正六边形记忆法1
只要我们记住tan和cot在中间，其他什么的都就好办了，不信？
看下面：
如上图所示哈，非常好记忆
除了以上三点之外，还有：
4、对于导数，则有：左面的sin,tan,sec为正
右面的cos,cot,csc为负
所以对tanx求导，为底层的平方，即secx的平方
同理可得对cotx求导为-（cscx的平方）（记住右面的符号为负哦）
然后：
对底层的求导那该怎么办呢？其实就是六边形的中间乘以底层
例如对secx求导，为中间乘以底层，所以是：tanx乘以secx
同理对cscx求导为-（cotx乘以csc）（记住右面的符号为负哦）
5、同理积分公式也可以用这个图来记忆：
∫secx dx =In|secx+tanx|+c
∫cscx dx =In|cscx+cotx|+c
可以理解为底层的积分为In|底层+中间层|+常数c
五年级奥数题：图形与面积含详细解答
五年级奥数题：图形与面积 一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是 _________厘米． 2．（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1．那么7，2，1三个数字所占的面积之和是_________． 3．（3分）如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是_________平方厘米． 4．（3分）（2014?长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米． 5．（3分）在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于_________平方厘米． 6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是_________厘米．
7．（3分）如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE 是_________厘米． 8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是 _________． 9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是_________． 10．（3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是_________平方厘米． 二、解答题（共4小题，满分0分） 11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面 积．
(完整word版)三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法
从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记 原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法 三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法 2. 三角函数的定义 [三角函数的定义和符号变化] 名称 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 定 义 r y ==斜边对边αsin r x ==斜边邻边αcos x y == 邻边对边αtan y x ==对边邻边αcot x r ==邻边斜边αsec y r ==对边斜边αcsc 符 号 与 增 减 变 化 Ⅰ +↑ +↓ +↑ +↓ +↑ +↓ Ⅱ +↓ -↓ -↑ -↓ -↑ +↑ Ⅲ -↓ -↑ +↑ +↓ -↓ -↑ Ⅳ -↑ +↑ -↑ -↓ +↓ -↓ 1 sinx cosx cscx cotx secx tanx + -
1. 三角函数的记忆： ●对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形 中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1. ●倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下 顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x. ●邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两 个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx. 2.三角函数求导数 图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。 ●上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一 上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。 ●中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对 应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x，(cotx)’=-csc2x。 ●下中下:指在三角函数求导六边形中,下顶角处函数的导数为对应 边中间顶角处函数的导数与下顶角处函数的导数之乘积。 即:(secx)’=tanxsecx，(cscx)’=-cotxcscx。 3.三角函数求积分 由于积分是导数的逆运算,我们立即可以有求积分记忆口诀:
正多边形的计算练习题
练习题 （一）计算 1．已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距． 3．已知圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长． 距． 长． 长． 8．已知圆外切正方形边长为2cm，求该圆外切正三角形半径． 10．已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长． 长． 12．已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形 外接圆的半径． 13．已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边 长之比． 15．已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该 圆内接正三角形的面积． 16．已知圆O内接正n边形边长为a n，⊙O半径为R，试用 a n，R表示此圆外切正n边形边长 b n． 18．已知在正三角形的各边AB，BC，CA上取AA′，BB′， 内切圆周长． 的外接圆的外切正三角形面积． 20．已知正三角形半径为4cm，求以正三角形的一边为边所 作正方形外接圆的外切正三角形的边长． 21．已知圆内接三角形的一边等于该圆内接正三角形的边 长，另一边等于该圆内接正六边形的边长，求这个三角形面积与 该圆内接正三角形面积之比． 22．已知如图7－332，在正方形ABCD的各边上向形内作 120°弧，连结各交点得正方形A′B′C′D′．求S A′B′C′D′与S ABCD 的比值． 23．已知如图7－333，正五边形ABCDE中，AC，BE交于点 F．若AB=1cm，求BF的值（不查表）． 24．求半径为R的圆的内接正n边形的边长a n． 边形边数及外接圆半径R． （二）证明 26．如图7－334，延长正六边形的边AB，CD，EF，两两相 交于H，M，N．求证：S△HMN∶S ABCDEF=3∶2． 27．试以六边形为例，证明圆外切等角多边形是正多边形．
2015届高考数学一轮总复习 4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式
2015届高考数学一轮总复习 4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2 k C. k 1－k 2 D ．－ k 1－k 2 [答案] B [解析] ∵sin80°＝1－cos 280° ＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2， ∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k . (理)(2012·辽宁理，7)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.2 2 D ．1 [答案] A [解析] 解法1：由题意知，sin α－cos α＝2，sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，sin2α＝－1，∵α∈(0，π)． ∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2，α＝3π 4， ∴tan α＝tan 3π 4 ＝－1. 解法2：设tan α＝k ，则sin α＝k cos α，代入sin α－cos α＝2中得，cos α＝2k －1，∴sin α＝2k k －1， ∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴2k 2(k －1)2＋2 (k －1)2＝1，∴k ＝－1. 2．已知△ABC 中，tan A ＝－5 12 ，则cos A ＝( ) A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213 [答案] D [解析] 在△ABC 中，由tan A ＝－512<0知，∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2 A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝
多边形面积奥数
第十讲格点与切割 备考导航 格点面积及切割是竞赛考试的一个难点知识，本讲将学习形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题。 利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1 典型例题 【例1】图中相邻两格点问的距离均为1厘米，三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 【例2】图中每个小形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米? 【例3】如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?
