[vip专享]13数学本---2016数理金融学作业布置及参考答案(2)

作业次数顺序：请按作业本上顺序标号，我这里的标号不一定对。

做作业请我布置的顺序做，谢谢！

第八次作业：4.1 ，4.2 教材p68第6,7题请参考4.3,4.4解法

作业八：贝塔系数与证券定价（一）

4.1.一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是11%，标准差是0.18，且

市场组合的期望收益是15%。假定资本资产定价模型有效。如果一个证券与市场组合的相

关系数是0.30、标准差是0.4，计算该证券的期望收益是多少？

解：设该投资组合为,

(1)p M X r X ??=-+由题意知，()14%,0.05,M p M

E X r σ?σ===所以，，()(())p Mp M E X r E X r β=+-11%5%(15%5%)0.6

Mp Mp ββ=+-∴=0.180.6,0.3

p p m mp mp m σσσββσ====0.30.400.120.30.30.4

mj p

m mj ρσσβ?====由资本市场线CML 方程得:

()(()5%0.410%9%

j Mj M E X r E X r β=+-=+?=4.2设无风险利率为6%，市场组合的期望收益是15%，方差为0.04.证劵与市场组合的相

j 关系数是0.45，方差是0.16。根据资本资产定价模型，证券的期望收益是多少？

j 解：设为证券j 的收益率，由题意知，

j X 2()15%,6%,/0.450.40.2/0.040.9

M mj mj j m m E X r βρσσσ===??=??=由CAPM 模型：得：

()(())j f mj M f E X r E X r β=+-()6%0.9(15%6%)14.1%

j E X =+?-=4.3假设证券的市场价值为40美元，证券的期望收益率为13%，无风险利率为7%，市场风

险溢价为8%。假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组

()M E X r -合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。

4.3解：设此证券为由证券市场线方程，

p X ()(())p Mp M E X r E X r b -=

-可知8%13%7%6%,0.75Mp Mp b b ×=-==

因为,当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍

cov(,)var()p M Mp M X X X b =时，,则2 1.5Mp Mp b b ￠==()7% 1.58%19%E X ￠

=+′=收益,原来的2倍时，,

0()4013% 5.2D P E X =×=′=2 1.5Mp Mp b b ￠==000()19% 5.2, 5.2/19%27.37

D P

E X P P A ￠￠￠￠=×===?4.4假设证券的市场价值为60美元，证券的期望收益率为15%，无风险利率为7%，市场风

险溢价为8%。假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组

()M E X r -合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。

4.4解：设此证券为由证券市场线方程，可知

p X ()(())p Mp M E X r E X r b -=-8%8%, 1.0

Mp Mp b b ×==因为,当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍

cov(,)var()p M Mp M X X X b =时，。此时证券的期望收益率为：

2 1.02 2.0Mp Mp b b ￠==′=，而收益D=60×15%=9.由股票价

()(())7%28%23%p Mp M E X r E X r b ￠￠=+-=+′=格=股票收益/收益率=9/23% =39.13

第九次作业

作业九CAPM 公式及其应用

一、名词解释

1证券市场线；

2.资本市场线

1.证券市场线是指对任意资产组合,由点所形成的轨迹.证券市场线

p X M ?(,())Mp P E X b 方程为：.其中为资产组合的()(())p Mp M E X r E X r b -=-2cov(,)/Mp p M M

X X b s =p X 市场系数，为无风险利率.它是过无风险资产对应的点和市场资产组合对应的

beta r (0,)r 点的一条直线.

(1,())M E X 2.资本市场线是由所有有效资产组合所对应的点所形成的轨迹.

p X M ?((),())P P X E X s 资本市场线的方程为：()(())p P M M

E X r E X r s s =+

-二、选择题1.资本资产定价模型中，风险是通过（ B ）度量的

A ．个别风险 B.贝塔系数 C.收益标准差 D.收益的方差

10.已知无风险收益率和市场组合期望收益率分别为0.06和0.12，根据CAPM 模型，贝塔

系数为1.2的证券X 的期望收益率是（ ）

A. 0.06

B. 0.144，

C. 0.12

D. 0.132

解：6%,()12%,) 1.2,

f M p r E X b ===由CAPM 模型：得

()(())p f p M f E X r E X r β=+-()6% 1.2(12%6%)13.2%0.132

j E X =+?-==2.CAPM 模型是1964年由（ D ）提出的

A.Makowitz

B.Linter

C.Ross

D.Sharpe

12.如果无风险利率则资产组合的值等于多

6%,()14%,()18%,f M p r E X E X ===p X b 少？

A. -1.5

B. 1，

C. 1.5 D 2

解：由CAPM 模型：得：

()(())p f p M f E X r E X r β=+-18%6%(14%6%), 1.5

p p ββ=+-=3.（ D ）风险可以通过资产组合多样化来消除？

A. 预想到的风险

B. 系统性风险，

C.市场风险 D 非系统性风险

4.证券的系统性风险可以用（ A ）来度量。

A. 系数

B. 相关系数，

C. 收益率的标准差 D 收益率的方差。

β5.设当前无风险利率，市场组合收益率的均值和标准差分别为

6%f r =()0.10,0.20

M M E X s ==如果某股票的收益率与市场组合收益率的协方差为0.05则该股票的期望收益率等于（ ）。

A. 10%

B. 11%，

C. 12% D 9%

解：设该股票为，则j X 2cov(,)

