最新-2018届皖南八校高三第一次联考数学试卷(文科)(含答案) 精品

2018届皖南八校高三第一次联考数学试卷（文科）

命题：江西金太阳教育研究所数学研究室

本试卷主要考试内容：函数、导数占40%，其它占60%

第一卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合2{|20}A x x x =--<，3{|log 7log 7}x B x =<，则A B ?＝ A 、{|01}x x << B 、{|13}x x << C 、{|23}x x << D 、{|12}x x <<

2、如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2)4i z bi -=-（其中i 为虚数单位），那么b 等于 A 、8 B 、－8 C 、2 D 、－2

3、下列函数中，在区间(1,1)-上单调递减的是

A 、1

y x = B 、1

3y x = C 、12

log (1)y x =+ D 、2x y =

4、如图所示，在一个边长分别为a 、b （0a b >>）的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为13a 、1

2

a ，且高为

b ，现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是 A 、

710 B 、57 C 、512

D 、58

5、已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则

2(6)(3)f f -+-等于

A 、－15

B 、－13

C 、－5

D 、5

6、在公差不为零的等差数列{}n a 中，2

3711220a a a -+=，

数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b 等于

A 、2

B 、4

C 、8

D 、16

7、函数()y f x =的图象如下图所示，则函数0.2log ()y f x =的图象大致是

第4题图

a

8、如果一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的俯视图的面积为

A 、32

B 、2

3

C 、12

D 、6

9、函数()2cos f x x x =+在区间[0,]2

π

上取得最大值时，x 的值为

A 、0

B 、6π

C 、3π

D 、2

π

10、设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点(,)B x y 满足222210

1212x y x y x y ?+--+≥?

≤≤??≤≤?

，则O A O B ?取

得最小值时，点B 的个数是

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

11、已知抛物线2

4y x =的准线与双曲线22

21x y a

-=交于A 、B

两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是

A

B

C 、2

D 、3

12、如图所示的算法中，令tan a θ=，sin b θ=，cos c θ=，

若在集合3{|,0,,}4442

π

πππ

θθθ-<<

≠中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的取值范围是

A 、(,0)4π-

B 、(0,)4

π C 、3(,

)24ππ D 、(,)42ππ

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将正确答案填在答卷卷中的横线上）

13、把容量为100的某个样本数据拆分为10组，并填写频率分布表，若前七组频率之和为0.79，而剩下的三组的频率成公差为0.05的等差数列，若剩下的三组中频率最大的一组的频率为

14、设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 切线的倾斜角的取值

正视图

侧视图

俯视图

范围为[0,]4

π

，则点P 的横坐标的取值范围为

15、已知向量a 与b 的夹角为120，若向量c a b =+，且c a ⊥，则||

||

a b 值为

16、已知定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，当(1,1)x ∈-时，函数()f x 的导函数()0f x '<恒成立，若2(1)(1)0f a f a -+->，则实数a 的取值范围为

三．解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17、（本小题满分12分）某商场举行抽奖大酬宾活动，从装有编号为0，1，2，3四个大小相同的小球的抽奖箱中同时摸出两个小球，两个小球号码之和为质数的中三等奖，号码之和为合数的中二等奖，号码之和既不是质数也不是合数的中一等奖，求：

（1）某顾客中三等奖的概率；

（2）某顾客中二等奖或一等奖的概率。

18、（本小题满分12分）已知在ABC 中，三条边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，向量(sin ,cos )m A A =，(cos ,sin )n B B =，且满足sin 2m n C ?=。 （1）求角C 的大小；

（2）若sin A 、sin C 、sin B 成等比数列，且()18CA AB AC ?-=，求c 的值。

19、（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和侧视图如下图所示，正视图和俯视图是全等的正方形。 （1）求该几何体的体积V ；

（2）求证：平面ACE ⊥平面BDF ；

俯视图直观图

侧视图

20、（本小题满分12分）已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，AB 的中点为M 。 （1）求抛物线方程；

（2）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当(,0)K m 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系。

21、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为

n S ，且有2111

22

n S n n =+。数列{}n b 满足

2120n n n b b b ++-+=（*n N ∈），且311b =，前9项和为153。 （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）设3