【例4】如图所示，在形ABCD部有一个长方形EFGH，已知形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 【例5】如图所示，大形的边长为10厘米。连接大形的各边中点得到一个小形，将小形每边三等分，再将三等分点与大形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米? 【例6】如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积。 【例7】如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?
【例8】已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米? 小试身手 （1）下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米。三个多边形的面积分别为多少平方厘米? （2）图中，五个小形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积 （3）如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个形，如果形A的面积是36平方厘米，那么形B的面积是多少平方厘米?
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2 x+2cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+cos 2 x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ 的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 2 2)()(?= ? =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
正多边形与圆、弧长面积的计算
正多边形与圆、弧长面积的计算 一、选择题（共2小题；共10分） 1. 如图所示，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为 A. √3?π 2B. √3?2π 3 C. 2√3?π 2 D. 2√3?2π 3 2. 如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则AB的长为 A. π 5B. 2π 5 C. 3π 5 D. 4π 5 二、填空题（共8小题；共40分） 3. 图1中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1；图2中的四个圆的半径相等，并依次外 切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，?依此规律，当正方形边长为2时，第n 个图中所有圆的面积之和S n=． 4. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为．
5. 如图所示，已知正方形ABCD的边心距OE=√2，则这个正方形外接圆⊙O的面积为． 6. 一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在 圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为cm3． 7. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，E，F，G，H分别为各边中点，EG，FH相交于点O，以O 为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 8. 如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π） 9. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于．
10. 如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为2√3，则图中阴影部分的面积 为． 三、解答题（共2小题；共26分） 11. 如图，已知正方形ABCD的边心距OE=√2cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积． 12. 图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形?正八边形． (1) 如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法， 保留作图痕迹）； (2) 在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD<180°）是一个圆锥的侧 面，则这个圆锥底面圆的半径等于．
面积、体积计算公式
& --- 桂边 if —对角进 C 的边艮 “ * b - -哪 iii h ---- 对■边阀 的肌 CE AB Ah = CD 4 = CD (匕底边) A A B (下貶边) A -- 需 r --- 半K d ——宜静 p --- 團周悝 r ——半毎 J --- 瓢悅 a --- 中心畑 tr ——鑑按 h ―—応 m -j^atsinC CU =专 HU C￡> ▼ DA A = >rr a =古 Z = 0,7&5rf J =0.07<>5fip 1 性 Ifll 心匕 P —初 A = 隹主抽文点G 上 呼a -9(T 时 GO^ ~y*^r^Q 心吉呼 当血土 ■时 CO =啓1 = 0.4Z4 斗 F 用求面积、体积公式 一、平面图形面积 尺寸持号 ￡ 租(A) X 心(G) A = ? ■ A N 片■ h ■应■ ^Hhulo' ——半栓 ——弧长： --- < 3的时度中心角
、多面体的体积和表面积 i 体租(V) 底面积⑷ 表面积(S)棚表面积(S.) V * S = 2 ( a * b + a * h + b- h) S^-lh U + A) d ? J d A + A ' a 、&> c — 边设 h A ---- 槪iff 积 Q —底面中議的交点 A n A ? ------ 两侍行底曲 的面釈 h ——底面闾的距期 a ----- 牛粗合携形的面 一组合梯雜数 GO =各 x Ai *2 J 瓦A 工匸咖 為I + /A]Aj + A 3 f ----- 个级合三角足的 ?一一給合三角殛的个数 0—厲各对馆线交 点 S= rt*/+A St = n V 叽 柱和空心英柱(管) -4-ff R ——外半轻 r —— 内半径 r 一注St 厚度 P 一平均半疑 内外侧面槪 心(G) 艮方禅〔棱柱》 面、b 、* -- 边嶽 O —底面对務线交点 三楼 S V - +血(Ai + A a + /^I A I ) S - an + At + Aj S\ — an 影 尺寸符号
