Graphs and Matrices
Graphs and Matrices
This example shows an application of sparse matrices and explains the relationship between graphs and matrices.
A graph is a set of nodes with specified connections between them. An example is the connectivity graph of the Buckminster Fuller geodesic dome (also a soccer ball or a carbon-60 molecule).
In MATLAB, the graph of the geodesic dome can be generated with the BUCKY function.
A graph can be represented by its adjacency matrix.
To construct the adjacency matrix, the nodes are numbered 1 to N. Then element (i,j) of the matrix is set to 1 if node i is connected to node j, and 0 otherwise.
Here are the nodes in one hemisphere of the bucky ball, numbered polygon by polygon.
To visualize the adjacency matrix of this hemisphere, we use the SPY function to plot the silhouette of the nonzero elements.
Note that the matrix is symmetric, since if node i is connected to node j, then node j is connected to node i.
Now we extend our numbering scheme to the whole graph by reflecting the numbering of one hemisphere into the other.
Finally, here is a SPY plot of the final sparse matrix.
In many useful graphs, each node is connected to only a few other nodes. As a result, the adjacency matrices contain just a few nonzero entries per row.
This example has shown one place where SPARSE matrices come in handy.
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MatrixEponenential-指数矩阵计算
is invertible then .
symmetric, and that if X is skew-symmetric then e X is orthogonal. exp(X*) = (e X)*, where X* denotes the conjugate transpose of X. It follows that if X is Hermitian then e X is also Hermitian, and that if X is skew-Hermitian then e X is unitary. Linear differential equations One of the reasons for the importance of the matrix exponential is that it can be used to solve systems of linear ordinary differential equations. Indeed, it follows from equation (1) below that the solution of where A is a matrix, is given by The matrix exponential can also be used to solve the inhomogeneous equation See the section on applications below for examples. There is no closed-form solution for differential equations of the form where A is not constant, but the Magnus series gives the solution as an infinite sum. The exponential of sums We know that the exponential function satisfies e x + y = e x e y for any numbers x and y. The same goes for commuting matrices: If the matrices X and Y commute (meaning that XY = YX), then However, if they do not commute, then the above equality does not necessarily hold. In that case, we can use the Baker-Campbell-Hausdorff formula to compute e X + Y. The exponential map Note that the exponential of a matrix is always a non-singular matrix. The inverse of e X is given by e-X. This is analogous to the fact that the exponential of a complex number is always nonzero. The matrix exponential then gives us a map from the space of all n×n matrices to the general linear group, i.e. the group of all non-singular matrices. In fact, this map is surjective which means that every non-singular matrix can be written as the exponential of some other matrix (for this, it is essential to consider the field C of complex numbers and not R). The matrix logarithm gives an inverse to this map. For any two matrices X and Y, we have
数学图形知识点
数学图形知识点 数学图形知识点 一、图形的变换 1、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完 全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2、成轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相 等;②对称点的连线与对称轴垂直;③对称轴两边的图形大小形状完 全相同。 3、物体旋转时应抓住三点：①旋转中心;②旋转方向;③旋转角度。旋转只改变物体的位置，不改变物体的形状、大小。 二、因数与倍数 1、因数和倍数：如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的，最小 的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小 的是它本身，没有最大的，方法时依次乘以自然数。 4、2、 5、3的倍数的特征：个位上是0、2、4、 6、8的数，都 是2的倍数。个位上是0或5的数，是5的倍数。一个数各位上的 数的和是3的倍数，这个数就是3的`倍数。 5、偶数与奇数：是2倍数的数叫做偶数(0也是偶数)，不是2 的倍数的数叫做奇数。
