )的最小值为 . 解析:(x 2+ 21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2 +221y x +4 =5+(4x 2y 2+ 221y x )≥5+22 22 214y x y x =5+2×2=9. 当且仅当4x 2y 2=221y x 即x 2y 2=2 1时取得最小值9. 答案:9 二备考感悟 1.命题与备考 (1)不等式解法常与二次函数、集合等知识交汇在一起命题;基本不等 式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相互交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式成立的条件. (2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范围问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等相互交汇考查,求解此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域. 2.小题快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界且目标函数是线性的,则目标函数的最值就在其区域边界的顶点处取得. 三热点考向突破 考向一 不等式的解法 解不等式的常见策略 1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax 2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解; 3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化

线性规划题型总结

线性规划题型总结 1. “截距”型考题 在线性约束条件下,求形如(,) =+∈的线性目标函数的最值问题,通常转 z ax by a b R 化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知,目标函数的最值一般在可行 域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1.(2017天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为()A.B.1 C.D.3 答案:D 解:变量x,y满足约束条件的可行域如图: 目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:3. 2.(2017新课标Ⅲ)若x,y满足约束条件,则 z=3x﹣4y的最小值为. 答案:﹣1. 解:由z=3x﹣4y,得y=x﹣,作出不等式对应的可行域(阴影部分), 平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣, 经过点B(1,1)时,直线y=x﹣的截距最大,此时z取得最小值, 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1,

即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1. 3.(2017浙江)若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞)D.[4,+∞) 答案:D. 解:x、y满足约束条件,表示的可行域如图: 目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值, 由解得C(2,1), 目标函数的最小值为:4 目标函数的范围是[4,+∞). 4.(2016河南二模)已知x,y∈R,且满足,则z=|x+2y|的最大值为() A.10 B.8 C.6 D.3 答案:C. 解:作出不等式组,对应的平面区域如图: (阴影部分) 由z=|x+2y|, 平移直线y=﹣x+z, 由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时,z取得最大 值,

练习-线性规划与基本不等式

线性规划与基本不等式 1.若222x y x y ????+? ≤,≤,≥,则目标函数2z x y =+的取值范围是( ) A.[26], B.[25], C.[36], D.[35], 2.已知x y ,满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥,≥,≤.则24z x y =+的最大值为( ) A.5 B.38- C.10 D.38 3.若变量x ,y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ,则z =2x +y -4的最大值为( ) A .-4 B .-1 C .1 D .5 4.已知目标函数2z x y =+中变量x y ,满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个,则a 的值为( ) A.14 B.35 C.4 D.53 8.已知0x >,0y >,且231x y +=,则23 x y +的最小值为( )

线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ,则z=x+2y 的取值范围是 ( ) A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l :x+2y =0,将 l 向右上方平移,过点A (2,0)时,有最小值 2,过点B (2,2)时,有最大值6,故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解:如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|+|y|≤2的点(x ,y )中整点(横纵坐标都是整数)有( ) A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x +y – 3 = 0 O y x A B C M y =2

解:|x|+|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整 点个数为13个,选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ,使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为 ( ) A 、-3 B 、3 C 、-1 D 、1 解:如图,作出可行域,作直线l :x+ay =0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个,则将l 向右上方平移后与直线x+y =5重合,故a=1,选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ,则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是( ) A 、13,1 B 、13,2 C 、13,4 5 D 、 5 解:如图,作出可行域,x 2+y 2是点(x ,y )到原点的距离的平方,故最大值为点A (2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x +y -2=0的距离的平方,即为 4 5 ,选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x -y +m|<3表示的平面区域包含点 (0,0)和(- 1,1),则m 的取值范围是 ( ) A 、(-3,6) B 、(0,6) C 、(0,3) D 、(-3,3)

不等式和线性规划试题

高2015级高二下期线性规划和不等式集训试题 3月2日星期天下午2:30高二十班教室(带必修5) 1、设变量x ,y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ,则目标函数32z x y =-的最小值为( ) A .6- B .4- C .2 D . 答案:B 2、设变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数x y z 32-=的最大值为( ) A .-3 B .2 C .4 D .5 【答案】C 3、点(x ,y )满足??? x +y -1≥0, x -y +1≥0, x ≤a , 若目标函数z =x -2y 的最大值为1,则实数a 的值是 ( ) A .1 B .-1 C .-3 D .3 选A 由题意可知,目标函数经过点(a,1-a )时达到最大值1,即a -2(1-a )=1,解得a =1.