图形面积的计算 专题
专题23 面积的计算 ○阅 ○读 ○与 ○思 ○考 计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识： 1.常见图形的面积公式； 2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等； 3.等比定理： (1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比. (2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论： 例 题 与 求 解 【例1】如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD 的面积为x ， 则x ＝________. （黄冈市竞赛试题） 解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口. 【例2】如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE ＝6，那么△ABC 的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCD E 面积存在一定的关系. 例1图 C
【例3】如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使BE AB ＝CF BC ＝DG CD ＝AH DA ＝m ，若S 四边形EFGH ＝2S 四边形ABCD ，求m 的值. 解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于m 的方程. 【例4】如图，P ，Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，PA 与CQ 相交于点E ， 且∠PAD ＝∠QAD ，求证：S 矩形ABCD ＝S △APQ . 解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化. 【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，移动速度为每秒2个单位长度. 过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y . (1) 求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2) 当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？ (江西省中考试题) 解题思路：对于(1)利用△ADE ∽△ABC 可得y 与x 的关系式；对于(2)先写出S 关于x 的函 例2图 C 例3图 例4图
正六边形面积公式
正六边形面积公式 方法 1 计算边长已知的正六边形面积 1 如果边长已知，可以直接写出求解面积的公式。由于正六边形是由六个等边三角形组成的，求解公式可以从等边三角形面积公式推导出来。因此正六边形面积的公式为面积= (3√3 s2)/ 2 其中s 是正六边形的边长。[1] 2 确定正六边形的边长。边长已知则直接写出来，比如这里边长为9cm。如果边长未知，但已知周长或边心距（组成正六边形的三角形某一边上的高），你也可以通过以下的方法求得边长： 若周长已知，将它除以六即可得到边长。假如某正六边形的周长为54cm，除以六得9cm，即是边长。 若只知道边心距，你可以通过带入边心距的公式 a = x√3 将求得的值乘以二。这是因为边心距在30-60-90°三角形中表示x√3 边。比如，如果边心距是10√3,那么边长应为10*2，即20。 3 将边长的值带入公式。当你已得到边长为9，将9带入原公式中，像这样：面积= (3√3 x 92)/2 4 将答案化简。求得方程的解并写出答案。由于你求解的是面积，你应该将单位写成平方形式。像这么做： (3√3 x 92)/2 = (3√3 x 81)/2 = (243√3)/2 = 420.8/2 = 210.4 cm2 方法 2 从已知的边心距计算正六边形面积 1 写出根据边心距求解正六边形面积的公式。公式为：面积= 1/2 x 周长x 边心距.[2] 2 带入边心距值。假设边心距为5√3 cm. 3 用边心距求周长。由于边心距是垂直于边长的，它形成了一个30-60-90°的三角形的一边。这个30-60-90°三角形各边长的比例为x-x√3-2x, 其中短直角边与30度角相对，以x 表示, 长直角边与60度角相对，以x√3 表示, 斜边以2x 表示.[3] 边心距是由x√3 表示的那条边，因此，将边心距长度带入公式 a = x√3 中并求解。假如边心距为5√3，带入公式得到5√3 cm = x√3, 即x = 5 cm. 求出x, 即是求得了三角形的最短边, 5. 因为它是六边形边长的一半, 将它乘以2即可得到六边形边长. 5 cm x 2 = 10 cm. 现在你已求得了六边形的边长10, 将它乘以6即可得到其周长。10 cm x 6 = 60 cm
三角函数六边形关系记忆法
再看一个经典的记忆法，一下子，记住三十多个公式！不信吧，请继续看！！ 上弦中切下层割，左正右余1中间。两句是说明数形结合情况的，让一个正六边形的六个顶点及对称中心分别对应同角α的六种三角函数值及常数1，具体位置从上到下、从左到右依次为sinα、cosα(上弦)；tan α、1(1中间)、cotα(中切)；secα、cscα(下割)。 积中顺除商终端，该句集中反映了乘积关系、倒数关系、商数关系共二十七个基本公式。积中是说不论在正六边形周边还是三条对角线上，相邻三元素中，两端相乘积在中间。由此可得:1. sinα×cotα＝cosα, 2. cosα×cscα＝cotα, 3. cotα×secα＝cscα, 4. cscα×tanα＝escα, 5. escα×sinα＝tanα, 6. tanα×cosα＝sinα, 7. tanα×cotα＝1, 8. sinα×cscα＝1, 9. cosα×secα＝1九个公式。 顺除商终端是说不论在正六边形周边还是三条对角线上，相邻三元素中，顺次相除商是第三项即终端。
