定积分练习题
题型
1.定积分与极限的计算
2.计算下列定积分
3.计算下列广义积分
内容
一．定积分的概念与性质
1.定积分的定义
2.定积分的性质
3.变上限函数及其导数
4.牛顿—莱布尼茨公式
5.换元积分公式与分部积分公式
6.广义积分
题型
题型I 利用定积分定义求极限
题型II比较定积分的大小
题型III利用积分估值定理解题
题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题
题型V定积分的计算
题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算
自测题五
1.根据极限计算定积分
2.根据定积分求导
3.求极限
4.求下列定积分
5.证明题
4月21日定积分练习题
基础题：
一．选择题、填空题 1．将和式的极限)0( (32)
1lim
1
>+++++∞
→p n
n P p
p p
p n 表示成定积分
（ ）
A ．dx x
?
1
1
B ．dx x p
?1
C ．dx x
p
?1
)1
(
D ．dx n
x
p
?1
)(
2．将和式)21 (2)
11
1(
lim n
n n n +
+++
+∞
→表示为定积分 ．
3．下列等于1的积分是
（ ）
A ．dx x ?1
B ．dx x ?+1
)1(
C ．dx ?10
1 D ．dx ?1
2
1
4．dx x |4|1
2?-=
（ ）
A ．
3
21 B ．
3
22 C ．
3
23 D ．3
25
5．曲线]2
3,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积
（ ）
A ．4
B ．2
C ．2
5 D ．3 6．dx e
e x
x
?-+1
)(=
（ ）
A ．e
e 1+
B ．2e
C ．
e
2 D ．e
e 1-
7.若1
x
m e dx =
?
，1
1e
n dx x
=
?
，则m 与n 的大小关系是（ ）
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．无法确定
8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2
21r
m m k
F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，
r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ．
9．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①1
2
1
(1)x dx --?；②1
2
1
(1)x dx --?；③1
2
2(1)x dx -?；④0
21
2(1)x dx --?．
则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④
C ．②③
D ．②④
10.0
(sin cos sin )x
y t t t dt =+?
，则y 的最大值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．72
-
D ．0
11. 若()f x 是一次函数，且1
()5f x dx =?，1
17()6
xf x dx =
?，那么2
1
()f x dx x
?
的值是
．
12．???????=≠?=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在
0=x 处连续，则=c （ ）。
(A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .
13．???????=≠?=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在
0=x 处连续，则=c （ ）。
(A).0=c ;
(B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .
14．设0)(=?b
a dx x f 且)(x f 在],[
b a 连续，则（ ）。
(A).0)(≡x f ;
(B).必存在x 使0)(=x f ；
(C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。
15．设??
??
?
π<≤π=其余0x 3
x
sin )x (f ，则=?
π
2cos )(xdx x f ( )
（A ）
4
3 （B ）4
3- （C ）1 （D ）－1
16．
?
2
2
sin π
dx x dx
d =________
17. 定积分 dx x x ?-π
3
sin sin 等于_______
18. 定积分 dx x x ?
-π
3
cos cos 等于( )
（A ） 0 （B ） 23 （C ）
3
4 （D ） 3
4-
19. 定积分?-20
|cos sin |π
dx x x 等于( )
（A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 20.定积分dx x x ?-2
22
3
}1,,max{等于( )
（A ） 0 （B ） 4 （C ）
3
16 （D ）
12
97
21.设,2
arcsin
)(,)1ln()(2
2
dt t x g dt t x f x
x
??=
+
=
则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( )
(A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小
22. ?-=
x
t
tdt e
x F 0
,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )
(A) )2
(π
F 为极大值,)0(F 为最小值 (B) )2
(π
F 为极大值,但无最小值 (C) )2
(π
F 为极小值,但无极大值 (D) )2
(π
F 为最小值,)0(F 为最大值
综合题：
11
2
2
25
2
2
2(1)(2)ln(1)(3)(4cos )2
x dx
x dx
x
x x x dx x x -+--+--?
??
23
2
222
2
2
22
2
(4)(5)(1ln )ln (32)1(6)tan [sin 2ln(1)](7)24e e
dx
dx
x x x
x x x x x x dx
dx
x
π
π-
-+-++
++
+?
