海淀2014年高二下学期期中考试数学理科试题及答案

海淀区高二年级第二学期期中练习 数学（理科）试题及答案2014.04

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

1.复数z=i(i+2)的虚部是 （ ）

A. 2-

B. 2

C. 2i -

D. 2i

2.计算

1

1

e

dx x

?

的结果是 （ ） A. e B. 2

1e -- C. 1 D. e 1-

3．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么下面说法正确的是 （ ）

A. 在(3,1)-内()f x 是增函数

B. 在（1,3）内()f x 是减函数

C. 在（4,5）内()f x 是增函数

D. 在=2x 时，()f x 取得极小值

4．已知函数()f x 和()g x 在区间[,]a b 上的图象如图所示，那么下列说法正确的是 （ ） A.()f x 在a 到之间的平均变化率大于()g x 在a 到之间的平均变化率

B.()f x 在a 到之间的平均变化率小于()g x 在a 到之间的平均变化率

C.对于任意0(,)x a b ∈，函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率总大于 函数()g x 在0=x x 处的瞬时变化率

D.存在0(,)x a b ∈，使得函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率小于 函数()g x 在0=x x 处的瞬时变化率

5．用反证法证明命题“已知A,B,C,D 是空间中的四点，直线AB 与CD 是异面直线，则直线AC 和BD 也是异面直线.”应假设 （ ）

A. 直线AC 和BD 是平行直线

B. 直线AB 和CD 是平行直线

C. 直线AC 和BD 是共面直线

D. 直线AB 和CD 是共面直线 6．已知函数()sin f x x x =，记1

()2m f =-，1()3

n f =，则下列关系正确的是 （ ）

A. 0m n <<

B. 0n m <<

C. 0m n <<

D. 0n m <<

7．已知曲线()y g x =在点(1,g(1))处的切线方程为21y x =+，设函数()(21)f x g x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程为 （ ）

A. 21y x =+

B. 41y x =-

C. 21y x =-

D. 41y x =+

8．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则下列结论正确的是（ ）

A. (1)e (0)f f >

B. (1)e (0)f f <

C. (1)(0)f f >

D. (1)(0)f f < 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

9．函数()2ln f x x x =-的单调递增区间是 .

10．已知复数z 满足| z |≤2，则复数z 在复平面内对应的点Z 的集合构成的图形的面积是 . 11．曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积是 .

12．设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为 . 13．观察不等式：111223+

+<,1111323

7++++

<,11

11423

15++++

<,11

1

1523

31

++++

<, …，由此归纳第n 个不等式为 .要用数学归纳法证明该不等式，由(1)n k k =≥时不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数．．

为 . 14．根据“已知点0(,0)A a 是圆22

122:1x y C R R

+=外一点，设不垂直于x 轴的直线l 与圆1C 交于P,Q 两点，若x

轴是∠PAQ 的平分线，则直线l 过定点2

A (,0)

R a '”，通过类比可推知“已知点0(,0)B b 是椭圆22

222:1(0)x y C a b a b +=>>外一定点，设不垂直于x 轴的直线l '与椭圆2C 交于P ',Q '两点，若x 轴是

P BQ ''∠的平分线，则直线l '过定点B ' ”.（将点的坐标填入前面的横线上）

三、解答题：本大题共4小题，每小题44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共10分）

如图，在四棱柱P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 是棱PA 的中点，

求证：(I) PC ∥平面BED;

(II) △PBC 是直角三角形. 16. （本小题共11分）

已知函数3

()32(R)f x ax x a =++∈的一个极值点是1. (I) 求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； (II)求函数()f x 在[2,3]-上的最大值和最小值. 17. （本小题共12分） 已知函数()a x f x e

-=，其中e 是自然对数的底数，R a ∈.

(I) 求函数()()g x xf x =的单调区间；

(II)试确定函数()()h x f x x =+的零点个数，并说明理由.

18. （本小题共11分）

在平面直角坐标系中，对于一条折线C : 12n A A A --

-,若能再作出一条折线

1231:n n C A B B B A -'-----，使得1212A B A A ⊥,2323B B A A ⊥,…，11n n n n B A A A --⊥（其中

123,,,

,n A A A A ，231,,

,n B B B -都是整点）

，则称折线C '是折线C 的一条共轭折线（说明：横、纵坐标均为整数的点成为整点）.