0.05 1.250.04

j M mj M X X βσ===由CAPM 模型：得：()(())j f mj M f E X r E X r β=+-()6% 1.25(10%6%)11%

j E X =+?-=三、计算题

1.建立资产组合时有以下两个机会：（1）无风险资产收益率为

12％；（2）风险资产收益率为30％，标准差0.4。如果投资者资产组合的标准

差为0.30，则这一资产组合的收益率为多少？

解：运用CML

方程式

2.假定无风险利率为6％，市场收益率为16％，股票A 当日售价为25元，

在年末将支付每股0.5元的红利，其贝塔值为1.2，请预期股票A 在年末的售

价是多少？

解：

E(P 1)=29%.)P (E 1825

50251=+-作业十：期权价值的计算（单期）

1.某个股票现价为40美元。已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。无风险年利

率为12%（连续复利）。请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式

看涨期权的价值为多少？ (2) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值

为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

参考答案：

1.解：股票的价格二叉树模型为：

04240,12%,1/12138

u f d q S S r q S τ====-=A A 第1步：从股票二叉图得到风险中性概率.

q 由无套利原理知：

0.121/12404238(1)e q q ′′=+-从

40(10.01)4238(1)

q q ′+=+-我们得到

所以 2.442384q q q =-= 0.6

q =第2步：对衍生产品价值和求平均.

u C d C (1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

0310

u d q C C q C =-=A A 看涨期权的价格为： 01 1.8[3(1)0] 1.7821.01 1.01

C q q A （美元）=′+-′=(2)执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：

，所以看跌期权的价格为：0011

u d q C P q C =-=A A 010.4[0(1)1]0.3961.01 1.01P q q A （美元）=

′+-′=（3），

r P S C Ke τ-+=+0.010.3964040.396, 1.7823940.396

r P S C Ke e τ--+=+=+=+?=2.某个股票现价为50美元。已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。无风险年利率为10%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

2.解：股票的价格二叉树模型为：

05350,10%,1/6148

u f d q S S r q S τ====-=A A 第1步：从股票二叉图得到风险中性概率. q 由无套利原理知：

0.11/6505348(1)e q q ′′=+-从

50(11/60)5348(1)

q q ′+=+-我们得到

所17/653485q q q =-=以

3.4/6

q =第2步：对衍生产品价值和求平均.

u C d C

(3)执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

0410

u d q C C q C =-=A A 看涨期权的价格为：

0113.6/6136[4(1)0] 2.2361/6061/6061

C q q A （美元）=′+-′==(4)执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为：

，所以看跌期权的价格为：0011

u d q C P q C =-=A A 06060 2.6[0(1)1]0.42661616P q q A （美元）=

′+-′=（3），

r P S C Ke τ-+=+0.4265050.426,

P S +=+=0.11/602.2349 2.234960/61 2.2348.19650.426

r C Ke e τ--?+=+?=+?=+=作业十一：期权价值的计算（2）单期

3. 某个股票现价为80美元。已知在4个月后，股票价格为75美元或85美元。无风险年利率为6%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.

3解：股票的价格二叉树模型为：

08580,6%,1/3175

u f d q S S r q S τ====-=A A 第1步：从股票二叉图得到风险中性概率. q 由无套利原理知：

0.061/3808575(1)e q q ′′=+-从 80(10.02)8575(1)

q q ′+=+-我们得到

所以 6.6857510q q q =-=

0.66

q =第2步：对衍生产品价值和求平均.

u C d C （2）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

0510

u d q C C q C =-=A A 看涨期权的价格为： 01 3.3[5(1)0] 3.2351.02 1.02

C q q A （美元）=′+-′=（3）执行价格K=80美元的看跌期权的二叉树模型为：

，所以看跌期权的价格为：0015

u d q C P q C =-=A A 01 1.7[0(1)5] 1.6671.02 1.02P q q A （美元）=

′+-′=（3），

r P S C Ke τ-+=+0.021.678081.67, 3.23580 3.2478.4381.67

r P S C Ke e τ--+=+=+=+?=+=4．股票现在的价值为50元。一年后，它的价值可能是55元或40元。一年期利率为4%。假设我们希望计算两种看涨期权的价格，一种执行价格为48美元，另一种执行价为53美元。我们也希望为一种执行价为45元的看跌期权定价。

问：如何求欧式看涨期权这三个无套利价格。

4.解：股票的价格二叉树模型为：

05550,4%,1140

u f d q S S r q S τ====-=A A 第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q

由无套利原理知：

1.04505540(1)q q ′=+-从,得到 ,所以, 525540(1)q q =+-12554015q q q =-=120.815

q == 第2步：对衍生产品价值和求平均

u C d C

(1) 执行价格为48美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：0710

u d q C C q C =-=A A 看涨期权的价格为： 01 5.6[7(1)0] 5.381.04 1.04

C q q A （美元）=′+-′=(2) 执行价格为53美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 看涨期权的价格为：0210

u d q C C q C =-=A A 01 1.6(0.820)1.541.04 1.04C A （美元）=

′+=(3) 执行价格为45美元的1年后到期的欧式看跌期权的二叉树模型为：，看跌期权的价格为：0015

u d q C C q C =-=A A 01 1.0(00.25)0.961.04 1.04C A （美元）=+′=