6、质数和和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做质数(或素数)，最小的质数是2。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数，最小的合数是4。 三、长方体和正方体 1、长方体和正方体的特征：长方体有6个面，每个面都是长方形(特殊的有一组对面是正方形)，相对的面完全相同;有12条棱，相对的棱平行且相等;有8个顶点。正方形有6个面，每个面都是正方形，所有的面都完全相同;有12条棱，所有的棱都相等;有8个顶点。 2、长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 3、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4正方体的棱长总和=棱长×12 4、表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 5、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=(ab+ah+bh)×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 6、表面积单位：平方厘米、平方分米、平方米相邻单位的进率为100 7、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 8、长方体的体积=长×宽×高用字母表示：V=abh长=体积÷(宽×高)宽=体积÷(长×高) 高=体积÷(长×宽) 正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：V=a×a×a 9、体积单位：立方厘米、立方分米和立方米相邻单位的进率为1000
小学数学 图形与几何 知识点归纳汇总
小学数学图形与几何知识点归纳汇总 图形与几何 一线和角 （1）线 *直线 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 *射线 射线只有一个端点；长度无限。 *线段 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 *平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 *垂线 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 锐角：小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
1长方形 （1）特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b)s=ab 2正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式 c=4a s=a2 3三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。（2）计算公式 s=ah/2 （3）分类 按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
Invasion Assay Using 3D Matrices
Invasion Assay Using 3D Matrices 1. Overview Scientists have developed 3D models to more accurately study cell invasion and migration processes. While most traditional cell culture systems are 2D, cells in our tissues exist within a 3D network of molecules known as the extracellular matrix or ECM. While many of the mechanistic processes required for cell motility in 2D and 3D are similar, factors such as the reduced stiffness of ECM compared to plastic surfaces, the addition of a third dimension for migration, and the physical hindrance of moving through the mesh of long polymers in the ECM, all present different challenges to the cell compared to two-dimensional migration. This video will briefly introduce the basic function and structure of the ECM, as well as the mechanisms by which cells modulate and migrate through it. Next, we’ll discuss a general protocol used to study endothelial cell invasion. Finally, we will highlight several applications of 3D matrices to studying different biological questions. 2. ECM Composition and Cell-ECM Interaction Let’s begin by examining the composition of the ECM, and how cells interact with it.
初中数学知识点总结汇总结构图
有理数数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。 有理数 概念：凡能写成形式的数，都是有理数。（正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数， 也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数。） 有理数的分类：①有理数 正有理数 零 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 ②有理数 整数 分数 正整数 零 负整数 正分数 负分数 相反数 (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数。 绝对值：正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； 有理数比大小 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数＞0，小数-大数＜0。 互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是； 若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数。 有理数乘方的法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-a n 或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =a n 或(a-b)n=(b-a)n . 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。 举几个例子：3一共有1个有效数字，0.0003有一个有效数字，0.1500有4个有效数字， 1.9*10^3有两个有效数字（不要被10^3迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了，10^n 看作是一个单位）。 整式的加单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。 单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系 数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。 多项式：几个单项式的和叫多项式。
图形的初步认识知识点
