加速度的分量表达式

§2、速度、加速度的分量表达式

上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，2

2;dt

r d dt v

d a dt r d v

=≡≡ 。在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。例如过两点成一条直线……。由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。

一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系

在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：

........z k y j x i r

++= （1）

根据速度的定义可知dt

r d v

≡将（1）代入，则有

1、速度：

z

y x v k v j v i dt

dz k

dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v

++=++=++==...........................................)(

于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：

z

dt

dz v y

dt

dy v x

dt

dx v z y x ======

;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。速度的大小：2

22z

y x v v v v v ++=

=

速度的方向

就用方向余弦来表示：v

v k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos(

。同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。 2、加速度 根据加速度的定义：

z

y x z y

x a k a j a i dt

dv k dt

dv j dt

dv i dt

z

d k y d j x d i dt

dz

k dy j dx i dt d dt

v d a

++=+

+

=

++=

++==

2

22

2)(

比较这

些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：

z dt

z d v

dv a y

dt y

d v

dt

dv a x dt x d v dt dv a z t z y y y x x x

========

====

222

2

22

于是可得加速度的大小为：2

22z

y x a a a a a ++=

=

加速度的方向用方向余弦表示。如

果质点始终在某一平面内运动，我们采用的坐标是平面正交坐标系的话，那么将上面的分量表达式中的某一分量去掉，剩下的就是平面正交坐标系中的分量表达式了。 二、 平面极坐标系

在研究质点的平面曲线运动问题时，除了可用平面正交坐标系外，还可以采用平面极坐标系。有时采用极坐标系会比采用平面正交坐标系来计算问题要简单的多，特别是在研究有心力作用的力学问题时，采用极坐标就更显示出它的优越性。在平面极坐标系中，质点的位

