1.2.3 绝对值

要点感知1正数的绝对值是____；负数的绝对值是_______；0的绝对值是______.互为相反数的两个数的绝对值_____.

预习练习1-1(2013·临沂)-2的绝对值是( )

A.2

B.-2

C.12

D.-12

要点感知2 一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点与原点的_____.一般地，数a的绝对值记做|a|.当a是正数时，|a|=____；当a=0时，|a|=_____；当a是负数时，|a|=____，即|a|是一个_______.

预习练习2-1 数轴上一个点到原点的距离为2.3，则这个点表示的数的绝对值是_______.

2-2 求下列各数的绝对值：-3

，6，-3，0，

知识点1 绝对值的意义

1.在数轴上表示-2的点到原点的距离等于( )

A.2

B.-2

C.±2

D.4

2.如图，点A，B，C，D所表示的数中，绝对值相等的两个点是( )

A.点A和点C

B.点B和点C

C.点A和点D

D.点B和点D

3.(2013·娄底)|-2 013|的值是( )

2013

B.-

2013

C.2 013

D.-2 013

知识点2 绝对值的计算

4.(2013·盘锦)-|-2|的值为( )

A.-2

B.2

C.1

D.-

5.下列各式中，错误的是( )

A.|-11|=11

B.-|11|=-|-11|

C.|-11|=|11|

D.-|-11|=11

6.计算：|-3.7|=_____，-(-3.7)=______，-|-3.7|=______，-|+3.7|=______.

7.计算:

(1)|-21|+|-6|；(2)|-2 014|-|+2 013|；（3）|+22

|×|-9|; (4)|-

|÷|-1

知识点3 绝对值的性质8.若|a|=8，则a的值是( )

A.-8

B.8

C.±8

D.±1 8

9.在有理数中，绝对值等于它本身的数有( )

A.一个

B.两个

C.三个

D.无数个

10.下面关于绝对值的说法正确的是( )

残差自相关的修正

应用回归分析·上机作业二学号：200930980106 姓名：何斌年级专业： 10级统计1班指导老师：丁仕虹思考与练习 4.9 1.用普通最小二乘法建立回归方程，并画出残差散点图。 1.1首先录入数据，sas程序如下： proc import out=aa /*使用import过程导入数据，并输出到数据集aa*/ datafile="d:\xt4.09.xls" dbms=excel2000 replace; getnames=yes; /*首行为变量名*/ run; proc print data=aa noobs; run; 1.2建立回归方程，画残差散点图，sas程序如下： proc reg data=aa; model y=x; output out=out r=residual;/*把回归的结果输出在文件out里，残差给变量名residual */ run; proc gplot data=out; plot residual*x;/*做残差图，检验是否存在异方差*/ symbol v=star i=none; run; 1.3得到结果如下：图1.3.1方差分析以及参数估计

1.4结果分析： 1.4.1由方差分析可知：p 值小于0.05，所以该回归方程显著有效。 1.4.2 R-Square=0.7046，Adj R-Sq=0.6988，可见回归方程的拟合度较高。 1.4.3由参数估计可得，常数项的检验P 值为0.0655大于0.05，故常数项不显著。 1.5除去常数项，重新拟合方程。 1.5.1 sas 程序如下： proc reg data=aa; model y=x/noint; run; 1.5.2得到结果如下：图1.5.1方差分析以及参数估计 1.5.3结果分析：（1）由方差分析可知：P 值小于0.05，所以该回归方程显著有效，且F 值较有常数项时明显变大，故拟合方程较有常数项时更好。（2） R-Square=0.8704，Adj R-Sq=0.8679，可见回归方程的拟合度有较大幅度提高。（3）由参数估计可得，所有参数的检验P 值均小于0.05，参数显著有效。（4）拟合的回归方程为：x y 0.00314 =∧ （1.5.3.4） 1.6得到残差散点图如下：

第二讲-绝对值

第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题。一．基础知识回顾： 1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。 2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值还是0。 3．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。 4绝对值的求法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“ ”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 ? ?????<-≥=)0()0(a a a a a 。 5．数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b - 6．零点：使某个绝对值等于0的x 的值叫做式子（方程、不等式）的零点。 7、绝对值的基本性质：⑴非负性：0a ≥；⑵a a =- ⑶ab a b = （4）b b a a =（0a ≠）（5）222n n n a a a ==（n 为正整数）； 8、与绝对值有关的最值问题：（1）x 的最小值为_____（其中x 为任意实数）；（2）代数式x a x b -+-，当a x b ≤≤时取得最小值为a b -（其中a b <）；（3）代数式x a x b x c -+-+-，当x b =时取得最小值为a c -（其中a b c <<）；思考：若1a <2a <3a <…