?
?
?
21
2
(8)()[0,2](2)1'(2)0()4''(2)f x f f f x dx x f x dx
===?
?已知函数在上二阶可导，且：，及
，求：
3
2
12
1
31
1
2
2
arctan (9)(10)(11)x x
x dx dx dx
x
e
e
x x
+∞
+∞
+-+-?
?
?
1
210
1
(12)(1)
x dx --? 2
2
1sin (13)lim (
)x x x t dt tdt x
x
→++
??求极限
2
2
2
22
lim (
...)1
2
n n n n
n n n n
→∞
+
++
+++(14)用定积分定义计算极限：
2
3
3
(15)()ln 40:
x t
dy y y x x e
dt y dx
-=-
++=?
设隐函数由方程所确定，求
220
2(1)0(16)(),()00'(0).
x t e dt x f x A f x x x
A x f ?-?≠==?
?
=??设问当为何值时，在点
处可导，并求出
4
20
(17)()cos 2(),():()f x x f x dx f x f x π
=+?
设其中为连续函数，试求
2
410
(18)lim (
)x
x
x a
a x a xe
dx a a x
+∞-→-=
+?
设正整数，且满足关系，试求的值。
4月22日定积分练习题
基础题：
1．积分中值定理?-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ）。 (A) ξ是],[b a 内任一点；
(B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点；
(D). ξ是],[b a 的中点。
2. =-+?-1
121)1(dx x x ( )
（A ）π （B ）
2
π
（C ）π2 （D ）
4
π
3. 设]1,0[C f ∈，且2)(1
=?dx x f ，则=?
20
2
2sin )(cos
π
xdx x f ( )
（A ）2 （B ）3 （C ）4
（D ）1
4. 设)(x f 在],[b a 上连续，且?=b a
dx x f 0)(，则（ ）。 （A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ； （B ）在],[b a 上，0)(≡x f ；
（C ）在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；
（D ）在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。
5. dx x x x ?
+-2
2
32=( )
(A) )22(15
4+ (B) )22(15
4+
-
(C)
528324-
(D)5
283
24+-
6.
?+x
x
dt t dx
d ln 2)1ln(=( )
(A) )21ln(2)ln 1ln(1x x x +-+ (B)
)21ln()ln 1ln(1x x x
+-+
(C) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D))21ln(2)ln 1ln(x x +-+ 7. ?????????>=<-=?x
x dt t x x x x x
x f 0
2
20
cos 101
)cos 1(2
)(,则)(x f 在0=x 点( ) (A) 连续,但不可导 (B) 可导,但导函数不连续 (C) 不连续 (D) 导函数连续
=+?
-1
1
1dx e
e
x
x ( )
(A) 1- (B) e e +-11 (C)
e
e -+11
(D) 1- 填空、选择题
8
7
2200
(1)sin _______,
cos _______,
xdx xdx π
π
==??
022
1
1
00
1
2005
1sin (2)lim
______;
ln(1)
(3)2_______;
(4)(1)_______;
(5)1cos 2_______;
(6)()()sin ()()______;
(7)(1)()______;
(8x x x
x x
t tdt
x x x dx y t t dt x dx f x f x x f x dx f x x x
e e
dx π
π→----=+-==-+==+=+-=??
?
?
?
?曲线的上凸区间是设是连续函数，且，则：1
11)lim
ln(1)_______;
x
x dt x
t
→+∞
-
=?
2
2
(9)(1)_______;
1(10)()[,]()()()
(,)___()0
()1()2()3
x t
x x a
b
y t e dt f x a b F x f t dt dt f t a b A B C D =
-=+
?
?
?
设函数的极大值点为设正值函数在上连续，则函数在上至少有个根
2
4
1(11)(),()______;
4
()16()8()4
()2
x
x
f t dt f x dx x
A B C D =
=??则：22
1
2
1
1(12)_______311()()()()2
2
2
1
(13)________
1()0
()
()
()2
4
dx x
A B C D dx x x A B C D π
π
-∞
=--
=--?
?