? ? ? ? ? ?图形的初步认识 一、本章的知识结构图 一、立体图形与平面图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等。 主（正）视图---------从正面看 2、几何体的三视图侧（左、右）视图-----从左（右）边看 俯视图---------------从上面看 （1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。 （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。 （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 例1 （1）如图1所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的物体。 （2）如图2所示，写出图中各立体图形的名称。 图 1 图2 解：（1）①与d类似，②与c类似，③与a类似，④与b类似。 （2）①圆柱，②五棱柱，③四棱锥，④长方体，⑤五棱锥。 例2 如图3所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图。 图3 解：（1）左视图，（2）俯视图，（3）正视图 练习 1．下图是一个由小立方体搭成的几何体由上而看得到的视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则从正面看它的视图为（）
人教版七年级上册数学知识结构
一：有理数 知识网络： 正分数 负分数 正整数 负整数 概念、定义： 1、 大于0的数叫做正数（positive number ）。 2、 在正数前面加上负号“-”的数叫做负数（negative number ）。 3、 整数和分数统称为有理数（rational number ）。 4、 人们通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（number axis ）。 5、 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin ）。 6、 一般的，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值（absolute value ）。 7、 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它 的相反数；0的绝对值是0。 8、 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 9、 两个负数，绝对值大的反而小。 10、 有理数加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 11、有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。 12、有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 和不变。 13、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 14、有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘。 任何数同0相乘，都得0。 15、有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。 16、一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 17、三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 18、一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再 把积相加。 19、有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 20、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于 0的数，都得0。 21、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。在 a n 中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponeht）
A metric for covariance matrices
A Metric for Covariance Matrices Wolfgang F¨o rstner and Boudewijn Moonen Diese S¨a tze f¨u hren dahin,die Theorie der krummen Fl¨a chen aus einem neuen Gesichtspunkt zu betrachten,wo sich der Untersuchung ein weites noch ganz unangebautes Feld ¨o ?net ...so begreift man,dass zweierlei wesentlich verschiedene Relationen zu unterscheiden sind,theils nemlich solche,die eine bestimmte Form der Fl¨a che im Raume voraussetzen,theils solche,welche von den verschiedenen Formen ...unabh¨a ngig sind.Die letzteren sind es,wovon hier die Rede ist ...man sieht aber leicht,dass eben dahin die Betrachtung der auf der Fl¨a che construirten Figuren,...,die Verbindung der Punkte durch k¨u rzeste Linien ?]u.dgl.geh¨o rt.Alle solche Untersuchungen m¨u ssen davon ausgehen,dass die Natur der krummen Fl¨a che an sich durch den Ausdruck eines unbestimmten Linearelements in der Form √(Edp 2+2F dpdq +Gdq 2)gegeben ist ... Carl Friedrich Gauss Abstract The paper presents a metric for positive de?nite covariance matrices.It is a natural expression involving traces and joint eigenvalues of the matrices.It is shown to be the distance coming from a canonical invariant Riemannian metric on the space Sym +(n,R )of real symmetric positive de?nite matrices In contrast to known measures,collected e.g.in Grafarend 1972,the metric is invariant under a?ne transformations and inversion.It can be used for evaluating covariance matrices or for optimization of measurement designs. Keywords:Covariance matrices,metric,Lie groups,Riemannian manifolds,exponential map-ping,symmetric spaces 1Background The optimization of geodetic networks is a classical problem that has gained large attention in the 70s. 1972E.W.Grafarend put together the current knowledge of network design,datum transfor-mations and arti?cial covariance matrices using covariance functions in his classical monograph [?];see also [?].One critical part was the development of a suitable measure for comparing two covariance matrices.Grafarend listed a dozen measures.Assuming a completely isotropic network,represented by a unit matrix as covariance matrix,the measures depended on the eigenvalues of the covariance matrix. 1983,11years later,at the Aalborg workshop on ’Survey Control Networks’Schmidt [?]used these measures for ?nding optimal networks.The visualization of the error ellipses for a single point,leading to the same deviation from an ideal covariance structure revealed de?ciencies of these measures,as e.g.the trace of the eigenvalues of the covariance matrix as quality measure ?]emphasized by the authors