C 5、设0,0 x y x y +≥?? -≥?与抛物线2 4y x =-的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ,) ,(y x P 为D 的一个动点,则目标函数2z x y =-的最大值为( ) A. 1- B. 0 C. 2 D. 3

6、若不等式组0 3434 x x y x y ≥??+≥? ?+≤?, 所表示的平面区域被直线4 3y kx =+ 分为面积相等的两部分,则k 的值是( B )A 、73 B 、37 C 、43 D 、3 4 7、已知2z x y =+,x y ,满足2y x x y x m ≥?? +≤??≥? ,且z 的最大值是最小值的4倍,则m 的值是 ( ) A . 14 B . 15 C . 16 D .17 考点:简单线性规划

线性规划常见题型及解法(上课)

线性规划常见题型及解法 温故 1.不在3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是()A.(0,0)B.(1,1)C.(0,2)D.(2,0) 2.已知点(3 ,1)和点(-4 ,6)在直线3x–2y + m = 0 的两侧,则()A.m<-7或m>24 B.-7<m<24 C.m=-7或m=24 D.-7≤m≤24 3.在△ABC中,三顶点坐标为A(2 ,4),B(-1,2),C(1 ,0 ),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,则z= x– y 的最大值和最小值分别是() A.3,1 B.-1,-3 C.1,-3 D.3,-1 4.在直角坐标系中,满足不等式x2-y2≥0 的点(x,y)的集合(用阴影部分来表示)的是() 5.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是()A. 2 3260 y x y x ≥- ? ? -+> ? ?< ? B. 2 3260 y x y x >- ? ? -+≥ ? ?≤ ? C. 2 3260 y x y x >- ? ? -+> ? ?≤ ? D. 2 3260 y x y x >- ? ? -+< ? ?< ?

由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ,则z=x+2y的取值范围是() A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值

线性规划和基本不等式常见题型

线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ,则z=x+2y 的取值范围是 ( ) A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l :x+2y =0,将直线 向右上方平移,过点A (2,0)时,有最小值2, 过点B (2,2)时,有最大值6,故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260 302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解:如图,作出可行域, △ABC 的面积即为所求, 由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|+|y|≤2的点(x ,y )中整点(横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解:|x|+|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得 到整点个数为13个,选 D 四,求非线性目标函数的最值 例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ,则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是( ) A 、13,1 B 、13,2 C 、13,4 5 D 、

简单的线性规划常见题型总结

简单的线性规划常见题型 第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z ax by =+截距型) 例1.设x,y 满足约束条件?? ???≥≤+-≤-1255334x y x y x ,求52z x y =+的最值 解:可行域是如图所示中ABC ?的区域,得A(5,2),B(1,1),C(1,5 22) 作出直线L 0:5x+10y=0,再将直线L 0平移, 当L 经过点B 时,y 轴截距最小,即z 达到最小值,得min 7z =. 当L 经过点A 时,y 轴截距最大,即z 达到最大值,得max 29z =,所以最大值是29,最小值是7 小试牛刀:1、若x y ,满足约束条件03003x y x y x ?+?-+??? ,,,≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 2、设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-??+≥??-≤?则目标函数4z x y =+的最大值 3、设变量x 、y 满足约束条件?? ???-≥≥+≤632x y y x x y ,则目标函数y x z +=2的最小值为 4、设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥??-≥??-≤? 则z x y =+的最值为________ 第Ⅱ类 求可行域的面积 关键是准确画出可行域,根据其形状来计算面积,基本方法是利用三角形面积,或切割为三角形 例2.不等式组?? ???≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 ( ) 2 (B)4 2 (D)2 解:可行域是A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形,易得面积为4 小试牛刀:1、不等式组236, -0, 0x y x y y +≤??≥??≥? .表示的平面区域的面积为 。

不等式与线性规划含答案

不等式与线性规划 考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.(2)多与集合、函数等知识交汇命题,以填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2+bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0); ②变形?f (x )g (x ) ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x ); ②当0a g (x )?f (x )1时,log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0,g (x )>0; ②当0log a g (x )?f (x )0,g (x )>0. 2.五个重要不等式 (1)|a |≥0,a 2≥0(a ∈R ). (2)a 2+b 2≥2ab (a 、b ∈R ). (3)a +b 2≥ab (a >0,b >0). (4)ab ≤(a +b 2 )2(a ,b ∈R ). (5) a 2+b 22≥a +b 2≥ab ≥2ab a +b (a >0,b >0). 3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定最优解;③求出目标函数的最大值或者最小值.

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