山东省济宁市微山县第二中学2015届高三第四次月考数学(理)试卷 Word版含答案

2015届山东省济宁市微山县第二中学高三第四次月考

数学（理）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{

}

2

20M x x x =+-<，12,2x

N x ??

=<

???

?

则=N M A ．(1,1)- B ．(2,1)- C ．(2,1)-- D ．(1,2)

2．已知i 是虚数单位，设复数113i z =-，232i z =-，则

2

1

z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．已知向量b a ,的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝（ ）

A ． 2

B ．2 2

C ．3 2

D ．4 2

4．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．在ABC ?中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，其中a b B ===A 的取值一定属于范围 A ．)2

,4(

π

π

B ．)4

3,2(

π

π

C ．),4

3(

)4

,

0(ππ

π

D ．)4

3,2()2,4(

πππ

π 6．为得到函数)3

2sin(π

+=x y 的导函数图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有点的

A ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移6

π

B ．纵坐标缩短到原来的

12倍，横坐标向左平移3

π

C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移12

5π

D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移6

5π

7．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAE

C ．平面PDF ⊥平面ABC

D ．平面PA

E ⊥平面 ABC

8．已知函数2

()2f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若1[1,2]x ?∈-，2[1,2]x ?∈-，使得()()21x g x f =，则实数a 的取值范围是

A ．1

(0,]2

B ．1[,3]2

C ．(0,3]

D ．[3,)+∞

9．在ABC ?

中，若6·

-=AC AB ，则ABC ?面积的最大值为

A ．24

B ．16

C ．12

D

．10．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM 的长为

A ．1

2

B ．

22 C ．3

3

D ．

6

6

11．设y x ,满足约束条件??

?

??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数()0,0>>+=b a by ax z 的值是最

大值为12，则23

a b +的最小值为

A ．625

B ．3

8

C ．

3

11

D ．4

12．已知函数()x

f x e ax b =--，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为

A B ．2e

C ．e

D ．

2

e 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________．

14．已知1

(2)x

a e x dx =+?（e 为自然对数的底数）,函数ln ,0()2,0

x x x f x x ->?=?≤?,则

21()(log )6

f a f +=__________．

15．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，则点M 到直线AD 1距离的最小值是________．

16．定义方程()()f x f x '=的实数根o x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，

()ln(1)h x x =+，()cos x x ?=（()x π

∈π2

，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）

已知函数())cos()sin 244

f x x x x a π

π

=++++的最大值为1．

（1）求常数a 的值；

（2）求函数()f x 的单调递增区间；

（3）若将()f x 的图象向左平移

6

π

个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区

间[0,

]2

π

上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）

如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，

点E 为线段PB 的中点，点M 在?

AB 上，且OM ∥AC ．

（1）求证：平面MOE ∥平面P AC ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PCB ；

（3）设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cos θ的值．

19．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 中，13a =，前项和1

(1)(1)12

n n S n a =++-．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列?

??

????+11n n a a 的前项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整

数都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面

AA 1B 1B ，且C 1H ＝5．

（1）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；

（2）求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；

（3）设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段

BM 的长．

21．（本小题满分12分）

已知函数()ln f x x x =（e 为无理数， 2.718e ≈） （1）求函数()f x 在点(),()e f e 处的切线方程； （2）设实数1

2a e

>

，求函数()f x 在[],2a a 上的最小值； （3）若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作

答时请写题号．

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上，且AD=13AC ， AE= 2

3

AB ，BD ，CE 相交于点F 。

（1）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；

（2）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径． 23．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为

???

???

?

+-=+-=t y t

x 2

2422

2 （t 为参数）

，直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；

（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

对于任意的实数)0(≠a a 和b ,不等式a M b a b a ?≥-++恒成立,记实数M 的最

大值是m ． （1）求m 的值;

（2）解不等式m x x ≤-+-21．

2015届山东省济宁市微山县第二中学高三第四次月考

数学（理）试题参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．22+ 14．7 15．3

3

a 16．γ>α>β 三、解答题：

17．（1）()a x x a x x x f ++=++??

?

?

?+

=2sin 2cos 32sin 22sin 3π 132sin 2≤+??? ??

+=a x π

12=+∴a ，1-=∴a

（2）由ππ

π

ππ

k x k 22

3

222

+≤

+

≤+-

，解得

ππ

ππk x k +≤≤+-

12

125，

所以函数的单调递增区间Z k k k ∈??

?

???++-

,12,125ππππ

（3） 将()x f 的图象向左平移

6

π

个单位，得到函数()x g 的图象，

()??

?

??

+

=??????+??? ?

?+=??? ??+=∴322sin 2362sin 26ππππx x x f x g

??

????∈+∴???

???∈35,32322,2,0ππππx x