湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题2

习 题 二

1.确定下列二元关系：

（1）{}{}{}B A B A y x y x R B A ??∈=== ,,,5,3,1,3,2,1 （2）{}{}

A A x y x R A y ??===2,,8,6,5,4,3,2,1,0 分析：本题主要运用知识为集合的交、关系以及笛卡尔积的定义。

解：(1) R =<><><><>{,,,,,,,}11133133

(2) R =<><><><>{,,,,,,,}10214283

2. 请分别给出满足下列要求的二元关系的例子：

（1）既是自反的，又是反自反的；

（2）既不是自反的，又不是反自反的；

（3）既是对称的，又是反对称的；

（4）既不是对称的，又不是反对称的.

分析 本题主要考察关系的5个性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性）。 解：设R 是定义在集合A 上的二元关系。

(1) 令A =?，则R =?，于是R 既是自反又是反自反的；

(2) 令A R ==<>{,},{,}1211，于是R 既不是自反又不是反自反的；

(3) 令A R ==<><>{,},{,,,}121122，于是R 既是对称又是反对称的；

(4) 令A R ==<><><>{,,},{,,,,,}123122113，于是R 既不是对称又不是反对

称的。

3. 设集合A 有n 个元素，试问：

（1）共有多少种定义在A 上的不同的二元关系？

（2）共有多少种定义在A 上的不同的自反关系？

（3）共有多少种定义在A 上的不同的反自反关系？

（4）共有多少种定义在A 上的不同的对称关系？

（5）共有多少种定义在A 上的不同的反对称关系？

分析：本题主要考察知识为二元关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性所对应的关系矩阵之性质，本题可以在做完第四题（根据满足某个性质的关系之关系矩阵）之后再来考虑。 解：设A n =，于是

(1) 共有22n 种定义在A 上的不同的二元关系；

(2) 共有22n n -种定义在A 上的不同的自反关系；

(3) 共有22n n

-种定义在A 上的不同的反自反关系； (4) 共有22

21212n n n n n ?=-+()/()/ 种定义在A 上的不同的对称关系； (5) 共有02223m

n k m k n m m

k C -=?=?∑种定义在A 上的不同的反对称关系，其中，m n n =-()12。 4. 请分别描述自反关系，反自反关系，对称关系和反对称关系的关系矩阵以及关系图的特征. 分析： 本题主要是根据自反关系、反对称关系、对称关系和反对称关系之定义来确定关系矩

阵以及关系图。

解：(1) 自反关系矩阵的主对角线上元素全为1；而关系图中每个结点上都有圈。

(2) 反自反关系矩阵的主对角线上元素全为0; 而关系图中每个结点上均无圈。

(3) 对称关系矩阵为对称矩阵; 而关系图中任何两个结点之间的有向弧是成对出现的,

方向相反。

(4) 反对称关系矩阵M r R ij n n =?()的元素满足：当i j ≠时，r r ij ji ?=0。

5．设{}{}{}

2,,4,2,3,2,4,1,4,2,2,1,1,1,4,3,2,1===S R A ，试求,,,2R R S S R ??及2S .

分析 主要考察关系的复合运算之定义。

解：R S S R ?=<><>?=<>{,,,},{,}141334

R S 22111214223433=<><><>=<><><>{,,,,,},{,,,,,}。

6. 试举出使

()()()T R S R T S R ???? ()()()P T P S P T S ????

成立的二元关系P T S R ,,,的实例.

分析 本题主要说明关系的复合与关系的交运算不满足分配率。

解：设R T S P =<><>=<><>=<><>=<><>{,,,},{,,,},{,,,},{,,,}3132133212232131,

于是, 有S T R S T R S R T ?=???=??=<><>?=<>,(),{,,,},{,}323333, 因此,

()(){,}R S R T ???=<>≠?33, 从而, R S T R S R T ??????()()()。

又，(),{,},{,,,}S T P S P T P ??=??=<>?=<><>113111，因此，

()(){,}S P T P ???=<>≠?11，从而, ()()()S T P S P T P ??????。

7. 设R 和S 是集合A 上的二元关系. 下面的说法正确吗?请说出理由.

