2015年高中数学竞赛决赛试题及答案
2015年高中数学竞赛 复赛试题及答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请
把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）
1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是
A ．
5
6
B ．
23
C ．
12
D ．
13
2．若α是第四象限角，且2cos
2
sin
212
cos
2
sin
α
α
α
α
-=-，则
2
α
是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角
3. 已知点O A B 、、不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且22+OP OA BA =
，则
A ．点P 不在直线A
B 上 B ．点P 在线段AB 上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 在线段AB 的反向延长线上
4．设+∈R n m ,，若直线04)1()1(=-+++y n x m 与圆4)2()2(22=-+-y x 相切，则m n +的取值范围是
A .]31,0(+
B .),31[+∞+
C . ),222[+∞+
D .]222,0(+ 5. 已知正方体C 1
的棱长为C 1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 2，以C 2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 3，则凸多面体C 3的棱长为
A ．18
B ．29
C ．9
D ．26
6. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(3)()f x f x +=-,且在区间]2
3
,
0[上是增函数,若方程m x f =)()0( A ．6- B ． 6 C ．8- D ．8 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知1 ln ,0()1,0x x f x x x ?>??=??-的解集为 ▲ . 8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 ▲ 人. 9．在ABC ?中，角,,A B C 所对应的边长分别为,,a b c ，若22 22 a b c +=，则c o s C 的最小值为 ▲ . 10．给出下列四个命题： （1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交； （2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β； （3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直； （4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β． 其中真命题．．． 的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 11．若动点00(,)M x y 在直线20x y --=上运动，且满足2200(2)(2)x y -++≤8，则2200x y +的取值范围是 ▲ ． 12．设函数()1121++?? ? ??=x x x f x ，0A 为坐标原点，n A 为函数()x f y =图象上横坐标为n （n ∈N *）的点，向 量∑ =-= n k k k n A A a 1 1，向量)0,1(=i ，设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，满足1 5 tan 3n k k θ=<∑的最大整数n 是 ▲ 。 ． 答 题 卡 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．） 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．） 7． 8． 9． 10． 11． 12． 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分） 已知函数2()2sin cos 222 x x x f x =-+． （1）求函数()f x 的单调减区间； （2）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的变换得到? （3）已知2π,63πα?? ∈ ??? ，且6()5f α=，求()6f πα-的值． 菱形ABCD 中，)2,1(A ，)0,6(=，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P . （1）若向量)7,3(=，求点C 的坐标； （2）当点D 运动时，求点P 的轨迹. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE ＝BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE. （1）判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并说明理由； （2）求点D 到平面ACE 的距离. A B C D E F 如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水. （1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m3，试根据环保部门的要求写出x、y 所满足的所有条件； （2）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？ 已知),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=. （1）当0≠a 时，若函数)(x f 的图象与直线x y ±=均无公共点，求证：;4 1 42>-b ac （2）4 3 ,4= =c b 时，对于给定的负数8-≤a ，记使不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值为)(a M .问a 为何值时，)(a M 最大，并求出这个最大的)(a M ，证明你的结论. 2014年高中数学竞赛决赛参考答案 11.24 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．） 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．） 7．),0()1,(e --∞ 8． 78 9． 1 2 10． （3）（4） 11． [2，8] 12． 3 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分） 解：（1）2 ()sin 2sin )2x f x x =- sin x x =π2sin 3x ? ?=+ ?? ?． …………………2分 令 ππ π ππ k x k 22 33 22 +≤ + ≤+，Z k ∈． 得ππ ππk x k 26 726+≤ ≤+，Z k ∈． ()f x ∴的单调减区间为]26 7, 26[ππ ππk k ++，Z k ∈． …………………5分 （2）先把函数)(sin R x x y ∈=的图象向左平移3π个单位，就得到函数))(3 sin(R x x y ∈+=π 的图象； 再把其纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，就得到π2sin 3y x ?? =+ ?? ? )(R x ∈的图象．…………7分 （3）由56)(=αf 得：π62sin(),35α+=即π3 sin(),35 α+= …………………8分 因为2π,63πα?? ∈ ??? ,所以π()(,)32παπ+∈. 从而π 4 cos()3 5 α+===- …………………10分 于是()2sin[()]2[sin()cos cos()sin ]6363636 f π ππππππ αααα- =+-=+-+ 5 4 33]21542353[2+= ?+?=. …………………12分 14.