绝对值分类题七年级

四、绝对值（一）基本计算、非负性运用 1、若|a|=4，|b|=3；且|a+b|=a+b 。求a-b 的值。 2、已知05-y 4-x =+，求xy 的值。 3、8-y 5-x -=，求 y x 的值。 4、∣x-2∣和∣y+3∣互为相反数，求4x+2y 的值。 5、已知()22018b 2017-a +和互为相反数，求a-b 的值。 6、一个数的绝对值等于他的相反数，这个数一定是（） A 、负数 B 、正数 C 、0或负数 D 、0或正数 7、已知：|x|=5，|y|=1，求y x y -x ++的值。 8、数a 的数值上的位置如图所示，且|a+1|=2，求|3a+7|的值。如果没有数轴，请你补充一个a 值的限定，使结果和上述结果相同。

（二）绝对值化简 1、=-----739297535274 2、-a a =，则化简2-a -1-a 所得的结果是（） A 、-1 B 、1 C 、2a-3 D 、3-2a 3、a ＜0时，化简a 3a a +的结果是（） A 、3 2 B 、0 C 、-1 D 、-2a 4、若ab ＞0，则ab ab ++b b a a 的值等于（）。 5、若a -22-a =，求a 的取值范围；若2-a 2-a =，求a 的取值范围。 6、计算： 20191-2020131-4121-311-21+???? 7、已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对用点分别是A ，B ，C ，其位置如图所示：化简：b a 4c -a 3c b 2a +--++= 8、设abc 为非零的有理数，且0a a =+；ab ab =；0c c =-。化简：c -a b -c -b a b ++- 9、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且∣a ∣=∣b ∣

第三讲绝对值(解析版)

第三讲绝对值【课程解读】 ————小学初中课程解读———— 初中课程【知识衔接】 ————小学知识回顾———— 一、整数：整数包括正整数、负整数和0. 二、分数： 1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。学-科网把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2.分数的分类按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数三、百分数 1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 2、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

四、小数 1.小数是分数的一种特殊形式，但不能说小数就是分数. 2.小数的分类小数包括有限小数和无限小数，无限小数有包括无限循环小数和无限不循环小数. 注：分数又可分为正分数和负分数，小数也可分为正小数和负小数. ————初中知识链接———— （1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。注：这里可以是正数，也可以是负数和0. （2）绝对值的性质： 1.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 2.代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。当是正数时，a =a ；当是负数时，a =-a ；当是0时，a =0. 3.互为相反数的两个数的绝对值相等. （3）有理数的比较大小。 1.在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 2. 正数大于0，也大于负数，0大于负数。 3. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。【经典题型】小学经典题型 1．一个两位数,个位上和十位上的数字相同,这样的数有( )。 A ．8个 B ．7个 C ．9个【答案】C 【解析】由已知，11,22,33,44,55,66,77,88,99，故答案为C a a a a a a a a

绝对值分三种情况讨论

分三种情况讨论在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论：解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论．知识迁移：（1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|；知识应用：（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9．提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值有﹣3，﹣2，﹣1，0． 1.（1）若|x+5|=2，则x=﹣3或﹣7；（2）代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为4，当取此最小值时，x的取值范围是﹣3≤x≤1；（3）解方程：|2x+4|﹣|x﹣3|=9．（1）解方程：|2x+3|=8．（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1． 3.解方程：|x+1|+|x﹣3|=4． 4.解方程:|x﹣2|+|x﹣1|=3， 5.解绝对值方程：|x﹣1|﹣|x﹣2|=x﹣3． 6.方程|x+1|﹣2|x﹣2|=1的解为x=或x=4． 7.|2x+1|=|x﹣3| 8.解绝对值方程：|x﹣4|+|x﹣3|=2． 8.解方程：|x|+|2x﹣1|=5．（1）根据上面的解题过程，方程2|x﹣1|﹣x=4的解是x=6或x=﹣．（2）根据上面的解题过程，求解方程：2|x﹣1|﹣|x|=4．（3）方程|x|﹣2|x﹣1|=4无解．（直接在_____上填“有”或“无”）

绝对值的意义及应用

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。

思维特训(四) 绝对值与分类讨论

思维特训(四) 绝对值与分类讨论方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：||a ＝???a （a >0）， 0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；①讨论；①归纳．典题精练 · 类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|. (1)|AB|＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题