立体图形的知识点整理
立体图形的知识点整理 一、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。正方体是特殊的长方体。 二、圆柱的特征：一个侧面、两个底面、无数条高。 三、圆锥的特征：一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。 四、表面积：立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。 五、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。 六、圆柱和圆锥三种关系： ①等底等高：体积1︰3 ②等底等体积：高1︰3 ③等高等体积：底面积1︰3 七、等底等高的圆柱和圆锥： ①圆锥体积是圆柱的1/3， ②圆柱体积是圆锥的3倍， ③圆锥体积比圆柱少2/3， ④圆柱体积比圆锥多2倍。 八、等底等高的圆柱和圆锥：锥1、差2、柱3、和4。 九、立体图形公式推导： 【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形?这个图形的各部分与圆柱有何关系?(圆柱侧面积公式的推导过程)
①圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。 ②长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。 ③因为：长方形面积=长×宽，所以：圆柱侧面积=底面周长×高。 ④圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。 正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。 【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形(近似的)进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系? ①把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。 ②长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 ③因为：长方体体积=底面积×高，所以：圆柱体积=底面积×高。即：V=Sh。 【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程? ①找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
Raven’s Progressive Matrices
Raven’s Progressive Matrices Tamara M. Burns, M.Ed. Deborah Mazur, M.Ed. Erich R. Merkle, M.A., M.Ed. Cognitive Assessment October 30, 2000
Raven’s Progressive Matrices Presentation Outline: –Description of Test (Tamara) –Psychometric Info & Critique (Erich) –Demonstration (Erich) –Practical Uses & Concerns (Debbie) –Any Questions (All)
Raven’s Progressive Matrices ?By J.C. Raven, J.H. Court and J. Raven ?Published by Oxford Psychologists Press, Ltd. ?Originally Introduced in 1938 ?Most recent version was published in 1995
Description of Test ?Non-verbal test of reasoning ability based on figural test stimuli ?Measures the ability to make comparisons, to reason by analogy and to organize spatial perceptions into systematically related wholes
矩阵应用简介
矩阵应用简介 The introduction of Matrix application 作者：刁士琦 2015/12/27
摘要 本课题以线性代数的应用为研究对象，通过网络、书籍查询相关知识与技术发展。 全文分为四部分，第一部分是绪论，介绍本课题的重要意义。第二部分是线性代数的发展。第三部分是经典矩阵应用。第四部分是矩阵应用示例。第五部分为结论。 关键词：莱斯利矩阵模型、希尔密码
目录 摘要 (2) 1 引言 (4) 2 矩阵的发展 ............................................................................................ 错误！未定义书签。 3 经典矩阵应用 (4) 3.1矩阵在经济学中的应用 (4) 3.2矩阵在密码学中的应用 (7) 3.3莱斯利矩阵模型 (5) 4 矩阵应用示例 (6) 4.1经济学应用示例 (6) 4.2希尔密码应用示例 (7) 4.3植物基因分布 (7) 6 结论 (8) 参考文献 (9)
1引言 线性代数是以向量和矩阵为对象，以实向量空间为背景的一种抽象数学工具，它的应用遍及科学技术的国民经济各个领域。 2矩阵的发展 1850年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程时，由于无法使用行列式，所以引入了Matrix-矩阵这一词语。现代的矩阵理论给出矩阵的定义就是：由mn 个数排成的m行n列的数表。在此之后，西尔维斯特还分别引入了初等因子、不变因子的概念[5]。虽然后来一些著名的数学家都对矩阵中的不同概念给出了的定义，也在矩阵领域的研究中做了很多重要的工作。但是直到凯莱在研究线性变化的不变量时，才把矩阵作为一个独立的数学概念出来，矩阵才作为一个独立的理论加以研究。 矩阵概念的引入，首先是由凯莱发表的一系列和矩阵相关的文章，将零散的矩阵的知识发展为系统完善的理论体系。矩阵论的创立应归功与凯莱。凯莱在矩阵的创立过程中做了极大的贡献。其中矩阵的转置矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵的定义都是由凯莱给出的。“从逻辑上来说，矩阵的概念应限于行列式的概念，但在历史上却正好相反。”凯莱如是说。1858年，《A memoir on the theory of matrices》系统阐述了矩阵的理论体系，并在文中给出了矩阵乘积的定义。 对矩阵的研究并没有因为矩阵论的产生而停止。1884年，西尔维斯特给出了矩阵中的对角矩阵和数量矩阵的定义。1861年，史密斯给出齐次方程组的解的存在性和个数时引进了增广矩阵和非增广矩阵的术语。同时，德国数学家弗罗伯纽斯的贡献也是不可磨灭的，他的贡献主要是在矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面。并给出了正交矩阵、相似矩阵和合同矩阵的概念，指明了不同类型矩阵之间的关系和矩阵之间的重要性质。 3经典矩阵应用 3.1矩阵在经济学中的应用 投入产出综合平衡模型是一种宏观的经济模型,这是用来全面分析某个经济系统内
matrix基本使用方法(1)
旋转 围绕点px, py 旋转 degrees度, 如果没设置坐标,默认以0,0点旋转.