A除B就是B除以A,商记作B/A,由此可得反映商数关系的如下10到27共十八个公式。10. cosα/sinα=cotα, 11. cotα/cosα=cscα, 12. cscα/cotα=secα, 13. secα/cscα=tanα, 14. tanα/secα=sinα, 15. sinα/tanα=cosα, 16. sinα/cosα=tanα, 17. cosα/cotα=sinα, 18. cotα/cscα=cosα, 19. secα/tanα=cscα, 20. tanα/sinα=secα, 21. cscα/secα= cotα, 22. 1/cosα= secα, 23.1/ tanα= cotα, 24. 1/ cscα= sinα, 25. 1/ secα= cosα, 26. 1/ cotα= tanα, 27. 1/ sinα= cscα 平方之和看下尖是说将七个元素全部平方，在尖端向下的三个三角形中，上角之和是下角。由此可以得到表示平方关系的28到30三个基本公式。 28. sin2α+cos2α=1, 29. tan2α+1=sec2α, 30. 1+cot2α=csc2α 除了上述配图的小诗之外，亦可用下面的诗配上原图记忆同角三角函数关系。 正六边形六顶点， 上弦中切下割安。 左正右余中间1， 同角六函记上边。 不论顶点对角线， 相邻三个组合看； 两端相乘积中间，
正多边形、圆、弧长公式及计算
正多边形和圆、弧长公式及有关计算 ［学习目标］ 1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 2. 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。 3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质： （1）半径（或边心距）的比等于相似比。 （2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。 4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。 （1）画正n边形的步骤： 将一个圆n等分，顺次连接各分点。 （2）用量角器等分圆 先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。 5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6. 圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。 7. n°的圆心角所对的弧的弧长： n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。 二. 重点、难点： 1. 学习重点： 正多边形和圆关系，弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点： 解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。 【典型例题】 例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（） A. B. C. D. 解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1 又∵∠FAG＝60° 故选B
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 （1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ) 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) tan2α＝2tanα/(1－tan^2(α)) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin^2(α/2)＝(1－cosα)/2 cos^2(α/2)＝(1＋cosα)/2 tan^2(α/2)＝(1－cosα)/(1＋cosα) 万能公式 ⒌万能公式 sinα＝2tan(α/2)/(1＋tan^2(α/2)) cosα＝(1－tan^2(α/2))/(1＋tan^2(α/2)) tanα＝(2ta n(α/2))/(1－tan^2(α/2)) 万能公式推导 附推导： sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因为cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α)) 三倍角公式推导
初中数学专题训练--圆--正多边形的有关计算
例 求同圆的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比． 分析：边数相同的正多边形是相似形，因此要求同因的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比，只需求出相似比(边长比、边心距比、半径比均为相似比) 解：如图，连接OA ’、OA ，则在△ABC 中， 2 3 30cos 6180cos n 180cos OA 'OA = ?=?=?=． ∵OA ’、OA 分别为⊙O ；的内接正六边形的半径和外切正六边形的半径， ∴它们的相似比= 2 3 OA 'OA = ∴周长比为 23 ， 面积比为4 3)23(2=． 说明：①转化为直角三角形；②同圆的内接正n 边形与外切正n 边形的相似比为 n 180cos ? ． 例 如图，⊙O 为正三角形ABC 的内切圆，EFGH 是⊙O 的内接正方形，且2EF = ， 求正三角形的边长． 分析：因为⊙O 是正三角形的内切圆；又是正方形的外接，所以求⊙O 的半径成为解题的关键． 解：连结OB 、OE 、OF ， 在等腰直角三角形OEF 中， 12 2 245sin EF OF =?=??=． 在Rt △BOF 中，∠BOF=60°，OF=1， ∴BF=OF ·sin60°=3． ∴BC=2BF=23． 故正三角形的边长为23． 说明：应用圆外切三角形和圆内接正方形的性质，构造直角三角形． 例 如图，⊙O 的直径为AB 、CD ，AB ⊥CD ，弦MN 垂直平分OB ．求证：CM 为正十二边形的一个边，MB 为正六边形的一个边，CB 正四边形的一个边，MN 为正三角形的一个边． 证明：连结OM 、ON ∵MN 垂直平分OB ，∴OM=MN ． ∵OM=OB ， ∴△OBM 为等边三角形． ∴∠MOB=60°，即360°/n=60°， ∴n=6，∴MB 为正六边形的一个边． ∵AB ⊥CD ，∴∠COM=30°，即360°/n=30° B C D
推导圆面积计算公式的三种教法评介