（1）若R 和S 是自反的，则S R ?也是自反的；

（2）若R 和S 是反自反的，则S R ?也是反自反的；

（3）若R 和S 是对称的，则S R ?也是对称的；

（4）若R 和S 是反对称的，则S R ?也是反对称的；

（5）若R 和S 是传递的，则S R ?也是传递的

分析 本题主要是考察两个满足同一种性质的关系之复合运算是否保该性质，是的可以根据定义给出证明，不正确请给出反例，一般如果正确相对容易证明，不正确给出反例相对较难。 解：(1) 正确。因为对任意x A ∈，有xR xSx ,，所以x R S x ()?。故R S ?是自反的。

(2) 错误。例如，设x y A x y ,,∈≠，且xRy ySx ,，于是x R S x ()?。故R S ?不是自

反的。

(3) 错误。例如，设对称关系R x z z x S z y y z =<><>=<><>{,,,},{,,,}。于

是，<>∈?x y R S ,，但<>??y x R S ,。故R S ?不是对称的。

(4) 错误。例如，设反对

称关系R x z y w S z y w x x y

=<><>=<><>≠{,,,},{,,,},。于是，<><>∈?x y y x R S ,,,。故R S ?不是反对称的。

(5) 错误。例如，设传递关系

R x w y v S w y v z w v =<><>=<><>≠{,,,},{,,,},。

于是

， x R S y y R S z (),()??，但因为w v ≠，所以，<>∈?x z R S ,。 8．设1R 和2R 是集合A 上的二元关系，试证明：

（1）()()()2121R r R r R R r =；

（2）()()()2121R s R s R R s =；

（3）()()()2121R t R t R R t ? 并举出使1>A 时使()()()2121R t R t R R t ?的实例.

分析：（1）本小题根据自反闭包的定义，它一个关系R 的自反闭包应该包含0

R ，然后根据

0201021)(R R R R ?=?即可证得。（2）本小题根据对称闭包的定义，它一个关系R 的对称闭包应该包含1-R ，然后根据1

211121)(---?=?R R R R 即可证得。（3）由于传递闭包的特殊性，它不满足类似与（1）（2）的情形，所以要进行相对麻烦的证明，主要运用集合的包含关系的证明方法。

解：(1) 0212121)()()(R R R R R R r ???=?

=???()()R R R R 121020

=???()()R R R R 110220

=?r R r R ()()12 (2) s R R R R R R ()()()1212121?=???-

=???--()()R R R R 121121

=???--()()R R R R 11122

1

=?s R s R ()()12

(3) 由定义，

t R R R t R R R t R R R R R R (),(),()()(),111222*********=??=???=???? 于是，

t R t R R R R R R R R R ()()()()12112222121222?=?????=???? 。 下证对任意n ≥1，有R R R R n n

n 1212???()。

任取<>∈?x y R R n n ,12，不妨设<>∈x y R n ,1。于是，存在z z z A n 12,,, ∈ 使得<>∈??<>∈??<>∈??<>∈-x z R R R z z R R R z z R R R z y n n n ,,,,,,,,1112121121112 从而， <>∈?x y R R n ,()12。举例说明“?”成立。设

A R R ==<>=<>{,,},{,},{,}123122312，于是，

t R R t R t R (){,,,,,}()(){,,,}12121213231213?=<><><>??=<><>。

9．设1R 和2R 是集合A 上的二元关系，试证明：

（1）()()()2121R r R r R R r =；

（2）()()()2121R s R s R R s ?；

（3）()()()2121R t R t R R t ?

并请给出1||>A 时使()()()2121R s R s R R s ?和()()()2121R t R t R R t ?的实例. 分析：（1）本题主要是根据自反关系的定义得到一个特殊的等式R R R R 1020

120==?()进行变换，只要想到这个等式，下面的工作就比较容易做。（2）本题主要是根据对称关系

的定义及定理2.2.6得到如下三个公式：s R R R R R R ()()()1212121?=???-,

s R R R s R R R (),()11112221=?=?--,

s R s R R R R R ()()()()12111221?=???--，有这三个公式以及集合之间包含关系的证明方法就可得到结论。（3）本小题根据传递闭包的定义及定理2.2.6得

,)( ,)(22222111 ??=??=R R R t R R R t ,

)()()(2212121 ????=?R R R R R R t 有了上面三个等式以及集合之间包含关系证明方法可得结论。

解：设R R 12和是集合A 上的二元关系。注意到R R R R 1020120==?()，于是，

(1) r R R R R R R ()()()1212120?=???

=()R R R 1210??

=()()R R R R 110210???

=()()R R R R 110220???

=t R t R ()()12?

(2) s R R R R R R ()()()1212121?=???-, s R R R s R R R (),()11112221=?=?--, s R s R R R R R ()()()()12111221?=???--。任取

<>∈?=???-x y s R R R R R R ,()()()1212121，

(i) 若<>∈?x y R R ,(),12 则<>∈??-x y R R R ,,1111 且

<>∈??-x y R R R ,,2221 从而，

<>∈???=?--x y R R R R s R s R ,()(()()11122112；

(ii) 若<>∈?-x y R R ,(),121 则<>∈?y x R R ,(),12 即

<>∈<>∈y x R y x R ,,,,12且 从而，

<>∈??--x y R R R ,,11111 且<>∈??--x y R R R ,,21221 于是，

<>∈???=?--x y R R R R s R s R ,()(()()11122112

故 s R R s R s R ()()()1212???。举例说明“?”成立。

设A R R ==<>=<>{,},{,},{,}12122112，于是，

s R R R R R R ()()()12121211?=???=???=?--，而

s R R R s R R R (){,,,},(){,,,}1111222112211221=?=<><>=?=<><>--， 因此，s R s R s R R s R s R ()(){,,,},()()()1212121221?=<><>???故。

