湖北省部分重点中学2011高三期中联考--数学理

湖北省部分重点中学期中联考数学理科试卷”

命题学校： 新洲一中 命题人： 陶金桥 审题人： 徐红飞

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集为U ，若命题P:2010A B ∈?,则命题P ?是( )

.2010.20102010.2010()()

.2010()()

U U U U A A B B A B C C A C B D C A C B ∈???∈?∈?且

2. 对数列{}n a ,{}1n n n a a a +<是为递减数列的( ) A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件

3. 已知二次函数f(x)图象的对称轴是x=x 0，它在区间[a,b]值域为[f(b),f(a)],则( ) (A) 0x b ≥

(B) 0x a ≤ (C) 0(,)x a b ∈ (D) 0(,)x a b ?

4. 定义：符号[x] 表示不超过实数x 的最大整数，如[3.8]=3,[-2.3]=-3，，等，设函数f(x)=x-[x]，则下列结论中不正确．．．

的是 （ ） A 11

()22

f -=. B.f(x+y)=f(x)+f(y) C. f(x+1)=f(x) D. 0()1f x ≤<

5．若函数()(,)y f x a b =的导函数在区间上不是单调函数，则函数()y f x =在区

间[,]a b 上的图象可能是 ( )

A ．①③

B ．②④

C ．②③

D ．③④

6. 若,,,22ππαβ??

∈-????

且sin sin 0,ααββ->则下面结论正确的是（ ）

A.βα>

B. βα<

C.0>+βα

D. 22βα> 7. 设*()(1)(2)()f x x x x x n n N =?-?-??????-∈则(0)f '的值为 ( )

A ．0

B ．(1)

2

n n ?+- C ．!n D ．(1)!n n -?

8．.数列{}n a 满足:6(3)3(7)

(7)n n a n n a a

n ---≤?=?>?且{}n a 是递增数列,则实数a 的范围是

( )

99.(,3).[,3).(1,3).(2,3)4

4

A B C D

9. 设,(0,)cos ,sin(cos )2

a b a a b b π

∈==且则a,b 的大小为( )

A ．a

B ．a b ≤

C ．b

D ．b a ≤

10、函数??

?

??<>+=0,2cos 0

),1lg()(x x x x x f π图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，则n 的值为

（ ）

（A ）4 （B ）3 （C ）5 （D ）无穷多

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，

则数列1n a n ??

??+??的前n 项和的公式是

12.不等式222log ()3x x x x -<-++解集为

13.已知41)6sin(=

+

π

x ，则=-+-)3

(cos )65sin(

2x x π

π ； 14．下列命题：①若区间D 内任意实数x 都有f(x+1)>f(x)，则y=f(x)在D 上是

增函数；②1

y x =-

在定义域内是增函数；③函数()f x =对称；④如果关于实数x 的方程21

3ax x x

+=的所有解中，正数解仅有一个，那

么实数a 的取值范围是0a ≤; 其中正确的序号是

15．已知函数f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当20x -≤≤时()2x f x =,又当n N *∈时a n =f(n),则a 2010= .

三．解答题（本大题共6小题，共75分,解答应写演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数2lg(22)y ax x =-+.

（1）若函数2lg(22)y ax x =-+的值域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若1a =且1x ≤，求2lg(22)y ax x =-+的反函数1()f x -；

（3）若方程2lg(22)1ax x -+=在1

[,2]2

内有解，求实数a 的取值范围

17.(本小题满分12分）设函数()()

f x a b c =?+

，其中向量 ()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=- ()c o s ,s i n ,c x x x R =-∈

. （Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原

点成中心对称，求长度最小的d

.

18．(本小题满分12分）如图，圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4（1）求弦BD 的长；（2）设点P 是弧BCD 上的一动点（不与B ，D 重合）分别以PB ，PD 为一边作正三角形

角形面积和的取值范围。

19．（本小题满分13分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润

**

1 (120,)()1 (2160,10

?≤≤∈?

=?≤≤∈??）x x N f x x x x N （单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率

()x g x x =

第个月的利润

第个月前的资金总和

，例如：(3)(3)81(1)(2)f g f f =++．

（1）求(10)g ；

（2）求第x 个月的当月利润率()g x ；

（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

F

20．（本小题满分13分）已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈

（Ⅱ）若);3

2(3)()(2:

),,0(],,0[x

f x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证

（Ⅲ2()()

2[,(1)],(,(1)),,()

3

3

f f x x

x k k

k k k Z f θθππθππ++∈+∈+∈若猜想与 的大小关系.（不必证明）

21.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的相邻两项n a ，1+n a 是关于x 的方程

022=+-n n b x x (n ∈N *

)的根，且11=a .

(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

(Ⅱ)设n S 是数列}{n a 的前n 项和，问是否存在常数λ，使得0>-n n S b λ对任意

n ∈N *都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说理理由.

高三年级数学试题参考答案（理科）

二、填空题（每小题5分，共25分） 11．122n n S +=- 12．(1,0)(1,2)-?