不存在
发散
4月23日定积分练习题
一．计算下列定积分的值
（1）?--3
1
2
)4(dx x x ；（2）?-2
1
5
)1(dx x ； （3）dx x x ?+20
)sin (π
；（4）dx x ?-22
2
cos
π
π；
（5）π
2
20
cos
2d θ
θ? （6）?+1
0)32(dx x ； （7）?+-1
022
11dx x
x
； （8）?2
ln e
e x x dx
； （9）?--1
02
dx e
e x x ； （10）?3
2
t a n π
x d x
（11）?+
9
4
;)1(dx x
x （12）?
+
4
;1x
dx
（13）?e
e dx x x
1
2
)(ln 1
（14）?2
5
;2s i n c o s πx d x x （15）?2
0;s i n π
x d x e x
（16）?+-1
02/32;)1(x x dx
（17）?+2
02;s i n 1c o s π
dx x
x
（18）?
-+1
;x
x
e
e d x
二．求下列极限：
（1）?→x
x dt t x
2
0;cos 1
lim
（2）.)
(0
22
2
2
l i m
dt
e
dt e x
t
x
t
x ?
?∞
→
三．利用定积分求极限
（1）;)(1)2(1)1(12
22lim
??
?
???++++++∞
→n n n n n n
（2）);
21)
2(11
1(
2
2
2
lim
n
n n n n +
+++
+∞
→
四．证明题
1'()(,)(()'())()()
x a
d
f x x t f t d t f x f a dx
-∞+∞-=-?
（）设在上连续，证明：
。
33
220
sin cos 2:,sin cos sin cos x x dx dx x x
x x
π
π
=
++?
?
（）证明并求出积分值。
12120
(3)()[0,]()0,()cos 0(0,),,()()0()(),(0,),x f x f x dx f x xdx f f F x f t dt x Rolle π
π
ππξξξξπ=====
∈?
?
?
设函数在上连续，且试证明在内至少
存在两个不同的点使（作辅助函数再使用积分中值定理和定理）
1
20
4()[0,1](1)2(),01()
'()(f x f xf x dx f f Rolle ξξξξ
=∈=-
?（）设在上可导，且满足证明：必存在点（，），
使得利用积分中值定理和定理证明）
4月24日定积分练习题
一、填空题：
1. 如果在区间[,]a b 上, ()1f x ≡,则()b
a f x dx =? .
2.
10
(23)x dx +=?
.
3. 设2
0()sin x f x t dt =?,则()f x '= .
4. 设2
1
cos ()t
x
f x e
dt -=?
,则()f x '= .
5.
25
cos sin x xdx π=?
6.
21
22
sin n xdx π
π
--
=? .
7.
3
1
1dx x
+∞=?
.
8. 比较大小,
32
1
x dx ?
33
1
x d x ?
.
9. 由曲线sin y x =与x 轴,在区间[0,]π上所围成的曲边梯形的面积为 . 10. 曲线2
y x =在区间[0,1]上的弧长为 . 二、选择题：
1. 设函数 f(x)仅在区间[0，4]上可积，则必有?3
0)(dx x f =[ ]
A ．+
?2
)(dx x f ?3
2)(dx x f B ．+
?
-1
)(dx x f ?
-3
1
)(dx x f
C ．+
?5
)(dx x f ?
3
5
)(dx x f D ．+
?
10
)(dx x f ?
3
10
)(dx x f
2.设I 1=?1
xdx ，I 2=?21
2dx x ，则[ ]
A ． I 1≥I 2
B ．I 1>I 2
C ．I 1≤I 2
D ．I 1
(1)(2)0x dy y t t dt x dx
=
--==
?
则
A ．2
B ．-2
C ．0
D ．1 4.
[]0
(23)2,a
x x dx a -==?
则
A ．2
B ．-1
C ．0
D ．1
5. 设f （x ）=???≤>)
0()
0(2x x x x 则?-11
)(dx x f =[ ]
A ．2?-01
xdx B ．2?1
2
dx x
C ．?1
2
dx x +?-01xdx D ．+
?1
xdx ?
-0
1
2
dx x
6. []2
2
sin lim
x x t dt x
→=?