例子: setRotate(45, 180, 120); 缩放,翻转 以点px,py为原点缩放 >=0 1为正常大小 如果是负数,图形就会翻转 如果没设置原点坐标,默认以0,0点缩放(如果发现图片不见了,检查一下是不是翻转出了屏幕) 例子:setScale(-0.5f, 1,180, 120); //左右翻转并缩放到一半大小
倾斜 以点px,py为原点倾斜如果没有设置原点,则以0,0点为原点. 例子:setSkew(0, 1, 180, 120); //Y 方向拉伸
坐标 是图片移动到某一个位置 注意 Matrix中带有pre, post的函数需要考虑先后顺序 例如:想要旋转45度,然后平移到100,100的位置需要
Java代码 1.Matrix matrix = new Matrix(); 2.matrix.postRotate(45); 3.matrix.postTranslate(100, 100); 或者 Java代码 1.Matrix matrix = new Matrix(); 2.matrix.setTranslate(100, 100); 3.matrix.preRotate(45); 这就要考虑到矩阵的前乘和后乘了,不然的话你会发现可能坐标位置不是你想要的,可能图像都不见了. 如果在复杂一些,需要选择,缩放,倾斜同时起作用,并且还要设置坐标到屏幕指定位置你会发现很麻烦,需要自己计算出各个方法的参数,然后考虑调用的先后顺序. 但这里有一种更简便的方法,叫系统帮我们计算 这个方法的意思是帮我们把两个 Matrix对象计算并连接起来. 这样的话我们就可以这样使用了
初中数学图形与几何知识点
小学数学总复习基础知识 第二单元 空间与图形 （一）图形的认识、测量 1、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米。 2、长度单位：（进率10） 3、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用的面积单位有：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。 4、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。 5、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。 6、面积单位：（100） 7、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。 8、体积单位：（1000） 9、常用的质量单位有：吨、千克、克。 10、质量单位： 11、常用的时间单位有：世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。 12、时间单位：（60） 13 、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率； 低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。 14 1、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。 2、从一点引出两条射线，就组成了一个角 。角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。角的大小的计量单位是（°）。 3、角的分类：小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。 4、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。 5、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。 6、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。 7、三角形的内角和等于180度。 8、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
雅思小作文：separate line graphs answer
题目： The first chart below gives information about the money spent by British parents on their children’s sports between 2008 and 2014. The second chart shows the number of children who participated in three sports in Britain over the same time period. 范文： Here's my full answer: The line graphs show the average monthly amount that parents in Britain spent on their children’s sporting activities and the number of British children who took part in three different sports from 2008 to 2014. It is clear that parents spent more money each year on their children’s participation in sports over the six-year period. In terms of the number of children taking part, football was significantly more popular than athletics and swimming. In 2008, British parents spent an average of around ￡20 per month on their children’s sporting activities. Parents’ spending on children’s sports increased gradually over the following six years, and by 2014 the average monthly amount had risen to just over ￡30. Looking at participation numbers, in 2008 approximately 8 million British children played football, while only 2 million children were enrolled in swimming clubs and less than 1 million practised athletics. The figures for football participation remained relatively stable over the following 6 years. By contrast, participation in swimming almost doubled, to nearly 4 million children, and there was a near fivefold increase in the number of children doing athletics.