(完整版)关于绝对值的几种题型与解题技巧

关于绝对值的几种题型及解题技巧所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a π和0φa 。如：5=a ，则5=a 和5-=a 。合并写成：5±=a 。于是我们得到这样一个性质： a 很多同学无法理解，为什么0πa 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。因为此时0πa ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如2)2(=--。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。例如：0πb a -，则)(b a b a --=-。绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） a 0φa 0 0=a a - 0πa

（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a ＜0) （3）若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||| |b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2 ；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| 一：比较大小典型题型：【1】已知a 、b 为有理数，且0πa ，0πb ，b a φ，则（） A ：a b b a --πππ； B ：a b a b --πππ； C ：a b b a πππ--； D ：a a b b πππ-- 这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。

第二讲：数轴上的数(绝对值、数的大小比较)

课题第二讲：数轴上的数（绝对值、数的大小比较）教学目标 1、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值 2 、能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列。 3、能正确运用符号“＜”“＞”“∵”“∴”写出表示推理过程中简单的因果关系。重点、难点重点：1、绝对值的概念和求一个数的绝对值 2、运用法则借助数轴比较两个有理数的大小。难点：1、绝对值的几何意义及求绝对值等于某一个正数的有理数。 2、利用绝对值概念比较两个负分数的大小。考点及考试要求教学内容知识框架一激情引趣，导入新课 1、两位同学在书店O 处购买书籍后坐出租车回家，甲车向东行驶了10公里到达A 处，乙车向西行驶了10公里到达B 处。若规定向东为正，则Ａ处记做__________，Ｂ处记做__________。（请学生口答）以Ｏ为原点，取适当的单位长度画数轴，并标出Ａ、Ｂ的位置。（请学生作图）２、这两辆出租车在行驶的过程中，有没有共同的地方？在数轴上的Ａ、Ｂ两点又有什么特征？（学生观察思考交流后答）。３、在数轴上找到－５和５的点，它们到原点的距离分别是多少？表示－ 34 和34 的点呢？我们发现，一对相反数虽然分别在原点两边，但它们到原点的距离是相等的。一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。比如：数轴上表示－5的点到原点的距离是5，所以－5的绝对值是5，记|－5|=5；5的绝对值是5，记做|5|=5。一个数a 的绝对值表示为a 。注意：①与原点的关系 ②是个距离的概念求绝对值的法则：1、一个正数的绝对值是它本身 2、一个负数的绝对值是它的相反数 3、0的绝对值是0 4、互为相反的两个数的绝对值相等上述三条用字母可表述成：(1)如果a>0,那么a a = (2)如果a<0,那么a =-a (3)如果a=0,那么a =0。即0≥a （非负数）任意一个数的绝对值只可能等于正数或0 4、以下是某天我国5个城市的最低气温：哈尔滨：-20 ℃ 北京：-10℃ 武汉：5℃ 上海：0℃ 广州：10℃ 比较这一天下列两个城市间气温的高低：

绝对值应用(分类讨论)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离为______，因此x=______．问题3：有关绝对值的分类讨论： ①__________，分类； ②根据__________，筛选排除．绝对值应用（分类讨论）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分) 1.若，则的值为( ) A.4 B. C.-4 D.0 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：去绝对值 2.若，则的值为( ) A.1 B.±1 C.±7 D.1或7 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：去绝对值 3.若，则( ) A.4 B.8 C.4或8 D.4或-8 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：去绝对值 4.若，，则( ) A.8 B.±8 C.8或-2 D.±2 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：去绝对值 5.若，，则( ) A.-3 B.-3或7 C.3或-7 D.±3或±7 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：去绝对值 6.已知，，且，则a+b的值为( ) A.±3 B.±13 C.3或-13 D.-3或13 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：去绝对值 7.若，，且，则x与y的值分别为( ) A.或 B.或或 C.或或 D.或或或答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：去绝对值 8.已知，，且，则的值为( ) A.±3 B.-3或-7 C.-3或7 D.或答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：去绝对值 9.若，则的取值共有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案：C 解题思路：

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例1】求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜，由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜，由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。一般说来，设f(x)=｜x-a?｜+｜x-a?｜+｜x-a?｜+???+｜x-a n｜，其中a?≤a?≤…≤a n，那么：当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+(a n/2+1-a n/2) =(a n+a n-1+??? a n/2+1)-(a1+a2+???+a n/2) 当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】 =【a n+a n-1+??? a(n+1）/2+1】-【a1+a2+???+ a(n+1）/2-1】