A ．
2
1 B ．
3
1 C ．0 D ．1
7. ?-=
x
t
tdt e
x F 0
,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )
(E) )2
(π
F 为极大值,)0(F 为最小值 (F) )2
(π
F 为极大值,但无最小值 (G) )2
(π
F 为极小值,但无极大值 (H) )2
(
π
F 为最小值,)0(F 为最大值
8. 设方程组??
?
?
?==?
?
t x
tdt
y tdt x 0
0cos sin 确定了y 是x 的函数，则
=dx
dy （ ）
(A)t cot (B)t tan (C)t sin (D)t cos
9. 设)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，且3)(2
1
2
-=?-x dt t f x ，则=)2(f （ ）
(A) 2 (B) -2 (C) 4
1 (D)4
1-
10. 定积分 dx x
x ?
++1
2
1)1ln( =（ ）
（A ） 1 （B ）
2
π
（C ） 2ln （D ）
2ln 8
π
11. 定积分 dx e
x
x
?--+44
2
1tan
π
π
=（ ）
（A ）
2
1 （B ） 2
4
1π
+
（C ） 2
1π
+ （D ） 4
1π
-
12.下述结论错误的是 （ ） (A ) dx x x ?+∞
+0
2
1 发散 ( B ) dx x ?+∞
+02
11收敛 (C ) 012
=?+∞
+∞
-dx x
x ( D ) dx x
x ?+∞
+∞
-21发散
13. 设函数 ],[b a R f ∈， 则极限 ?
+∞
→π
|sin |)(lim
dx nx x f n 等于（ ）
（A ） ?π
)(2dx x f （B ）
?
π
π
)(2
dx x f
（C ）
?
π
π
)(1
dx x f （D ） 不存在
14. 设)(x f 为连续函数，且满足12
)(2
-+-
=--?x
x
e
x
dt x t f ，则=)(x f （ ）。
（A ）x
e
x ---
（B ）x
e x +
（C ）x e x -+-
（D ）x e x -
15. 设正定函数),[b a C f ∈，?
?
+
=
x b
x a
dt x f dt t f x F )
(1)()(，则0)(=x F 在
),(b a 内根的个数为 ( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2
（D ）3
16.定积分的定义为∑
?=→?=n
i i i b
a
x f dx x f 1
)(lim
)(ξλ，以下哪些任意性是错误的？( )
(A) 随然要求当0max →?=i i
x λ时，i i
i x f ?∑)(ξ的极限存在且有限，但极限值仍是
任意的。
(B) 积分区间],[b a 所分成的分数n 是任意的。
(C) 对给定的份数n ，如何将],[b a 分成n 份的分法也是任意的，即除区间端点
n x b x a ==,0外，各个分点121-<< (D) 对指定的一组分点，各个],[1i i i x x -∈ξ的取法也是任意的。 17. ?+x x dt t dx d ln 2)1ln(=( ) (D) )21ln(2)ln 1ln(1x x x +-+ (E) )21ln()ln 1ln(1x x x +-+ (F) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D))21ln(2)ln 1ln(x x +-+ 18. ()1(212=+?dt t t dx d x ） (A ) x x +12 (B ) 212 - +x x (C ) 2 4 1x x + ( D ) 2 5 12x x + 三．计算题： 1. 2 2 1x d t dt dx +? 2. 20 sin x dx π? 3. 12 4dx x -? 4. 2 2 2 20 () lim x t x x t e dt te dt →?? 5. 2 2 1(0)a dx a x a >+? 6. 41 dx x x + ? 7. 2 12 t te dt -? 8. 10 x e dx ? 定积分测试题及答案 班级： 姓名： 分数： 一、选择题：（每小题5分） 1.0=?（ ） A.0 B.1 C.π D 4π 2(2010·山东日照模考)a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 8．函数F (x )＝??0 x t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝??1 x 1t d t ，若f (x ) 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则： 题目1证明题 容易 d x 证明丄 f (X _t) f Tt)dt = f(X)_ f (a)。 dx 'a 题目2证明题 容易 题目3证明题 一般 b 设函数 f(x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0,［ f(x)dx = 0 证明：在［a,b ］内至少存在一点E 使f(E )=0。 题目4证明题 一般 设f(X)= f(X +a). na 证明：当n 为正整数时 L f(x)dx= nj0f(x)dx 。 利用积分中值定理证明 :lim f 4 sin n xdx = 0。 」0 1 1 证明：x m (1-x)n dx = Lx n (1 —x)m dx 。 题目6证明题 一般 设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y, x — y |.则f (x)在［a,b ］上可积，且 1 2 题目7证明题 一般 设f(X)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f (b) =0. 证明：4a|f(x)|dx (a,b)内至少存在一点匕，设f (x)在［a,b］上正值，连续，则在 ￡ b 1 b 使J a f (x)dx = J E f (x)dx = —J a f (x)dx。 ■* 2 题目9证明题一般 丑丑 证明：0＜FsinXxdxc『sin n xdx。 题目10证明题一般 1/ dx 兀 求证:一＜〔＜-。 20 2,3 6 2V4 —X +x 6 题目11证明题一般 设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。 题目12证明题一般 若函数f(x)在［0,1］上连续， a 3 2 1 a2 (a A O)。 证明:J0x f(x )dx=5 J o xf (x)dx 题目13证明题一般 设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续， b 2 b 2 b 2 证明:［f f(x)g(x)dx］< f f (x)dx 订g (x)dx。 a a a 题目14证明题一般 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :40 0=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴< 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成 正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 定积分的证明题https://www.360docs.net/doc/8210685457.html,work Information Technology Company.2020YEAR 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴< 第五章 定积分 (A 层次 ) 1． 2 sin x cos 3 xdx ； 2 ． x 2 a 2 x 2 dx ； 3 ． 3 dx ； a 1 x 2 1 x 2 1 4． 1 xdx ； 4 5． 5 4x 1 dx ； 1 dx ； x 1 6． 3 1 x 1 4 e 2 7． 1 dx ； dx ； 9 ． 1 cos2xdx ； 8 ． x 2 2x 2 x 1 ln x 2 10． x 4 sin xdx ； 11 ． 2 4 cos 4 xdx ； 12 ． 3 sin 2 x dx ； 5 x 2 5 x 4 2x 2 1 13． 3 x dx ； 14 ． 4 ln x dx ； 15 ． 1 xarctgxdx ； 2 1 4 sin x x 16． 2 e 2x cosxdx ； 17 x sin x 2 dx ； 18 e ． 0 ． 1 sin ln x dx ； 0 19． 2 cos x cos 3 xdx ； 20 ． 4 sin x dx ； 21 ． x sin x dx ； 4 0 1 sin x 0 1 cos 2 x 1 1 x 1 x 2 2 x ln dx ； 23 ． 24 ． 2 ln sin xdx ； 22． 0 1 x 1 x 4 dx ； 0 25． dx dx 0 。 1 x 2 1 x (B 层次 ) y t x 所决定的隐函数 对 的导数 dy 。 1．求由 cos 0 y x e dt tdt dx 2．当 x 为何值时，函数 I x x te t 2 dt 有极值？ 3． d cos x 2 dt 。 cos t dx sin x 4．设 f x x 1, x 1 2 ，求 f x dx 。 1 2 , x 1 0 2 x x arctgt 2 5． lim 0 dt 。 x 2 x 1 定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2(－2≤x <0)，2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) A.5 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.353 D.323 答案： 详解： 注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为??－3 1 (3－x 2－2x )d x ＝? ????3x －13x 3－x 2??? 1 －3 ＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3× －3 －13× －3 3 ]－ －3 2 ＝323，选D. 题二 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点． 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 第六章 定积分练习题及答案 一、填空题 (1) 根据定积分的几何意义，?-=+2 1)32(dx x 12 =-?dx x 2 024π ,=?π0 cos xdx ____0____ (2）设?-=1110)(2dx x f ，则?-=1 1)(dx x f _____5____， ?-=1 1)(dx x f ____-5___，?-=+1 1]1)(2[51dx x f 512 . (3) =?102sin dx x dx d 0 (4) =?2 2sin x dt t dx d 4sin 2x x 二、选择题 （1） 定积分?12 21ln xdx x 值的符号为 （B ） .A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定 三、计算题 1.估计积分的值：dx x x ?-+3 121 解：设1)(2+=x x x f ，先求)(x f 在]3,1[-上的最大、最小值， ,) 1()1)(1()1(21)(222222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ，由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知,2 1)(21≤≤- x f 由定积分性质得 221)()21(2313131=≤≤-=-???