矩阵转换表示(翻译)
This article copy form MSDN 2001. mk:@MSITStore:C:\Program%20Files\Microsoft%20Visual%20Studio\MSDN\2001OCT\103 3\gdicpp.chm::/hh/gdicpp/cpp_aboutgdip05_00c4.htm Platform SDK: GDI+ Translate By guozhengkun 转换矩阵表示 一个m×n matrix is a set of numbers arranged in m rows and n columns. The following illustration shows several matrices. 一个m×n矩阵是m行n列的一组数字集合。下图列出了几种矩阵。 You can add two matrices of the same size by adding individual elements. The following illustration shows two examples of matrix addition. 你可以通过矩阵每个元素相加实现两个大小相同的矩阵的加法运算 An m×n matrix can be multiplied by an n×p matrix, and the result is an m×p matrix. The number of columns in the first matrix must be the same as the number of rows in the second matrix. For example, a 4×2 matrix can be multiplied by a 2×3 matrix to produce a 4×3 matrix. 一个m×n矩阵乘以n×p矩阵, 结果是m×p矩阵. 第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相同才能相乘。 举例，一个 4×2 矩阵可以通过一个 4×3 矩阵乘以 2×3 矩阵得到。 Points in the plane and rows and columns of a matrix can be thought of as vectors. For example, (2, 5) is a vector with two components, and (3, 7, 1) is a vector with three components. The dot product of two vectors is defined as follows: 平面上的点集和矩阵的行列可以看作向量的集合。例如，(2, 5) 是一个包含两个分量的向量，and (3, 7, 1) 是一个包含三个分量的向量。两个向量的点积定义如下： (a, b) ? (c, d) = ac + bd (a, b, c) ? (d, e, f) = ad + be + cf For example, the dot product of (2, 3) and (5, 4) is (2)(5) + (3)(4) = 22. The dot product of (2, 5, 1) and (4, 3, 1) is (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24. Note that the dot product of two vectors is a number, not another vector. Also note that you can calculate the dot product only if the two vectors have the same number of components. 例如， (2, 3) 和 (5, 4) 的点积等于 (2)*(5) + (3)*(4) = 22。 (2, 5, 1) 和 (4, 3, 1) 等于 (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24。注意两个向量的点积是一个数值，不是另一个向量。另外，注意只有分量个数相同的 向量才能计算点积。
the square matrices
M¨o ller’s Algorithm Teo Mora(theomora@disi.unige.it) Duality was introduced in Commutative Algebra in1982by the seminal paper[14]but the relevance of this result became clear after –the same duality exposed in[14]was indipendently applied in[5,28] to produce an algorithm for solving any squarefree0-dimensional ideal I?K[X1,...,X n]and –the algorithm developed in[14]was improved in[18]and applied in order to solve the FGLM-problem; –the ideas of[14]and[18]were merged in[26](see also[22])propos-ing an algorithm which produces the Gr¨o bner basis of an a?ne ideal I=∩r i=1q i?K[X1,...,X n],where each q i is a primary ideal at an algebraic point,equivalently given by its inverse system,or Gr¨o bner basis,or even any basis(see[27]). This led to formalize under the label of M¨o ller’s Algorithm[2],the algo-rithm proposed in[14,19,18,26]which solves the following Problem1.Let ?P:=k[X1,...,X n]the polynomial ring over a?eld k, ?T:={X a11···X a n n:(a1,...,a n)∈N n}, ?P?the P-module of the k-linear functionals over P. Given a?nite set L={ 1,..., s}?P?of linearly independent k-linear functionals such that I:={f∈P: i(f)=0,?i}is a zero-dimensional ideal and a term-ordering<,to compute ?the Gr¨o bner basis of I wrt<; ?the corresponding Gr¨o bner escalier N<(I)?T; ?a set q:={q1,...,q s}?P which is triangular to L and satis?les Span k(q)=Span k(N<(I))～=P/I; 1