（本小题满分12分） 解：（1）菱形ABCD 中，)7,9()0,6()7,3(=+=+=，且)2,1(A ，所以)9,10(C .…4分 （2）设),(y x P ，则)2,7()0,6()2,1(--=---=-=y x y x . …………………5分 又因为点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，即点P 是ABC ?的重心，从而有 3=,所以 11133()3222 AC AM MC AB MP AB AP AB AP AB =+=+=+-=- 3(1,2)(6,0)(39,36)x y x y =---=-- …………………7分 菱形ABCD 的对角线互相垂直，所以AC BP ⊥， 即 0)63,93()2,7(=--?--y x y x ， 亦即0)63)(2()93()7(=--+-?-y y x x ， 整理得：4)2()5(2 2=-+-y x （2≠y ）， …………………11分 故P 点的轨迹是以)2,5(为圆心，2为半径的圆，除去与2=y 的交点. …………………12分 15．（本题满分13分） 解：（1）平面ADE 与平面BCE 垂直. …………………1分 证明如下： 因为BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE. …………………3分 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，且ABCD 是正方形，BC ⊥AB ， C D 平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，所以BC ⊥平面ABE ， 从而BC ⊥AE. …………………6分 于是AE ⊥平面BCE ，故平面ADE ⊥平面BCE. ………………7分 （2）连结BD 交AC 与点M ，则点M 是BD 的中点， 所以点D 与点B 到平面ACE 的距离相等. …………………8分 因为BF ⊥平面ACE ，所以BF 为点B 到平面ACE 的距离. …9分 因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE. 又AE ＝BE ，所以△AEB 是等腰直角三角形. …………………10分 因为AB ＝2，所以BE ＝2sin 45?= …………………11分 在Rt △CBE 中， CE = 3B C B E BF CE ?= == 故点D 到平面ACE 的距离是 3 3 2. …………………13分 16．（本题满分13分） 解：（1）据题意，x 、y 所满足的所有条件是()20.25001000.8(2) 1.40.2 700100020 1.4x x y x y -?≤?? -+-?≤?? ≤≤??≤≤? ， …………………4分 即?? ? ??≤≤≤≤≥+4.1021854y x y x . …………………5分 （2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z 元，则 目标函数z ＝1200x ＋1000y ＝200(6x ＋5y ).…………7分 作可行域，如图. ……………10分 平移直线l ：6x ＋5y=0，当直线经过点A (1，0.8)时， z 取最大值，此时 A B C D E F M G z ＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）. ……………12分 故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元. …………………13分 17．（本题满分14分） 解：(1)由),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=与直线x y ±=均无公共点（0≠a ）， 可知x c bx ax ±=++422 无解， ………………1分 由04)12(2=+++c x b ax 无解，得：016)12(2<-+=?ac b ， 整理得：b b ac +> -4 1 42 (1) ………………3分 由04)12(2=+-+c x b ax 无解，得：016)12(2<--=?ac b ， 整理得：b b ac ->-4 1 42 (2) ………………5分 由(1),(2)得: 4 1 42>-b ac . ………………6分 (2) 由43 ,4==c b ，所以38)(2++=x ax x f ………………7分 因为a a f 163)4(-=-, 由8-≤a 得，516 3)4(≤- =-a a f ………………9分 所以()5f x ≤恒成立， 故不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值也就是不等式()5f x ≥-成立的x 的最大值，…………10分 因此)(a M 为方程5382 -=++x ax 的较大根， 即a a a M 2424)(---= （8-≤a ） ………………11分 当8-≤a 时，() M a = = a 的增函数， ………………13分 所以，当8a =-时，)(a M 取得最大值，其最大值为2 5 1)(+=a M . ………………14分 18．（本题满分14分） 解：（1）由条件可得3n n x =，45n y n =+，根据题意知，23n n c =． …………………1分 由k c 为数列{}n y 中的第m 项，则有23 45k m =+， …………………2分 因910m * +∈N ,所以1k c +是数列{}n y 中的第910m +项． …………………5分 （2）设在区间[1,2]上存在实数b 使得数列{}n x 和{}n y 有公共项， 即存在正整数s ，t 使(1)s a a t b =++，∴1 +-=a b a t s ， 因自然数2a ≥,s ，t 为正整数，∴s a b -能被1a +整除． …………………6分 ①当1s =时，1s a b t a -= <+1 a a *?+N ． ②当2s n = (n *∈N )时， 若1 b =， 2222111[1()()()]111() s n n n a b a a a a a a a a ----==-=-+-+-++-++-- 2422(1)[1]n a a a a -*=-+++∈N ， 即s a b -能被1a +整除， …………………8分 此时数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，通项公式为2n n z a =(n *∈N )； 若2b =， 显然， 222111111 s n n a b a a a a a a *---==-?++++N ，即s a b -不能被1a +整除． ………………9分 ③当21s n =+(n *∈N )时, 2() 11 n s b a a a b a t a a --==++， …………………10分 若2a >，则2n b a a *-?N ，又a 与1a +互质，故此时2()1n b a a a t a *-= ?+N ． ………………11分 若2a =，要2n b a a *-∈N ，则要2b =，此时221n n b a a a -=-， …………………12分 由②知，21n a -能被1a +整除， 故2() 1 n b a a a t a *-= ∈+N ，即s a b -能被1a +整除． 当且仅当2b a ==时，b a S -能被1a +整除． …………………13分 此时数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，通项公式为212n n z +=(n * ∈N ). 综上所述，存在{1,2}b ∈，使得数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ， 且当1b =时,数列2n z a =(n * ∈N )；当2b a ==时,数列212n z +=(n * ∈N ). ……………14分 18．（本题满分14分） 已知数列{}n x 和{}n y 的通项公式分别为n n x a =和()1,n y a n b n N +=++∈. （1）当3,5a b ==时，记2n n c x =，若k c 是{}n y 中的第m 项(,)k m N +∈，试问：1k c +是数列{}n y 中的第几项？请说明理由． （2）对给定自然数2a ≥，试问是否存在{}1,2b ∈，使得数列{}n x 和{}n y 有公共项？若存在，求出b 的值及相应的公共项组成的数列{}z ，若不存在，请说明理由．