---dx dx x f dx 2.已知函数)(x f 连续，且?- =10)()(dx x f x x f ，求函数)(x f . 解：设 a dx x f =?10)(，则a x x f -=)(，于是 a adx xdx dx a x dx x f a -=-=-==????2 1)()(1 0101010， 得41=a ，所以4 1)(+=x x f . 3. dx x x x ?++1 31 222) 1(21 解：原式=dx x x dx x x x x )111()1(1213 121312222++=+++?? 3112+-= π 4. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 5. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 6. ?-1 02dx xe x 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 题目2证明题 容易 。利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 题目3证明题 一般 。使内至少存在一点证明：在，内可导，且在设函数0) (f ],[0)(0)(],[)(='==?ξξb a dx x f a f b a x f b a 题目4证明题 一般 。为正整数时证明：当， 设??=+=a na dx x f n dx x f n a x f x f 0 0 )()( )()( 题目5证明题 一般 。证明： )1()1(1 0 1 0 ??-=-dx x x dx x x m n n m 题目6证明题 一般 。且 上可积在则有上任意两点且对上有定义在设2)(21)()()(,],[)( .)()(, ,],[,],[)(a b a f a b dx x f b a x f y x y f x f y x b a b a x f b a -≤---≤-? 题目7证明题 一般 。其中证明且内可导在上的连续在设 )(sup ,)()(4 :. 0)()(,),(,],[)( 2x f M a b M dx x f b f a f b a b a x f b x a b a '=-≤==< 题目8证明题 一般 。使， 内至少存在一点上正值，连续，则在在设???==b b dx x f dx x f dx x f b a b a x f a a )(21)()( ),( ],[ )(ξξξ 题目9证明题 一般 。证明： sin sin 0 202 01??<<+ππ xdx xdx n n 题目10证明题 一般 。求证：?<+-<1032 6421πx x dx 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 题目1证明题 容易 d X 证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a 解答_ X a (x-t)f (t)dt X = [(X —t)df(t) X X =(X 一 t)f(t) a + [ f(t)dt X = (^-X) f (a) + [ f (t)dt d X ^X a (X -t)f(t)dt --f(a) f(x) f (x) - f (a)。 题目2证明题 容易 由积分中值定理，在[0,…]上存在点',使 4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n ( 0) G 三[0,] n 》：：0 n 匚 4 4 Iim Sin n 4 J 0 Q 0 . sin ：： 1 .Iim Sin n =0 n _O π .Iim 4 Sin n XdX= 0。 —0 0 题目3证明题 一般 b 设函数 f (x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a 证明：在［a,b ］内至少存在一点?使f 「)=0。 解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点'1，使 b ［ f (x)dx = f (： 1)(b -a) = 0 f ( 1 ) =0 在区间［a ， 1］上,应用罗尔定理，可知存 在一点 二(a ， ' 1) (a,b)使f ( J=0b 题目4证明题 一般 设 f (x) = f (x +a)， na a 证明：当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx 解答 利用积分中值定理证明 解答 π :Ijm 4 Sin n XdX 二 0 n 0 0 1 D ， 3 9 ， 5 9 ， 3 7 ， 5 7 4 定积分测试题及答案 班级：姓名：分数： 一、选择题：（每小题5 分） 1. ? 1-x2dx =（） A.0 B.1 C. 2 2(2010·ft东日照模考)a＝∫0的大小关系是( ) 2 x d x，b＝∫0 2 e x d x，c＝∫0sin x d x，则a、b、c A．a 1 6 6．(2010·湖南省考试院调研) -1 (sin x ＋1)d x 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2＋2cos1 D ．2－2cos1 7. 曲线 y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π 2 D ．π x 8．函数 F (x )＝ ∫0 t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值 0，无最小值 B ．有最大值 0 和最小值－32 3 32 C ．有最小值－ ，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 3 x 9．已知等差数列{a }的前 n 项和 S ＝2n 2＋n ，函数 f (x )＝ 1 ，若 n n f (x )定积分测试题及答案
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