2绝对值

第二讲绝对值【数学小故事】：动物中的数学“天才” 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成，组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料，蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极少。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字开。“人”字形的角度是110度，更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契？” 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学业家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。一、回顾与预习（一）知识回顾 1、具有、、的叫做数轴。 2、3到原点的距离是，-5到原点的距离是，到原点的距离是6的数有，到原点距离是1的数有。 3、2的相反数是，-3的相反数是，a的相反数是， -a b的相反数是。（二）探究新知问题1、两位同学在书店O处购买书籍后坐出租车回家，甲车向东行驶了10公里到达A处，乙车向西行驶了10公里到达B处。若规定向东为正，则A处记做，Ｂ处记做。、的位置；（1）请同学们画出数轴，并在数轴上标出A B 、两点又有什（2）这两辆出租车在行驶的过程中，有没有共同的地方？在数轴上的A B 么特征？

七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)

思维特训(四) 绝对值与分类讨论方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：||a ＝?????a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练 · 类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |. (1)|AB |＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为

AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c ＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋－b b ＋－c c ＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

关于索洛残差法计算全要素生产率的再思考

关于索洛残差法计算全要素生产率的再思考摘要：本文认为索洛提出的残差法在计算全要素生产率在理论上虽然具有可行性，但是在具体操作中存在科学性的问题。笔者对中国1952-2004部分省市的面板数据，利用索洛残差法计算了全要素生产率，对结果进行了分析和平稳性检验并论证了该方法计算的结果不具可信度，并对其可能的原因进行了分析。关键词：全要素生产率（TFP）索洛残差经济增长一、对索洛残差法和中国全要素生产率的思考易纲、樊纲、李岩指出，索洛的主要的理论缺陷来源于以资本存量代替资本服务。这样难以对资本进行准确的估算，另外在实际中资本往往有一部分处于闲置状态，而新旧资本的使用效率也不一样，因此会高估全要素生产率。笔者却认为不仅如此，运用索洛残差法估算全要素生率的可行性值得商榷，因为该方法实质是求残差，而具体使用时又往往是通过计量的方法获得资本和劳动的产出弹性，这里面本身已经存在一个计量的随机误差项，如此计算出来的全要素生产率缺乏准确性，如果回归样本数过小，其计算数值根本不具有代表性。克鲁格曼认为，如果用全要素生产率来衡量技术进步的话，亚洲各国的技术进步几乎为零。而近年来的实证研究也越来越多倾向于中国的全要素生产率过低，我国的经济几乎完全依赖资本的投入。笔者当然同意这种现状的存在的确可以部分解释计量全要素生产率结果过低。本文将采用索洛残差的一般方法，根据面板数据，来试图构建一个关于经济增长的大样本回归，以此测算我国及各省各区域的全要素生产率，通过分析实证结果证明索洛方法的应用性值得商榷。二、模型和测算笔者采用索洛模型在数据上，笔者采集了1952-2004年的GDP，L，K。由于我们更多地关注1978年之后的生产函数形式，从1952起至1978，每隔3年取一次数据，在回归时将他们与1978年之后的数据视为连续数据，这样就相当于加大了1978年之后

第二讲-绝对值------王三祝

第二讲绝对值王三祝绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对． (3)对． (4)不对．当a≥0时成立． (5)不对．当b＞0时成立． (6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) =｜3+｜3+x｜｜ =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0) =｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0． (1)当a，b，c均大于零时，原式=3； (2)当a，b，c均小于零时，原式=-3； (3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； (4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

初一数学绝对值难题解析

初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；

和绝对值有关的问题

和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数当为0 当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程20152015x x -=- 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2015看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

第3讲绝对值

绝对值姓名学校日期【知识要点】一、绝对值的概念 1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。 2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。 3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。 4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。 5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。 6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。二、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“ ”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有（1）(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-??-≤? 【典型例题】例1 求下列各数的绝对值。（1）34= ；（2）13-= ；（3）144-= ；（4）132= ；例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是。（2）一个数的绝对值是0，则这个数是。（3）有没有一个数的绝对值是-4？。思考：a 与0的大小关系例3 （1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。

例5 如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少? 例6 数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：（1）比较a 和b 的大小；（2）比较a 和b 的大小；（3）判断b a a b b a b a ?--+,,,的符号；（4）试化简a b b a -+-- 经典练习一、填空题 1．31-的绝对值是，31的绝对值是，的绝对值是31 ． 2.一个正数的绝对值为8，这个数是，一个负数的绝对值为8，这个数是． 3. 的绝对值是它本身，的绝对值是它的相反数． 4.若0>a ，则=a ；若0