置是用极径r 和极角θ这两个极坐标来确定的。在平面极坐标系中的单位矢量的取法与正交坐标系的情形是不同的，在这里是沿矢径方向上取一单位矢量0r

为径向单位矢量。在垂直矢径方向上取一单位矢量0θ

就称做横向单位矢量。于是，在极坐标中，运动质点的位置矢径：0r r r

=。

因为得到了位矢在具体的坐标系中的表达式，然后根据速度和加速度的定义，相继就可以推

出它们在具体的坐标系中的分量表达式。所以，由速度的定义)(0r r dt d dt r d v

==这个结果对不对？不对。为什么不对？……，千万要注意：这里的单位矢量00,θ

r 与直角坐标系中的单位矢量是不同的。尽管这儿的单位矢量0r

和0θ 的大小仍然等于１是不变的，但是，它们

的方向却是随时在变化的，因此它们不是恒矢量而是变矢量，既然是变量，它们对时间的微商当然就不会等于０了：0,00

0≠≠dt

d dt r d θ

所以上式中还有一项要考虑进去。不能把它丢掉。

所以，速度应该等于：0

0000)(r r r r dt

r d r dt dr r r r dt d dt r d v

+=+===这两项之和。下面我们先来计算?.?00==dt d dt

r d θ

为了直观起见，我们结合图来讨论（上课时添加一图）。

从图上可以清楚地看到运动质点从Ｍ这位置移到M '这个位置时，单位矢量的方向都发生了变化，它们的变化量分别为0r d

和d 0θ

。这两个变化量都是由于单位矢量的方向的改变所引起的变化量，单位矢量的大小等于１是不变的。于是我们就很容易得到径向单位矢量对时间微商的大小：θθ ===dt

d dt

r d dt r d .1||||

00它的方向与与横向单位矢0θ 相同。所以0r

对时间Ｔ

的微商

00

θθ

=dt

r d 。同样道理可以得到横向单位矢量对时间的微商00r dt d

θθ-=。为什么这

里要加一个负号呢？从图上可以看到d 0θ

的方向与0r

的方向反向，所以这里要加上一个负

号表示

dt d 0θ

与0r 的方向相反。将结果代入前式。则有：θθθθv v r r r

r v r 0000 +=+=（１）[因为：速度是矢量，所以可以将它投影到径向和横向上去。得到径向分速度r v r 0

和横向分

速度θθv 0

，就分别称它们为径向速度和横向速度，所以，它又恒等于θθv v r r 00

+]于是，我

们比较（１）的两个恒等式可见径向速度分量：r

v r =；横向速度分量θθ r v =。这就是速度在平面极坐标系的两个分量表达式, 由此可得速度的大小为：2

2

||θ

v v v v r

+=

=

我们

结合上面的讨论由（１）式不难了解它们的物理意义：径向速度r v

是由位矢大小的变化引

起的。我们对（１）再求一次微商就能得到加速度在平面极坐标中的分量表达式：)(00θθα

r r

r dt

d dt

v d +==

θθθθθθ r r r r r r r 00000++++= =θθθθθθθ

r r r r r r r 002

000++-+ )2()2()(00020------+=++-=θαθαθθθθ r r r r r r r

同样道理，我们也可以将加速度a

沿径向和横向分解成两个分量，沿径向的分量就用相应的符号r a 表示，沿横向的加速度分量就用θa 表示。所以上式又等于θθa a r r 00

+。我们就将此式的第一项叫做径向加速度，第二项就叫做横向加速度。由（２）这个等式可见：径向加速

度的大小2θ

r r a r -=, 横向加速度的大小)(122

θθθθ r dt

d r r r a =+=。故有加速度的

大小：2

2||θa a a a r +=

=

。这里要我们引起注意的是：同学中往往容易把第二项给丢了，

因为径向速度r v r =，则径向加速度就等于极径的二次微商 r a r =。r

这项只是由径向速度大小的变化所引起的，所以我们除了要考虑这一项之外，还得考虑由于横向速度的方向的改变所引起的另一项2θ r -，它也是径向的。这一点必须要记住，应用时不要忘了第二项。

我希望大家课外由dt

v d a

=去推导一下。通过推导不仅可以加深我们的印象，而且还能够使

我们在推导过程中明确各项量的物理意义。 三、柱坐标系：

接下去介绍一下与平面极坐标有关的另一种空间坐标系，即柱坐标系。

在平面极坐标系的基础上，我们就可以很省力地给出速度和加速度在柱坐标系中的分量

表达式。对柱坐标系我想大家还是比较熟的，直角坐标与极坐标的变换关系大家都知道，即：

.],sin ,cos [z z r y r x ===θθ在三维空间运动的质

点Ｐ的位置，在极坐标系中是由〈z r ,,θ〉这

标来确定的。我们从图上可以看到，这三个柱坐标就是由运动质点在空间任一点的位置Ｐ在ＯＸＹ平面上垂足（即投影点M ），它在ＯＸＹ这个平面内的极坐标（Ｒ，θ）加上这个垂直坐标Ｚ而构成的。所以，在

柱坐标系中，运动质点的位置矢径r

的具体表达式好不好写呢？它只是比平面极坐标系多了

一个Ｚ分量而已。位置矢径r

就等于： k z r r R +=0（１）［这里的单位矢量就如图

哪样取……。］仿照平面极坐标系的推导方法，就能很快地推出速度和加速度在极坐标系中

的分量表达式：速度-----++=k z r r r

v 00θθ（２）所以速度v 在k r ,,00θ这三个方向的分量分别为：.;;z v r v r

v z r ===θθ。速度的大小：2

2

2z r v v v v v ++==θ

。

加速度就等于：()()

）（320

20??+++-=k z r r r r r a θθθθ则加速度的三个分量为：?????=+=-=z a r r a r r a z

r θθθθ

22，加速度的大小：2

22z r a a a a a ++==θ

我们从（２），（３）两式可以看出，速度，加速度在柱坐标系中的分量只是比平面极坐标系多了一个Ｚ方向的分量。因此，只要记住了速度、加速度在平面极坐标系中的分量式。那么，它们在柱坐标中的分量式也就不难记住了。

在平面极坐标的速度和加速度的分量表达式一定

要记住。接下去介绍速度，加速度在自然坐标系中的分量式，也就是内禀方程。 四、自然坐标系：——内禀方程

在这里我们只研究平面运动的情况［质点作平面运动的情况］。当质点在作平面曲线运动的情况下，采用自然坐标系比采用极坐标系，有时显得更加方便一些。对自然坐标大家是熟悉的。因为，在《力学基础》中已经学过。什么是自然坐标？请哪个同学回答。所谓的自

然坐标，就是在已知的质点运动轨迹上取任一点Ｏ做为原点，并规定轨迹的方向。质点在任意时刻的位置就用它相对质点Ｏ的曲线弧长Ｓ来确定的，这个弧坐标Ｓ称为自然坐标。如果我们把质点的运动轨迹的切线和法线作为坐标轴而建立坐标系，这种坐标系就叫做“自然坐标系”。自然坐标系的方位指向是随着运动质点的位置的变化而变化的。在自然坐标系中我们同

