基于有限元的等强度悬臂梁设计(毕业设计范文)

基于有限元的等强度悬臂梁设计

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基于有限元的等强度悬臂梁设计

摘要：在工程上采用悬臂梁支撑已得到较为广泛的应用，但对工程中常见的悬臂梁，各横截面上的弯矩并不相等，如采用等截面梁是很不经济,材料没有得到充分的利用。而采用变截面的梁，使各截面上的最大应力值同时接近材料的许用应力,即设计为等强度悬臂梁, 这样可提高材料的利用率。本文参考工程中常见的悬臂梁模型，主要设计了在集中载荷及均布载荷作用下的矩形及圆形截面的等强度悬臂梁。对于矩形截面等强度悬臂梁设计，先采用ANSYS10.0有限元分析由方形等截面梁优化设计成截面尺寸较合理的矩形等截面梁，在此基础上进一步计算分析设计等强度悬臂梁，再利用有限元软件ANSYS10.0对其验证分析，得出等强度梁各截面上的最大应力近似接近材料的许用应力，并且矩形和圆形截面的等强度梁比等截面梁节省了大量的工程材料，体现出了很好的经济性。

关键词：悬臂梁；ANSYS；有限元；等强度梁

The design of uniform strength cantilever beam based

on the Finite Element

Abstract:On the project, it has been obtained more widespread application that we use the cantilever beam to support. To the project, the bending moment is not equal in various lateral sections in common cantilever beam. If we use the uniform section beam，that is very uneconomical, and the material has not obtained the full use. However, if we use the variable cross-section beam, it causes the biggest stress value to the close material allowable stress on various sections at the same time, namely the design for uniform strength cantilever beam, so the material is made full use. Referencing the common model of the cantilever on the project, The article mainly designs rectangular and circular section's uniform strength cantilever beam under the concentrated load and the uniform load function. To design the rectangular cross-section's uniform strength cantilever beam, First of all, using the Finite Element analysis ANSYS10.0，it makes a square equal section beam optimize design more reasonable Section size's rectangular cross-section beam. Based on it, we design the uniform strength cantilever beam, then use the Finite Element analysis ANSYS10.0 to verify analysis, so it is drawn that the equal strength beam various sections maximum stress approaches in the material allowable stress, and the rectangular and the circular section's uniform strength cantilever beam save a lot of engineering materials than equal Section beam, manifesting good economy.

Key words:cantilever beam, ANSYS, finite element, uniform strength beam

目录

第1章绪论 (1)

1.1 目前悬臂梁设计的现状 (1)

1.2 课题的提出及研究意义 (2)

1.3 课题研究的主要内容 (2)

第2章有限元的基本理论 (4)

2.1 有限元概述 (4)

2.2 有限元ANSYS简介 (5)

2.3 有限元ANSYS分析过程 (6)

第3章梁的优化设计 (9)

3.1 优化设计步骤和方法 (9)

3.2 均布载荷作用下梁的优化设计 (10)

3.2.1方形截面梁的设计 (10)

3.2.2梁的优化设计 (12)

3.3 集中载荷作用下梁的优化设计 (23)

3.3.1方形截面梁的设计 (23)

3.3.2 梁的优化设计 (25)

第4章矩形截面等强度悬臂梁设计 (29)

4.1均布载荷作用下等强度梁的设计 (29)

4.1.1 等强度梁的设计 (29)

4.1.2 有限元ANSYS的验证分析 (31)

4.2集中载荷作用下梁的设计 (34)

4.2.1 等强度梁的设计 (34)

4.2.2 有限元ANSYS的验证分析 (35)

第5章圆形截面等强度悬臂梁设计 (39)

5.1 梁的建模 (39)

5.2 梁的等强度设计 (42)

第6章结束语 (46)

6.1 内容总结 (46)

6.2 展望与建议 (46)

参考文献 (48)

致谢 (50)

第1章绪论

1.1悬臂梁发展的现状

目前，悬臂梁结构在实际工程中被得到广泛的应用，是一种较为常用的结构,尤其在机械设计、建筑设计中更是常见。下面我们先看两个实际的例子：

图1-1 起重机

图1-1中的起重机是一个典型的悬臂梁结构，当起重机调运货物时，就相当于是承受集中力载荷的作用。

图1-2悬臂式货架

图1-2中的悬臂式货架也是一种悬臂梁机构，在存放货物时，等同于是承受均布载荷的作用。

1.2课题的提出及研究意义

悬臂梁结构是工程上一种较为常用的结构,尤其在机械设计、建筑设计中更是常见。悬臂梁结构在实际的使用过程中，经常要承受各种集中载荷、分布载荷、弯矩和扭矩的作用，在梁的任意一处都有可能产生较大的应力和变形，从而使得悬臂梁结构破坏或失效。在对悬臂梁结构设计的过程中，如何在规定的变形和应力的约束条件下进行形状优化，使得梁体积最小、材料最省是一个典型的结构设计问题。