（3）证明：因为

,

)(,)(22222111 ??=??=R R R t R R R t ,

)()()(2212121 ????=?R R R R R R t )()()()()(211

,22221121m l m l R R R R R R R t R t ??=?????=?≥ 于是

又设 A= {1, 2, 3} , }3,1{},3,2,2,1{21><=><><=R R ，于是，,)(,2121?=?=R R t R R 而，

}

3,1{)()(},

3,1{)(},

3,1,3,2,2,1{)(21221><=><==><><><=R t R t R R t R t 故 )()()(2121R t R t R R t ?.

10．有人说，“如果集合A 上的二元关系R 是对称和传递的，则R 必是自反的. 因此，等价关系定义中的自反性可以去掉”. 并给出如下证明，如果R y x ∈,，由R 的对称性有R x y ∈,，再由R 的传递性知，R x x ∈,且R y y ∈,，即R 是自反的. 你的看法如何?

分析：本题主要是没有弄明白对称和传递都是满足一定前提条件的，而自反关系则是A 中每个元素都必须满足这个条件。

解：说法不正确。 对任意A x ∈, 对称性并不要求一定有R y x >∈<,，

因此也就不一定有>?<,。

例如：设}3,2,1{=A ,}1,1,1,2,2,1{><><><=R ，则R 是对称和传递的，但是R 不是自反的，因为R 中不包含><><3,3,2,2，这是因为R 如果是自反的必须包含0R 。

11．设R 是集合A 上的自反关系. 试证明R 是等价关系当且仅当若R z x y x ∈,,,，则R z y ∈,.

分析：本题主要是利用等价关系中自反性、对称性、传递性的定义来证明。

所以结论成立。

又因为，

，即（就有所以也有，

，，同时也有所以有，，，，所以就有且，因为，，使得也就有（有则存在),(),,,...,,,,,...,,,,...,,,,...,,),,,)()()( ,211,212121212222211112112211212121221121212212121m l m l i i i i i i i i i i i i i i R R R R R R R R R R y x R y x R z x R z x R z x R y x R z x R z x R z x R R R R R R R R z x R R z x R R z x z z z R R y x i R R R R R R t y x ????????>∈<>∈<>∈<>∈<>∈<>∈<>∈<>∈<>∈∈∈∈∈∈

解：设R 是等价关系。若 , ∈R , 则由R 的对称性知, ∈R 。

再由R 的传递性有∈R 。

反之, 假设只要, ∈R, 就有∈R 。

(1) 对称性。 设< x, y >∈R ，由自反性有∈R 。于是∈R 。

(2) 传递性。 设, ∈R 。 由对称性有∈R, 再由假设有∈R 。

12．设1R 和2R 都是集合A 上的等价关系，试证明21R R =当且仅当21//R A R A =. 分析：本题主要是根据等价类的定义及性质可以得到。

证明：设 21R R =, 则显然 21//R A R A =。

反之, 设21//R A R A =。若 21R R ≠, 则不妨设∈1R 但?2R .

于是11][][R R y x = , 22][][R R y x ≠ .

由划分之定义得知 21//R A R A ≠, 矛盾.。故21R R =。

13．设(){}

5mod ,y x y x R ≡=是定义在整数集Z 上的模5同余关系，求Z/R . 分析：本题主要是等价类的定义及性质可以得到。

解：设 R= { | x ≡y(mod 5)}.于是

[0]

R ={…-15,-10,-5,0,5,10,15…} [1]

R ={…-14,-9,-4,1,6,11,16,…} [2]

R ={…-13,-8,-3,2,7,12,17,…} [3]

R ={…-12,-7,-2,3,8,13,18,…} [4] R ={…-11,-6,-1,4,9,14,19,…}

A/R = {[0] R ,[1] R ,[2] R ,[3] R ,[4] R

} . 14．设{}r A A A A ,,,21 =和{}s R B B B ,,,21 =是集合X 的两个划分，令

{}s j r i B A B A S j i j i ≤≤≤≤?≠=1,1,

试证明S 也是X 的一个划分.

证明：本题主要是根据划分的定义以及集合的性质可以得到。

证明: }|{?≠=i i i i B A B A S .