样可以将速度和加速度分解成切向和法向分量。今天我们不采用过去的推导方法，而采用更简洁的方法得出同样的结论。推导的出发点仍然是他们的定义。

v dt

ds dt

ds ds r d dt

r d v 00

ττ

===将它改写一下

［因为在极限的情况下1=ds

r d ，

ds

r d 的方

向就是质点在该点轨迹的切线方向，所以

ds

r d

我们可以用切线方向上的单位矢量来表示。路

程Ｓ对时间的变化率就是速率即速度的大小］。v v 0τ

=

所以根据加速度的定义有：()0

2

000000n v dt du n dt d v dt dv dt d v dt dv v dt d dt v

d a

ρτθττττ+=+=+==

=

[如果我们令轨道的切线和X 轴的 夹角为θ的话，哪么我们套用前面

00θθ dt

d dt

r d =

这一结果，就很容易地得到：

00n dt

d dt

d θτ=

这里的0n 是垂直与 0τ

指向曲线凹的一面的单位矢量即法向n

的单位矢量。为了使角量不在这个式子中出现，我们可以想办法用其

他的量代替它。我们可以将dt

d θ 写成为：

ρ

θθθv

dt

d v

dt

ds ds d dt

d =

==

ds

d θ

这个比值我们由高等数学知识可知，它就等于曲线在该处的曲率，即该处曲率半径ρ的倒数：

??∴==ρ

θ1

ds

d

）

（10002

0??+=+=∴n a a n v dt dv a n t

τρ

τ 于是可得切向加速度的大小： dt

dv a =τ……（2）法向加速度的大小 ??=

ρ

2

v

a n (3)

由前面的推导可知切向加速度是由速度的大小改变而引起的，法向加速度是由速度方向的改变所引起的。所以，当质点作曲线运动时，切向加速度有可能等于0，而法向加速度不可能有等于零的情况的。由于τa 和 n a 都与坐标系无关。只与轨道的本身性质有关。因此，（2）（3）两式有时也就称为内禀性方程。上面我们讨论的前提是质点作平面运动。那么，所得

到的结果对空间曲线运动能否适用呢？对这个回答是肯定的，它还能适用于空间曲线，在这里我们要碰到微分几何学上的一个基本概念：密切平面，我们书上叙述比较繁，我们初次接触往往不容易看懂，我用一句简单的话帮助我们理解密切平面的概念。由0τ

d 确定的平面就是密切平面，如果我们用 0τ

表示切向单位矢量， 那么，

0τ d 的方向就是决定主法线的方向，我们就用0n

来表示主法线方向上的单位矢量。除了位

于密切平面内的主法线之外。还有一条垂直与切平面的副法线。副法线方向的单位矢量就用符号0b

表示。它的方向由0τ 和0n

的方向决定，用矢量式表示的话，则有：0b

=0τ ×0n

。遵循右手螺旋法则。所以在上图应该这样画（见上图）。这个切向和主法线方向0n

--τ组成的平面也就是密切平面。由于加速度总是位于轨迹的密切平面内，所以，加速度只有在切线方向和主法线方向上的分量，加速度在垂直于密切平面的副法线方向上的加速度分量必定是等于0的。最后再介绍一下球坐标系中的速度和加速度。 五、球坐标系

运动质点在球坐标系中的位置是用球坐标()?θ,,r 来表示的。这儿的三个单位矢量是 00,0,,?θ

r ，直角坐标与球坐标得关系为：

??

?

??===θ?θθθcos sin sin cos sin r z r y r x

所以，在球坐标系中质点的位置矢径可写成为：

r =i

r θsin ?cos +j r θsin φsin +k r θcos

同样根据速度和加速度的定义可以求出球坐标系中的速度和加速度的表达式：我将结果写出来，推导过程就留给大家去做。作为这次课的作业。

=r

0r

+r θ 0θ +r φ θsin 0φ

a =0r (r —r 2

θ —r 2φ 2

sin

θ)+

0θ

(r θ

+2r θ —r 2φ θsin θcos )

+0? (r φ

θsin +2r φ θsin +2r φ θ θcos ) 可见结果很繁，一般不用球坐标研究运动问题。

关于质点运动学的基本内容很快地就讲完了，有关它的应用，也就是运动学问题的解，将在下次课举一些具体的例子和大家一起做。我们书上的第一章第三节的平动参照系就放到今后讲非惯性系力学问题时再讲。

（在这里要讲一下，矢量表达的优越性和分量表达式对解题的应用……）

P100 思考题：1、1~~1、5