对工程中常见的梁，各横截面上的弯矩并不相等，如采用等截面梁是很不经济的。可采用变截面的梁，使各截面上的最大应力值同时接近材料的许用应力，即等强度梁。本课题采用有限元软件ANSYS对工程中常用的悬臂梁进行等强度梁设计，具有工程实用价值和现实意义。

1.3 课题研究的主要内容

设计在集中载荷及均布载荷作用下的矩形及圆形截面等强度悬臂梁，并采用有限元软件ANSYS对所设计的等强度梁分析其应力分布，来验证设计的正确性，最后比较等强度梁与等截面梁的经济性。

设计的主要内容包括以下四大部分：

1、结合工程实际的尺寸，分别取矩形及圆形截面悬臂梁为研究对象。

2、对其进行优化设计：

1）生成循环所用的分析文件

2）建立优化过程中的参数

3）进入OPT ,指定分析文件(OPT)

4）声明优化变量

5）选择优化工具或优化方法

6）指定优化循环控制方式

7）进行优化设计

8）查看设计序列结果

3、利用材料力学公式构建数学模型，计算出截面弯矩和应力变化规律，

从而进一步分析设计矩形及圆形截面的等强度悬臂梁。

4、利用有限元软件ANSYS对其设计的等强度悬臂梁进行验证分析计

算，求得最佳设计解并描绘各截面上的最大应力曲线图，最后从材料的用量上比较等强度梁与等截面梁的经济性。

第2章有限元基本理论

从1965年“有限元”这个概念的第一次出现，到今天有限元方法在工程上得到广泛应用，已经经历了四十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中也得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。

目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法，但就其实用性和应用的广泛性而言，主要还是有限单元法。当前在我国工程界，有限元法在现代结构力学、热力学、流体力学和电磁学等许多领域都发挥着重要作用，其中被广泛使用的大型有限元分析软件有ANSYS、MSC/Nastran、ABAQUS、MARC、ADINA和ALGOR等。总的来说，国内的有限元技术应用还处于起步阶段，需要加强和推广，提高企业产品设计的手段和技术水平，从而增强产品的在国际市场的竞争力。

2.1 有限元的概述

工程和机械结构的力学分析中，最后往往归结为在给定边界条件下求解某一微分方程。经典力学的解析法在理论上是严密精确的，但能用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，且几何形状相当规则和受力状况简单的问题。对于实际工程中大多数较复杂的结构，寻求解析解是非常困难的，往往是无法得到的。随着计算机技术的发展和广泛应用，人们寻找和发展了另一种求解途径——数值方法，比较常用的有有限差分法和有限单元法。有限差分法（FDM，Finite Difference Method），是将整个连续体划分为规则的差分网格（一般取等步长），用差分代替微分，将微分方程离散为差分方程。有限差分法实质上是在求解微分

方程时作数学上的近似处理，推导出的差分方程是对基本微分方程的逐点近似，求解域划分成较多的节点时，可获得工程上所要求的计算精度。不过，对于几何形状不规则、边界条件复杂的结构，难于建立表征整个结构力学特性的微分方程的情况下，就无法应用有限差分法了。

有限单元法（FEM，Finite Element Method）则是在力学模型上近似的数值方法，将被分析的结构直接离散化，使用最小位能原理或虚位移原理等力学基本理论求解。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限数量、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。有限单元法的另一个重要特点是利用在每个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数或及其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。这样，未知场函数或及其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的增加，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。

2.2 有限元ANSYS简介

ANSYS是一种应用广泛的通用的有限元工程分析软件，它集结构、热、流体、电磁、声学于一体，可广泛应用于核工业、机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、日用家电等一般工业及科学研究。该软件可在大多数计算机及操作系统运行，从PC机到工作站直至巨型计算机，ANSYS文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼容；该软件基于Motif的菜单系统使用户能够通过对话框、下拉式菜单和子菜单进行数据输入和功能选择，大大方便了用户操作。ANSYS软件能与大多数CAD软件实现数据共享和交换，它是现代产品设计中高级的CAD/CAE软件之一。