(1) 由S 定义知, ?≠i i B A ;

(2) 任取S B A i i ∈ 和S B A m l ∈ , 1<=i ,j<=r, 1<=j,m<=s . ?=??== )()()()(m j m i m l i i B B A A B A B A

(3)

S B A B A B B A A j i B A s j r i j i s j r j i j i m j r ===

=X X =X ?≠≤≤≤≤≤≤≤≤ 111,11)()()

...()....(

故 S 是X 的一个划分.

15．定义在4个元素的集合A 之上的等价关系共有多少个？若n A =呢？

分析：本题是根据等价关系与划分的一一对应关系，利用划分来处理，由特殊推到一般。有几种证明方法。

解：设A={1,2,3,4},则A 上的等价关系数目即A 上的划分的数目共有15个.

(1) 最大划分 { {1}, {2}, {3} ,{4} }

(2) 最小划分 {{1 ,2, 3 ,4}}

(3) 将A 分成两个集合S={1A ,2A } , 共有两种可能：

(i) |1A | = |2A | ，共有32/12

4=C 种, 即

{{1, 2} , {3, 4}}, {{1, 3}, {2, 4}}, {{1, 4}, {2, 3}}。

(ii) |1A | = 1, |2A | =3, 共434=C 种, 即

{{1}, {2,3,4}}, {{2}, {1,3,4}}, {{3}, {1,2,4}, {{4},{1,2,3}}

(4) 将A 分成三个集合, 则恰有一个集合为2个元素,故共有624=C 种分法，即

{{1, 2}, {3}, {4}}, {{1, 3}, {2} ,{4}}, {{1, 4}, {2} ,{3}},

{{2, 3}, {1}, {4}}, {{2,4, {1}, {3}}, {{3,4}, {1}, {2}}}

设k E 表示可k 元集合A 上的全部等价关系数目, 则

???????∑?==-=---101101n k k n n n C k E E E

本公式还有下面一个推导方法：

解:设f(n,k)表示将n 个元素分成k 块的划分数。则f(n,1)=f(n,n)=1,设n>1,且1

16．设{}{}{}54,27,9,3,12,6,3,2,1,15,5,3321===A A A ，偏序关系≤为整除. 试分别画出≤≤,,,21A A ，以及≤,3A 的Hasse 图.

解：

3

17．设{}≤=,,,,,,54321A x x x x x A 的Hasse 图如图2. 3所示：

（1）求A 的最大（小）元，极大（小）元；

（2）分别求{}{}543432,,,,,x x x x x x 和{}321,,x x x 的上（下）界，上（下）确界.

分析：本题主要是根据极大（小）元，最大（小）元 ，上（下）界，上（下）确界的定义进行求解。

解：(1) 最大元x1, 无最小元;

(2) 上界 下界 上确界 下确界

{x2, x3, x4} x1 x4 x1 x4

{x3, x4, x5} x1,x3 无 x3 无

{x1, x2, x3} x1 x4 x1 x4

18．请分别举出满足下列条件的偏序集≤,A 的实例：

（1）≤,A 为全序集，但A 的某些非空子集无最小元；

（2）≤,A 不是全序集，A 的某些非空子集无最大元；

（3）A 的某些非空子集有下确界，但该子集无最小元；

（4）A 的某些非空子集有上界，但该子集无上确界

分析：本题主要是根据全序集的定义以及最大（小）元的定义进行举例。

解：(1) 为全序集, Z 整数集,但<-

Z ,≤>无最小元 ,

其中-Z ={}0|<∈m Z m ;

(2)题16中的,子集{3 ,5}无最大元;

(3) 题16中的,子集{2,3,6}有下确界但无最小界;

(4) 子集{a,b,e}有上界d, e,但无上确界。

19．试证明：每一个有限的全序集必是良序集.

x 1

x 25

图2.3

分析：本题主要是说明全序集、良序集的关系，根据他们的定义很容易得到。 证明：设为全序集, 且|A| = n 。

任取 A B ???,因B 中的任意两个元素x, y 均有x<=y 或者y<=x 。

因此, B 中必有最小元a.故为良序集。

20．设≤,A 为偏序集. 试证明A 的每个非空有限子集至少有一个极小元和极大元. 分析：本题注意是根据题设的子集的有限性以及极大元、极小元的定义很容易求的。 证明：设B 是A 的非空有限集.若B 中部存在极大(小)元,则对任何B x ∈,

若存在 y B ∈,使得x ≤y(y ≤x),如此下去,得出B 为无限集.矛盾.故结论成立。

21．设≤,A 为全序集. 试证明A 的每个非空有限子集必存在最大元、最小元. 分析：本题是对20题的补充，针对全序集有更特殊的性质。

证明：设B 是A 上的一个非空有限集,由题知,B 中至少有一个极大(小)元。

又故为全序,故极大(小)元均唯一, 且就是最大(小)元。