(211)(21)

n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对

一切*n N ∈都成立的最大整数k 的值。

22、（本小题满分13分）已知函数322()33f x x ax a a =--+（0a >）。 （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）曲线()y f x =在点(,())A m f m 和(,())B n f n （m n <）处的切线都与y 轴垂直，若曲线()f x 在区间[,]m n 上与x 轴相交，求实数a 的取值范围。

答案

一、选择题：DBCCA DCABA BC 二、填空题

13、0.12 14、112x -<< 15、1

2

16、(0,1)。 三、解答题

17、从中抽两个小球共有2

46C =种，

（1）抽出的两个小球号码之和为质数的有0、1；0、3；1、2；2、3；共四组，

所以顾客中三等奖的概率为42

63

=。……………………………………6分

（2）号码之和为合数的有1、3；号码之和既不是质数也不是合数的有0、2；所

以某顾客中二等奖或一等奖的概率为21

63

=。………………………………12分

18、（1）由sin 2m n C ?=得cos cos sin sin()sin 2snA B A B A B C +=+=，即

sin sin 2C C =，所以1cos ,23

C C π

==。……………………………………6分

（2）∵sin A 、sin C 、sin B 成等比数列，∴2ab c =，

由()18CA AB AC ?-=得18CA CB ?=，即cos 18ab C =，所以36ab =，因此有236c =，6c =。……………………………………12分

19、由题意知，面ABEF ⊥面ABCD ，AB ⊥面ADE ，且四边形ABEF 与四边形ABCD 均是边长为2的正方形，90EAD ∠=。………4分

（1）该几何体的体积为1

22242

???=…………6分

（2）因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又∵AE ABCD ⊥面，∴AE BD ⊥，则BD AEC ⊥面，所以平面ACE ⊥平面BDF 。…………12分

20、解：（1）∵抛物线22y px =（0p >）

的准线为2

p

x =-，由A 是抛物线上横坐标

为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准

线的距离等于5知：452

p

+=，∴2p =，

即抛物线的方程为24y x =。…………5分 （2）由（1）知B (0,4)，A (4,4)，则M (2,4)；因此圆M 的方程为22(2)(4)4x y -+-=； 而（Ⅰ）当4m ≠时，直线AK 的方程为：

4(4)44y x m

=-+-，即

44044m

x y m m

--=--，那么M 到直线AK 的距离

C

84|

4|

2m

d +-==>

得4m <-

4m >

所以当4m <-

4m >

4m =

44m <<10分 （Ⅱ）当4m =时，，直线与圆相切；…………12分

21（1）由1n n n a S S -=-（2n ≥），2111

22

n S n n =+知5n a n =+对*n N ∈成立；

由2120n n n b b b ++-+=知{}n b 是等差数列，又因为311b =，959153S b ==，知3d =，

所以32n b n =+。……6分

（2）31111

[](211)(21)(21)(21)22121n n n c a b n n n n ===----+-+，所以

11(1)223n T n =-+，要57n k T >对一切*n N ∈都成立，即11(1)22357

k n ->+对一切

*n N ∈都成立，而11(1)223n T n =-

+当2n ≥时单调递增的，所以11

(1)223n T n =-+在*n N ∈的最小值为25

；当2557k

>时，22.8k <，所以最大整数k 的值为22……

12分

22、（1）由2()360f x x ax '=->（0a >）知()f x 在(,0)-∞和(2,)a +∞是增函数，()f x 在(0,2)a 是减函数。即(,0)-∞和(2,)a +∞是()f x 的单调递增区间，(0,2)a 是()f x 的单调递减区间。……6分

（2）由曲线()y f x =在点(,())A m f m 和(,())B n f n （m n <）处的切线都与y 轴

垂直知，()()0f m f n ''==，又m n <，所以0m =，2n a =，若曲线()f x 在区间[,]

m n 上与x 轴相交即若曲线()f x 在区间[0,2]a 上与x 轴相交，又()f x 在[0,2]a 上单调，所以(0)(2)0f f a <，即22(31)(2031)0a a a a -+-<

，得31

()403

a -∈……12分