推导圆面积计算公式的三种教法评介 教学圆面积公式的推导，我曾听过三种不同的教法，现分别简介过程及稍作评点。 〔第一种教法〕 （１）复习长方形面积计算公式。 （２）让学生自学课本中推导圆面积计算公式的过程。 （３）教师边用教具演示，边要求学生回答： ①拼成的图形近似于什么图形？想一想，如果等分的份数越多，拼成的图形会怎么样？ ②拼成的图形与原来圆的面积相等吗？ ③这个近似长方形的长相当于圆的什么？它的宽相当于圆的什么？ （４）教师要求学生说出由长方形面积计算公式，推导出圆面积计算公式的方法（可按课本说）。 （５）揭示圆的面积公式。 〔评：这种教法，看起来是引导学生自学，并结合演示让学生回答问题，似乎学生学得较主动，实际上学生未有实践、思考的过程，只是“依样画葫芦”，对其中的道理不能弄懂、弄通，这属于机械的学习。〕 〔第二种教法〕 １、导入新课。 教师让学生回忆一下，以前学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算时，是用什么方法推导它们的计算公式的。（用割、拼法拼成长方形或平行四边形进行计算，教师出示割、拼教具分别作简单的演示。）接着，出示一张圆形硬纸片，问：“怎样计算它的面积呢？”（揭示课题）教师指出：我们仍可用以前学过的割、拼法，把圆转化为已学过的图形，运用此图形的面积计算方法，推导出圆面积的计算方法。 ２、实际操作。 要求学生拿出圆面积的割拼图形学具，在教师的指导下，边操作，边回答以下问题： ①把一个圆平分成两半，每一个半圆形的哪一部分长度相当于圆周长的１／２？再把每一个半圆形平均分成８等份（如课本的切割图），那么哪一段的长度相当于圆的半径？ ②想一想：能不能把这些等分出的图形，拼成近似于我们以前学过的图形？怎样拼？（要求学生动手实践，并指名演示拼出的几种不同的图形。如：长方形、平行四边形、梯形等。）③所拼出的图形面积与原来圆面积相等吗？ ３．推导公式。 先以拼出的近似长方形的图形为例，教师引导学生弄清，若平分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。进而，教师要求学生据图回答：割拼后的长方形的长相当于圆的哪一部分的长度？宽相当于圆的哪一部分的长度？从而 由长方形的面积＝长×宽 ↓↓ 得圆的面积＝πｒ×ｒ＝πｒ［２］。 然后，出示拼出的近似的平行四边形或梯形，再次推导看能否得出上面的圆面积公式（略）。这样就得到了证实，使学生确信无疑。 〔评：这种教法比第一种教法有很大的改进，教师首先通过复习旧知，提出解决问题的办法，把新旧知识有机结合起来，明确了本课中心内容，然后让学生亲手操作割拼成几种已学过的图形，引导学生观察、思考、比较、推导，其间不囿于课本中的推导方法，让学生思维得以发散，从而强化了转化思想，多渠道地推得圆面积计算公式。学生在学习过程中，始终处于积极主动的状态，这种学习是有意义的学习，不仅使他们“学会”，而且使他们“会
圆的计算__阴影部分的面积
阴影部分的面积 1．已知扇形的半径为2 3 ，它的面积等于一个半径为 2 的圆的面积，则扇形的圆心角为 ( ) (A)90° (B)120° (C)60° (D)100° 2．两圆的之比为1：3，则小圆的外切正三角形与大圆的内接正三角形的面积之比为( ) (A)1：9 (B)1：3 (C)2：3 (D)4：9 3．如图，⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切于⊿ABC ，则阴影部分面积为( ) (A)12-π (B)12-2π (C)14-4π (D)6-π 4．同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为。 5．正三角形边长为a，高为h ,圆的半径为R，内切圆半径为r，则h：R：r= . 6．边长为a的正六边形对角线的长为。 7．圆外切正方形半径为2cm，该圆内接正六边形的面积为 . 8．如图：O内切于弓形ADB的最大的圆，且弧ADB的度数 为120°，则⊙O的周长：L弧AB= 。 9．如图，C、D是以AB为直径的圆周三等分点，⊙O的半 径为R，则图中阴影部分面积为。 10．如图，在矩形ABCD中，AB=8 cm，将矩形绕点A转90°， 到达A‵B‵C‵D‵的位置，则在转过程中，边CD扫过的 (阴影部分)面积S= 。 11．如图，正方形ABCD边长为2 cm，以B圆心作弧AC，P是弧AC 上一点，PE⊥CD于E，弧PA的长。 12．如图，扇形OAB的中心角∠AOB=90°，以AB为直径向形外作半圆弧ANB，以O为圆心，AO为半径作弧AMB，求证：弧AMB与弧ANB所围成的月牙形面积和⊿AOB的面积相等
1．如图，已知扇形OACB中，∠⊙ AOB＝120°，弧AB长为L＝4，⊙O和弧AB、OA、OB分别相切于点C、D、E，求⊙O的周长。 2．如图，半径为的正三角形ABC的中心为O，过O与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。 3．如图，割线PCD过圆心O，且PD＝3PC，PA、PB切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝4，AB 与PD相交于E，求弓形ACB的面积。 4．如图，同心圆O，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，当大圆半径为R时，且AB∥CD，求阴影部分面积。
五年级不规则图形面积计算
五年级不规则图形面积计算 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 一、例题与方法指导 例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分 别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。 思路导航： 阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。 例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 思路导航：
∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等， ∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的1 3 。 在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。 所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。 例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米 和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。 思路导航： 在等腰直角三角形ABC 中 ∵AB=10 ∵EF=BF=AB-AF=10-6=4， ∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。 例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米. 求△ABD 及△ACE 的面积. B C
