勾股定理的证明方法探究

勾股定理的证明方法探究

在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

勾股定理指出：

直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，

设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么

a^2+b^2=c^2

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。

我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组

满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

勾股数组的通式：

a=m^2-n^2

b=2mn

c=m^2+n^2

(m>n,m,n为正整数）

推广

如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

勾股定理

勾股定理

定理

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

古埃及人利用打结作Rt

如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。那么这个三角形是直角三角形。

（称勾股定理的逆定理）

勾股定理的来源

毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

毕达哥拉斯

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

常用勾股数(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17)

有关勾股定理书籍

《数学原理》人民教育出版社

《探究勾股定理》同济大学出版社

《优因培教数学》北京大学出版社

《勾股书籍》新世纪出版社

《九章算术一书》

《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社

《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社

毕达哥拉斯树

毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后

毕达哥拉斯树

的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。

直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。

两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。

利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论：

三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。

最早的勾股定理应用

从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图

设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∵a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。

《周髀算经》中勾股定理的公式与证明

《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）

而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2]——

昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”

商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。

《周髀算经》证明步骤

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。

“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。

“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。

“两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方。

注意：

①矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。

②“既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。

③长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实。共长者, 并实之数。

由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。

其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实, 加差实亦成弦实。”

赵爽弦图

注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。

下为赵爽证明——

青朱出入图

三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有a^ 2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。

以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c……2 ）．由此便可证得a^ +b^2=c^2;

伽菲尔德证明勾股定理的故事

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角

形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

如下:

解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的的正方形面积。

勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c 的平方，

a的平方+b的平方=c的平方;

说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。

举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方; = a的平方+b的平方=9+16=25即c=5

则说明斜边为5。

勾股定理的多种证明方法

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Propos ition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。

证法1（梅文鼎证明）

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD,

∴∠EGF = ∠BED，

∵∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴∠BED + ∠GEF = 90°，

∴∠BEG =180°―90°= 90°

又∵AB = BE = EG = GA = c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形.

∴∠ABC + ∠CBE = 90°

∵RtΔABC ≌RtΔEBD,

∴∠ABC = ∠EBD.

∴∠EBD + ∠CBE = 90°

即∠CBD= 90°

又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

BC = BD = a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2 +b^2=c^2

证法2（项明达证明）

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA = 90°，QP∥BC，

∴∠MPC = 90°，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP = 90°，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.

∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

∴∠QBM = ∠ABC，

又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

∴RtΔBMQ ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌RtΔA EF.即a^2+b^2=c^2

证法3（赵浩杰证明）

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90°，

∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ，

同理，RtΔAB G ≌RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ≌RtΔABG ≌RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上，

所以a^2+b^2=c^2

证法4（欧几里得证明）

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点L.

∵AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ΔFAB ≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=.

同理可证，矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积+ 矩形MLEB的面积

∴即a的平方+b的平方=c的平方

证法5(欧几里得的证法)

《几何原本》中的证明

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之B D、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。

∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为AB 和BD 分别等于FB 和BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为A 与K 和L是线性对应的，所以四方形BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK 必须有相同的面积BAGF = AB^ 2。同理可证，四边形CKLE 必须有相同的面积ACIH = AC^2。把这两个结果相加，AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD= KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）

如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：

1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（B C）^2;=CD·AC 。

由公式（2）+（3）得：

（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，

即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。

图1

勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的

三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．

前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。

1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印, 1-5页。

2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系.

刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。

3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月，227-234页。

4. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页。

5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页

习题及答案

将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转,使点A落在BC边上的A',利用阴影部分面积完成勾股定理的证明.角ACB=90度,BC=a,AC=b,A B=c;求证:a平方+b平方=c平方.

答案

在直角三角形ABC绕直角顶点C旋转点A落在BC上点A撇利用阴影部分面积完成勾股定理的证明

已知角ACB=90度BC=a AC=b AB=c

求证a平方+b平方=c平方

证明作三角形A撇B撇C撇≌三角形ABC使点A的对应点A撇在BC上，连接AA撇BB撇延长B撇A撇交AB于点M 因为△A'B'C是由△ABC旋转所得

所以，Rt△ABC≌Rt△A'B'C

所以，∠A'B'C=∠ABC

延长B'A'交AB于点M

则，∠A'B'C+∠B'A'C=90°

而，∠B'A'C=∠MA'B（对顶角）

所以，∠MBA'+MA'B=90°

所以，B'M⊥AB

那么，Rt△ABC∽Rt△A'BM

所以，A'B/AB=A'M/AC

即，(a-b)/c=A'M/b

所以，A'M=(a-b)*b/c