(I)请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条个，共轭折线；

(II)试判断命题“对任意的n N ∈且2n >，总存在一条折线C ：12n A A A ---有共轭折线”的真假，

并举例说明；

(III)如图，折线C : 1234A A A A ---,其中1(0,0),A 2(3,1)A ，3(6,0),A 4(9,1)A . 求证：折线C 无共轭折线.

海淀区高二年级第二学期期中练习

数学（理科）

参考答案及评分标准 2014．04

一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. （8）讲评提示：考察函数

e

x . 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）(2,)+ （10）4π （11）16

（12）2

（13）1

11111()23

2

1

n n n ++

+++

<+∈-N* ，12k + （注：每空2分）

（14）20(,0)a b （注：回答出2

0(,0)a b 给4分；答案为0(,0)

ab b 或

20(,0)b b 或22

(,0)2a b b +给3分；

其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过

程或演算步骤.

（15）（本小题满分10分）

证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，

所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC ?平面BDE ，OE ì平面BDE ， 所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^.

O

A

E

B

C

D

P

因为 PD BC ^，CD PD D =，PD ì平面PDC ，DC ì平面PDC ，

所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC ì平面PDC ，

所以 BC PC ^.

即 PBC ?是直角三角形. ………………………10分

（16）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）因为 ()332f x ax x =++，

所以 2

'()33f x ax =+. ………………………2分 因为 函数()f x 的一个极值点是1, 所以 '(1)330f a =+=.

解得：1a =-. ………………………4分 经检验，1a =-满足题意. 所以 (2)0,'(2)9f f ==-.

所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是9(2)y x =--，即9180x y +-=. ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2

'()33f x x =-+.

令'()0f x =，得 121,1x x =-=. ………………………7分 当x 在[2,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下表

………………………10分 所以 函数()f x 在[2,3]-上的最大值为4，最小值为-16. ………………………11分 （17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为()e a x

g x x -=，x ∈R ，

所以'()(1)e

a x

g x x -=-． ………………………2分

令'()0g x =，得1x =．

当x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：

故()g x 的单调递减区间为；单调递增区间为． ………………………5分 （Ⅱ）因为 ()e a x h x x -=+， 所以 '()1e

a x

h x -=-. ………………………6分

令'()0h x =，得x a =．

当x 变化时，()h x 和'()h x 的变化情况如下：

即()h x 的单调递增区间为；单调递减区间为． ………………………8分 所以()h x 的最小值为()1h a a =+.

①当10a +>，即1a >-时，函数()h x 不存在零点.

②当10a +=，即1a =-时，函数()h x 有一个零点. ………………………10分 ③当10a +<，即1a <-时，(0)e 0a

h =>， 下证：(2)0h a >.

令()e 2x m x x =-，则'()e 2x m x =-. 解'()e 20x m x =-=得ln 2x =.

当ln 2x >时，'()0m x >，所以 函数()m x 在[)ln 2,+∞上是增函数. 取1ln 2x a =->>，得：ln2()e 2e 2ln 222ln 20a m a a --=+>-=->. 所以 (2)e 2()0a h a a m a -=+=->.

结合函数()h x 的单调性可知，此时函数()h x 有两个零点.

综上，当1a >-时，函数()h x 不存在零点；当1a =-时，函数()h x 有一个零点；当1a <-时，函数()h x 有两个零点. ………………………12分 （18）（本小题满分11分） （Ⅰ）解：（1）不是，因为线段12A B 与线段12A A 不垂直；

（2）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直. ………………………2分

（Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是真命题.理由如下：

当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,

n k k =-=，取折线1221k C A A A ----：.其中

(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，满足211(1,2,,21),0(1,2,,),i i a i i k b i k -=-=-==

21(1,2,,1)i b i k ==-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.

当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k ==，取折线122k C A A A --

-：.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =，

满足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,

,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C 的共轭折线为

折线122'k C B B B --

-：.其中(,)(1,2,

,2)i i i B x y i k =满足

22212211(1,2,

,23),21,21,2,0(1,2,

,1),

i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,

,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分

注：本题答案不唯一.

（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，44B A =），设

1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥，

得：11223312312330, 30, 30, 9, 1. x y x y x y x x x y y y +=??

-=??

+=??++=??++=?①②③④⑤

由①②③式得11223,

,.

3

333y x y x y x =-??

=??=-?

这与⑤式矛盾，因此，折线C 无共轭折线. ………………………11分