格点与面积小学奥数知道点详解
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。 一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法： ①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积； ②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积； ③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。 任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积： 格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。 皮克定理的证明： 将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1 所以格点多边形面积为： 图内格点个数+周界格点数÷2-1。 皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲只要 求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到 初中还会进一步学习皮克定理。 例1： 求下面各图形的面积。 【解析】： 图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个 格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8； 图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根 据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5； 图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6； 以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。
三角函数特殊性质
一、三角函数的六边形法则 构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。 (1)倒数关系：1 11 cot tan ===ααααααSec Cos Csc Sin 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1 (2)平方关系α αααα α222222111tan Csc Cot Cos Sin Sec =+=+=+ 在阴影三角形中，两个上顶角的平方和等于下顶角的平方。 (3)商数关系：αααCos Sin tan = 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。 二、等分象限法 已知α为某象限的角，如何确定n α 所在的象限及其取值范围呢？ 一、n α所在象限的确定 一般地，要确定n α所在的象限，可以做出各个象限的从原点出发的n 等分射 线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域。从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4。标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时 n α 的终边所落在的区域。 例：若α为第二象限角，试用几何作图法确定2 α 所在的象限。 【解析】根据分母值2，将每个象限二等分，然后标号，最后根据α为第二象限角确定2 α的终边所落的区域，从而看出2 α所在的象限。 ①利用几何作图法，二等分各个象限并标号，如下图： x y O 12 341 2 34 ②因为α为第二象限角，所以上图标号为2区域就是2 α的终边所落在的区域。上图中有两个区域标号为2，分别在第一象限与第三象限， 所以2 α所在的象 限为一、三象限。 二、n α 取值范围的确定 在确定 n α 的取值范围之前，我们要先明确下面两类终边相同角的集合的表 示方法： ①终边落在射线上的角的集合表示方法：
小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理） 板块一正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：1 2 L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？ 【例 2】如图，44 ?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个． 【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴⑵⑶ 【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积． 【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积为1 2 L S N =+-．
【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积． 【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积． 【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积． ⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积． ⑵ ⑴⑷ ⑶ 【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 【例 9】右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．