线性规划中整点问题的求解策略

四川省武胜飞龙中学校梁洪斌郑秋华（638402）

在有关线性规划的求解问题中，经常会碰到最优化决策的整点问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际求解中，对于最优解 (x,y) 通常要满足x,y ∈N ，这种最优解称为整点最优解时，很多同学感到束手无策，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解的问题.

1．平移找解法

作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l ，直线l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.

例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别

所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获

利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得

利润最多?

解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么???????≥≥≤+≤+0

5628.008.07209.018.0y x y x y x 而

z =6x +10y .如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上

点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值。解方程组?

??=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.点评：本题的

最优点恰为直线0.18x +0.09y =72和0.08x +0.28y =56的交点M 。

例 2 有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于3

1配套，怎样截最合理？解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的

y 根，总数为z 根。根据题意，得

，目标函数为，

作出如图所示的可行域内的整点，

作一组平行直线x+y=t ，经过可行域内的点

且和原点距离最远的直线为过B （8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y 为正整数，知（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，

4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．

点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点B （8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。

从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。

二、整点调整法

先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．例3．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->??+-

，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，

3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界）

，设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919

C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， ∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019

x <<知x 可取1,2,3，当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；

当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =??=?或31

x y =??=-?．

3.逐一检验法

由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓．

例4 一批长4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm 与698mm 的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率．

解：设甲种毛坯截 x 根，乙种毛坯截 y 根，钢材的利

用率为 P ，则 ①，目标函数为

②，线性约束条件①表示的可

C x y O 1l

行域是图中阴影部分的整点．②表示与直线518x+698y=4000平行的直线系。所以使P取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x+698y=4000的整点坐标．如图看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入

②进行校验，可知当x=5,y=2时，．

答：当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65%．

解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.