【赢在高考】2013届高考物理一轮配套练习 2.1 函数及其表示 理 苏教版

第二章 函数、导数及其应用 第三章 第一节 函数及其表示

强化训练

1.已知f :x →-sin x 是集合([02A A ?,π])到集合B={102

,}的一个映射

,则集合A 中的元素个

数最多有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

答案:B

解析:∵[02A ?,π],由-sin x =0得x =0,π,2π;由-sin 12x =,得71166

x ππ=,,

∴A 中最多有5个元素.

2.已知函数f (x )=2300log x x x x ?,≤,

?,>,

?那么1

[()]4f f 的值为( )

A.9

B.19

C.-9

D.19

-

答案:B

3.二次函数2(y ax bx c x =++∈R )的部分对应值如下表:

则不等式2

0ax bx c ++<的解集是 . 答案:(-2,3)

解析:由表中的二次函数对应值可得,二次方程2

ax +bx +c =0的两根为-2和3,又根据f (0)0,所以不等式2

0ax bx c ++<的解集是(-2,3).

4.如图所示,△OAB 是边长为2的正三角形,记△OAB 位于直线x =t (t >0)左侧的图形的面积为f (t ),试求函数f (t )的解析式,并画出函数y =f (t )的图象.

解:当01t <≤时,

1()2

f t t t =???tan60 23=.

当12t <≤时11()23(2)(222

f t t ,=?--t )tan60

2332)t =-;

当t >2时()3f t ,=

∴f (t

)=22012)122t t t t ?,<≤,

?-,<≤,?>.

??

函数的图象如图所示.

课后作业

题组一 函数与映射的概念

1.设f :2

x x →是从集合A 到集合B 的映射,如果B={1,2},则A B ?为( ) A.? B.{1} C.?或{2} D.?或{1} 答案:D

解析:由已知2

1x =或22x =,解之得1x =±

或x =若1A ∈,则A B ?={1},若1A ?,则

A B ?=?.故A B ?=?或{1}.

2.下列函数中与函数y =x 相同的是( )

A.2y =

B.y =

C.y =

D.2x y x

= 答案:B

解析:

因为y t ==,所以应选B.

3.已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:

则方程[()]g f x x =的解集为（ ） A.{1} B.{2} C.{3} D. ? 答案:C

解析:当x =1时,[(1)](2)2g f g ==,不合题意；

当x =2时,[(2)](3)1g f g ==,不合题意；

当x =3时,[(3)](1)3g f g ==,符合题意.

4.某工厂从2000年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越来越慢,后四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量y 与时间t 的函数图象可能是( )

答案:B

解析:前四年年产量的增长速度越来越慢,知图象的斜率随x 的变大而变小,后四年年产量的增长速度保持不变,知图象的斜率不变,∴选B.

5.设f 、g 都是由A 到A 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 映射f 的对应法则是表1

映射g 的对应法则是表2

则与f [g (1)]相同的是( ) A.g [f (1)] B.g [f (2)] C.g [f (3)] D.g [f (4)] 答案:A

解析:根据表中的对应关系得,f [g (1)]=f (4)=1,g [f (1)]=g (3)=1.

6.已知a ,b 为常数,若2

2

()43()1024f x x x f ax b x x =++,+=++,则5a -b = . 答案:2

解析:因为2

()43f x x x =++,

所以f (ax +b )=(ax +2

22

)4()3(24)b ax b a x ab a x +++=+++2

(b +4b +3). 又f 2

()1024ax b x x +=++,

所以22124104324a ab a b b ?=,?

+=,??++=.?

解得13a b =,??

=? 或 17a b =-,

??=-,

? 所以5a -b =2.

题组三 分段函数

7.已知函数f (x )= 30log 20x x x x ,>,??,≤,

? 则1[()]9f f 等于( )

A.4

B.14

C.-4

D.14

-

答案:B

解析:根据分段函数可得1()9f =lo g 3129=-,则1[()]9f f =f 2

1(2)2

4

--==,所以B 正确. 8.已知函数f (x )=2020x x x x +,≤,??-+,>,

? 则不等式2

()f x x ≥的解集为( )

A.[11]-,

B.[22]-,

C.[21]-,

D.[12]-,

答案:A

解析:当0x ≤时,不等式2

()f x x ≥化为2

2x x +≥,即220x x x ?+≥,

?≤,?

所以10x -≤≤;

当x >0时,不等式2()f x x ≥化为2

2x x -+≥,即220x x x ?-+≥,?>,

?所以01x <≤.

综上可得不等式的解集为[11]-,.

9.设函数f (x )=2020x bx c x x ?++,≤,

?,>.?

若f (-3)=f (0),f (-1)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数

为 .

答案:3

解析:由f (-3)=f (0),f (-1)=-2可得b =3,c =0,从而方程f (x )=x 等价于0()2x x f x >,

?

?

==? 或

2

03x x x x ≤,??+=.? 解203x x x x ≤,

??+=?得到x =0或x =-2,从而得方程f (x )=x 的解的个数为3. 10.已知f (x )= 2

2121222

x x x x x x ?

+,≤-,??

,-<<,??,≥,??且f (a )=3,求a 的值.

解:①当1a ≤-时,f (a )=a +2,

由a +2=3,得a =1,与1a ≤-相矛盾,应舍去 .

②当-1

,满足-1

③当2a ≥时2

()2

a f a ,=,

由2

32

a =,得a =

又2a ≥,∴a =

综上可知,a 的值为32

.

题组四 函数及其表示的灵活应用 11.如果f (a +b

)()()f a f b =?,

且f (1)=2,则

(2)(1)f f +(4)(6)(3)(5)f f f f ++…(2010)(2012)

(2009)(2011)

f f f f ++= . 答案:2 012

解析:f (2)=f (12

(2)

)(1)22(3)(1)

f f f f =,

=,=f (1)f (2)=32(4)(f f ,=24)(2)2f =, (4)2(3)f f =,…(2010)(2012)

22(2009)(2011)f f f f ,=,=, ∴原式21=?006=2 012.

12.已知f (x )是二次函数,不等式f (x )<0的解集是(0,5)且f (x )在区间[-1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式;

(2)是否存在实数m ,使得方程37()0f x x

+=在区间(m ,m +1)内有且只有两个不等的实数根?若

存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)∵f (x )是二次函数,且f (x )<0的解集是(0,5), ∴可设f (x )=ax (x -5)(a >0).

∴f (x )在区间[-1,4]上的最大值是f (-1)=6a ,由已知,得6a =12. ∴a =2.

∴f (x )=2x 2(5)210(x x x x -=-∈R ).

(2)方程37()0f x x +=等价于方程3

2x -2

10x +37=0.

设3

2()21037h x x x =-+,则h ′2

()6202(3x x x x x =-=-10). 当10(0)3

x ∈,时,h ′(x )<0,h (x )是减函数;

当10()3

x ∈,+∞时,h ′(x )>0,h (x )是增函数.

∵h (3)10110()0(4)327

h h =>,=-<,=5>0,

∴方程h (x )=0在区间1010(3)(4)33

,,,内分别有唯一实数根,而在区间(0,3)(4),,+∞内没有实数

根.

∴存在唯一的自然数m =3,使得方程f (x )+370x

=在区间(m ,m +1)内有且只有两个不同的实数

根.