ANSYS软件含有多种分析能力，包括简单线性静态分析和复杂非线性动态分析。可用于求结构、流体、电力、电磁场及碰撞等问题的解答。它包含了预处理，

解题程序以及后处理和优化等模块，将有限元分析、计算机图形学和优化技术相结合，已成为解决现代工程问题必不可少的有力工具。

ANSYS有限元之所以能得到广泛的用途，是因为它有其自身的特点，概括如下：

·唯一具有中文界面的大型通用有限元软件

·强大的非线性分析功能

·多种求解器分别适用于不同的问题及不同的硬件配置

·支持异种、异构平台的网络浮动，在异种、异构平台上用户界面统一、数据文件全部兼容

·强大的并行计算功能支持分布式并行及共享内存式并行

·多种自动网格划分技术

·良好的用户开发环境

·唯一能实现多场及多场耦合分析的软件

·实现前后处理、求解及多场分析统一数据库的一体化大型FEA软件

·唯一具有多物理场优化功能的FEA软件

2.3 有限元ANSYS分析过程

在有限元分析过程中，主要是应用三个基本模块：前处理模块、分析计算求解模块和后处理模块。预处理模块提供一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可方便地构造有限元模型，实现参数定义、实体建模和网格划分三种功能。在分析计算求解模块中，是通过定义分析的类型、分析的选项、载荷数据和载荷步选项等，来对模型进行有限元的求解。对于后处理模块则主要是用来查看分析结果，从而得到位移、应力、应变等的图形和数字显示。

梁的有限元分析流程如图2-1:

图2-1 梁的有限元分析流程

(一)前处理模块

有限元分析软件ANSYS的前处理器功能很强大，具有强大的建模功能。建模时，需要先建立结构的几何模型，给出材料参数和单元类型，最后划分网格，形成结果的有限元模型。ANSYS提供了三种创建模型的方法：实体建模方法、直接建模方法和输入在其他计算机辅助设计系统中创建的模型。本课题所用的有限元模型是用实体模型建模，类似于CAD，ANSYS以数学的方式表达结构的几何形状，然后在创建里面划分节点和单元，还可以在几何模型边界上方便的施加载荷，但是实体模型并不参与有限元分析，所以施加在实体边界上的载荷或约束必须最终传递到有限元模型上（单元或是节点）进行求解，这个过程通常是ANSYS程序自动完成的。

直接建模的方法就是在ANSYS的前处理程序中直接定义每个节点的位置以及单元的大小、形状和连通性来创建有限元模型。节点用来定义单元在空间的位置，单元定义了模型额连接性。直接建模的方法适用于线模型和较简单的有规则几何结构。可以自己控制每个单元和节点的编号。但是直接建模的方法往往需要处理大量的数据，也不能进行自适应网格划分，改进网格划分十分困难。对大而复杂的结构，应采用实体建模的方法。

ANSYS提供了两种方法进行实体建模，即自底向上（Bottom-Up）的建模方法和自上向下（Up-Bottom）的建模方法。自底向上的建模方法是先创建关键点，然后依次创建相关的线、面和体等图元。自上而下的建模方法是可以直接创建最高级的图元，如球、棱柱等三维实体，通常称之为几何体素。当定义了一个体素时，程序会自动定义相关的关键点、面和线。可以利用这些高级图元直接够早几何造型。在ANSYS建模过程中，自上而下的建模方式和自底向上的建模方式可以自由组合使用，使模型的创建更加方便。实体建模的优点是：对于庞大或复杂的模型，特别是对三维实体模型更合适；相对而言需处理的数据少一些，容许对节点和单元不能进行的几何操作（如拖拉和旋转）；支持使用面和体的体素及布尔运算以顺利建立模型；便于施加载荷之后能进行所要求的局部网格细化；便于几何上的改进；便于改变单元类型，不受分析模型的限制。

用户可以通过四种途径创建ANSYS模型：

(1)在ANSYS环境中创建实体模型，然后划分有限元网格。

(2)在其它软件中创建实体模型，然后读入ANSYS环境中，经过修正后划分有限元网格。

(3)在ANSYS环境中直接创建节点和单元。

(4)在其他软件中创建有限元模型，然后将节点和单元数据读入ANSYS。

单元属性是指划分网格以前必须指定的所分析对象的特征，这些特征包括：材料属性、单元类型、实常数等。需要强调的是，除了磁场分析以外，用户不需要告诉ANSYS使用的是什么单位制，只需要决定自己使用何种单位制，然后确保所有输入值的单位制统一，单位制影响输入的实体模型尺寸、材料属性、实常数及载荷等。