13．

14．③

15．

三、解答题（共75分） 16．解：（1）1

02

a ≤≤

…4分 （2）1()10)f x x -=≥ …8分 （3）[3，36]…12分

17．解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx) ＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+4

3π

).…4分 所以，f(x)的最大值为

2+2，最小正周期是

2

2

π

=π.…

6分 （Ⅱ）由sin(2x+

43π)=0得2x+4

3π

=k.π，即x =832ππ-k ,k ∈Z ，

于是d =（328k ππ-+，－2），,4)8

32(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d

最小，则只有k =1，此时d

=（―8

π

，―2）即为所求. …12分

000(1)120........(2),(0,120),))]..............8sin(230)]......BAD BD PD PBD θθθθθθθ∠==∠=∈==

-∴+-+-022018.解由余弦定理求得分PB 设由正弦定理sin(120sin 两正三角形面积和sin sin (120分0 (101)

sin(230)(1]2,

y θ-∈-∴∈ 分

分

19．解（1）由题意得(1)(2)(3)(9)(10)1f f f f f ======

516

1

4

∴(10)1

(10)81(1)(9)90

=

=

+++ f g f f ． …………………………3分 （2）当120x ≤≤时，(1)(2)(1)()1f f f x f x ===-==

∴()11

()81(1)(1)81180

===

+++-+-+ f x g x f f x x x ．…… 5分 当2160x ≤≤时，

2

()

()81(1)(20)(21)(1)

1108120(21)(1)

1210(21)(20)160010120

f x

g x f f f f x x f f x x

x x x x x =

++++++-=++++-==-+-++

…………7分

∴当第x 个月的当月利润率为

**2

1 (120,)80

()2 (2160,1600?

≤≤∈??+=??≤≤∈?-+?

）x x N x g x x x x N x x ……………………9分

（3）①当120x ≤≤时，1

()80

g x x =+是减函数，此时()g x 的最大值

为1

(1)81

g =（10分

②当2160x ≤≤

时，2222

()16001600791x g x x x x x

==≤=

-++- 当且仅当1600x x =时，即40x =时，max 2()79g x =，又21

7981

> ，

∴当40x =时，max 2

()79

g x = ………………………………………12分

故该企业经销此产品期间，第40个月的利润率最大，最大值为2

79

…13分

20．解：解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π

分的值域为即求得所以上连续

在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤

（Ⅱ）设2()()2()()33f f x x

g x f θθ++=

-，

)3

2cos cos (31)(x

x x g ++-='θ……6分

2[0,],(0,)(0,)()0,3

x

x g x x θπθππθ+'∈∈∴

∈== 由得 .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ

(,),()0,()8x g x g x θπ'∈> 当时为增函数分

()[0,]()()[0,]()()02()()2()933

g x g g x x g x g f f x x

f πθπθθθ∈≥=++≥ 在区间上连续则为的最小值对有因而

分

（Ⅲ）在题设条件下，同（Ⅱ）当k 为偶数时)3

2(3)()(2x

f x f f +≥+θθ

当k 为奇数时

)3

2(3)()(2x

f x f f +≤+θθ……13分

21．解： (Ⅰ)∵a n ，a n ＋l 是关于x 的方程x 2－2n x ＋b n ＝0(n ∈N *)的两根，

∴???==+++1

12n n n n n n a a b a a ， (2分) 由a n ＋a n ＋l ＝2n ，两边同除以(－1)n +1， 得

n

n n n n a a )2()1()1(11--=---++．令n

n n

a c )1(-=，则c n ＋1－c n ＝－(－2)n ． 故c n ＝ c 1＋(c 2－ c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1) ＝－1－(－2)－(－2)2－(－2)3－…－(－2)n －1

)2(1])2(1[)2(11----?--

-=-n ]1)2[(31

--=n (n ≥ 2)． 且1111-=-=a c 也适合上式．∴]1)2[(3

1

--=n n c (n ∈N *)． ∴

]1)2[(31)

1(--=-n

n

n a ，即])1(2[31n n n a --=． (5分) ∴])1(2[])1(2[91111+++--?--==n n n n n n n a a b ]1)2(2[9

1

12---=+n n ．(7分)

(Ⅱ)S n ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋…＋a n

{}])1()1()1[()2222(3

1

232n n -++-+--++++= ]2

1)1(22[311----=+n n ．(9分) 要使b n －λ S n ＞0对任意n ∈N *都成立，

即0]2

1)1(22[3]1)2(2

[91112＞--------++n n n

n λ(*)对任意n ∈N *都成立．

①当n 为正奇数时，由(*)式得 0)12(3]122[91112＞---+++n n n λ， 即0)12(3

)12)(12(91112＞--+-++n n n λ

，∵2n ＋1－1＞0， ∴)12(3

1

+n ＜λ对任意正奇数n 都成立．

当且仅当n ＝1时，)12(3

1

+n 有最小值1．∴λ＜1．(11分)

②当n 为正偶数时，由(*)式得 ()0)22(312291112＞----++n n n λ， 即0)12(3

2)12)(12(9112＞--

-++n

n n λ，∵2n －1＞0， ∴)12(6

1

1++n ＜λ对任意正偶数n 都成立．

当且仅当n ＝2时，)12(6

11++n 有最小值23．∴23

＜λ．(13分)

综上所述，存在常数λ，使得b n －λ S n ＞0对任意n ∈N *都成立，λ的取值范围是(－∞，1)．(14分)