（二）分析计算求解模块

ANSYS能够求解由有限元方法建立的联立方程，求解结果为：

（1）节点的自由度值，为基本解。

（2）原始解的导出值，为单元解。

单元解通常实在单元的公共节点上计算出的，ANSYS程序将结果写入数据库和结果文件。

ANSYS程序中有几种解联立方程的方法：直接解法、稀疏矩阵直接解法、雅可比共轭梯度法(JCG) 、不完全分解共轭梯度法(ICCG) 、预条件共轭梯度法(PCG) 、自动迭代法(ITER) 、以及分块解法(DDS) 。默认为直接解法。（三）后处理模块

后处理是指检查分析的结果。这是分析中最重要的一环，因为可以搞清楚作用载荷如何影响设计、单元划分好坏等。

检查分析结果可以使用两个后处理器：通用后处理器POST1和时间历程后处理器POST26。POST1允许检查整个模型在某一载荷步和子步的结果。POST26可以检查模型的指定点的特殊结果相对于时间、频率或其他结果的变化。

第3章梁的优化设计

3.1优化设计步骤和方法

优化设计是有限元ANSYS的高级分析技术，其特点是直接使用ANSYS分析的各种结果，不需要为目标函数、约束条件建立解析方程。

优化设计通常包括以下几个步骤，这些步骤根据用户所选用优化方法的不同而有细微的差别。

1、生成循环所用的分析文件

2、建立优化过程中的参数

3、进入OPT ,指定分析文件(OPT)

4、声明优化变量

5、选择优化工具或优化方法

6、指定优化循环控制方式

7、进行优化设计

8、查看设计序列结果

ANSYS 程序主要提供了两种优化的方法，即零阶方法和一阶方法。

零阶方法(直接法)：这是一个完善的零阶方法，使用所有因变量(状态变量和目标函数)的逼近。该方法是通用的方法，可以有效的处理绝大多数的工程问题。需要优化迭代次数多。

一阶方法(间接法)：本方法使用偏导数，即使用因变量的一阶偏导数。此方法精度较高，尤其是在因变量变化很大，设计空间也相对较大时。但是，每次优化迭代消耗的机时较多。

除此之外，ANSYS软件提供了其他很多种不同的优化算法，需要根据不同情况来加以选择。由于在本课题设计中，所涉及到的实例数学建模为一阶导数，又因为建立的几何模型比较大，网格划分比较多，精度要求较高。需要耗费大量的计算机资源，进行优化设计所需要的时间较长。因此，本文决定采用一阶优化方法。

3.2均布载荷作用下梁的优化设计

3.2.1 方形截面梁的设计

一般在工程上梁的材料使用较多为Q235碳素钢，其综合性能比较好。本文设计梁的材料上，选择材料Q235碳素钢进行研究。

查《金属材料手册》Q235基本材料特性如下：

弹性模量：E =206GPa=206×109Pa=2.06e11 N/m 2

泊松比： μ = 0.25

屈服极限：σs = 235MPa

安全因数：n s = 1.5

密度：ρ= 7.8e3 kg/ m 3

即：Q235碳素钢的许用应力[σ] = s /s n =235/1.5 = 157MPa

对梁进行优化设计之前，先选择方形截面作研究对象，然后再对其优化设计，这样可以得到合理的矩形截面梁。参照图1-2实际模型，理论上进行数学建模。建模如下：

建立一方形截面的悬臂梁如图2-1所示，受均布载荷q =1000KN/m ，梁的长度l =3m ，许用应力[σ]为157 MPa ，在保证梁的强度要求下，确定梁的最小方形截面尺寸。

图3-1 悬臂梁及剪力弯矩图

由公式：σmax=M(x)/W(x)≤[σ] (3-1)

M(x)=qx2/2 (3-2) W(x)=bh2/6 (3-3) 得：

min 0.556

h m

≥== (3-4) 梁的最小方形等截面尺寸选择为h=b=0.556m

结合实际工程选择梁的长度l=3m，因此，选择l=3m，h=b=0.556m的梁进行优化设计，在优化前先对梁进行有限元分析。梁的应力云图和上下表面取点应力曲线(横坐标为梁的长度，纵坐标为梁的截面应力值，下同。)：

图3-2优化前梁的应力云图

（a）上表面（b）下表面

图3-3 各取上下表面一排节点的应力曲线

从上面梁的应力云图和应力曲线可以看出，梁在受到均布载荷时，各横截面应力并不相等。只是在固定端约束的地方，弯矩最大，此时梁的应力值接近梁的许用应力值，很明显弯矩较小的地方应力值远小于梁的许用应力值，因此；梁的材料没得到充分的利用，需要进一步优化设计。

3.2.2 梁的优化设计

1、建立数学问题对梁进行优化设计：

承受均布载荷作用的钢制悬臂梁如图3-1所示，均布载荷q=1000kN/m，L=3m，H=0.556m，B=0.556m，要求梁的高度不超过1m、宽度不低于0.3m、许用应力不超过157MPa时，使梁的质量最小。

利用ANSYS对上述的梁进行优化设计，其具体优化分析步骤如下：

(1) 改变工作名

拾取菜单Utility Menu→File→Change Jobname。

(2) 定义参量初始值

拾取菜单Utility Menu→Paremeters→Scalar Paremeters。

将梁的几何尺寸H = 0.556，B = 0.556，L = 3分别输入。

图3-4参数对话框

(3) 创建单元类型

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete。

梁的设计是建立在有限元的基础上，所以在优化设计前要对梁定义单元的类型。在设计中选择梁单元“2D elastic 3”。

(4) 定义实常数

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Real Constants→Add/Edit/Delete。

在有限元分析中，要建立梁的模型，就要对梁的一些常数和特性进行定义：梁的截面积AREA=B*H；

截面对中性轴的惯性矩I=B*H*H*H/12；

HEIGHT= H。

(5) 定义材料特性

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Material Props→Material Models。

设计中梁材料选Q235碳素钢,它的材料属性, 查《金属材料手册》可知: 弹性模量：E =206GPa=206×109Pa=2.06e11 N/m2,

泊松比：μ = 0.25

(6) 创建关键点

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create→Keypoints→

In Active CS。弹出如图3-5所示的对话框，在“NPT”文本框中输入1，在“X，Y，Z”文本框中分别输入0，0，0，单击“Apply”按钮；在“NPT”文本框中输入2，在“X，Y，Z”文本框中分别输入L，0，0，单击“OK”按钮。

图3-5 创建关键点的对话框

(7) 创建直线

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create→Lines→Lines→Straight Line。拾取关键点1和2。

(8) 划分单元

拾取菜单Main Menu→Preprocessor→Meshing→MeshTool。

有限元分析是将梁通过网格的划分成有限的单元，然后再对其进行有限分析计算。拾取上面建立的直线分成50段，再划分网格。

(9) 显示点、线、单元

拾取菜单Utility Menu→Plot→Multi-Plots

(10) 施加位移约束载荷

拾取菜单Main Menu→Solution→Define Loads→Apply→Structural→Displacement→On Keypoints。

拾取关键点1，将点1的X、Y、Z方向加上约束。

(11) 施加压力载荷

拾取菜单Main Menu→Solution→Define Loads→Apply→Structural→Pressure→On Beans。

根据梁的实际尺寸和工程中的情况，在梁上施加q=1000KN/m的均布载荷。

(12) 求解

拾取菜单Main Menu→Solution→Slove→CurrentLS。

(13) 定义单元表

拾取菜单Main Menu→General Postproc→Element Table→Define Table。

在对话框“Lab”文本框中输入E_VOLU,在“Item”列表中选择“Geometry”，在“Comp”列表中选择“Elemvolume V olu”。

(14) 计算单元体积

拾取菜单Main Menu→General Postproc→Element Table→Sum of Each Item。

计算体积总和为：0.927408 m3。

(15) 提取单元体积

拾取菜单Utility Menu→Parameters→Get Scalar Data。

在对话框左侧列表中选择“Results data”，在右侧列表中选择“Element table sums”，在“Name”文本框中输入V_TOT。

(16) 提取梁的许用应力值

在ANSYS command prompt 命令框中，输入提取梁许用应力值命令：

/POST1

ETABLE,SMAX-I,NMISC,1 ！SMAX-I=每个单元I节点处应力的最大值

ETABLE,SMAX-J,NMISC,3 ！SMAX-J=每个单元J节点处应力的最大值

ESORT,ETAB,SMAX-I,,1 ！按照单元SMAX-I的绝对值大小排序

*GET,SMAXI,SORT,,MAX ！参数SMAXI=SMAX-I的最大值

ESORT,ETAB,SMAX-J,,1 ！按照单元SMAX-J的绝对值大小排序

*GET,SMAXJ,SORT,,MAX ！参数SMAXJ=SMAX-J的最大值

SMAX=SMAXI>SMAXJ ！参数SMAX=最大应力值

FINISH ！程序结束

(17) 生成优化分析文件

拾取菜单Utility Menu→File→Write DB log file。

选择文件保存文件夹为ANSYS当前工作文件夹，在“Write Database log