带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

1.如图1所示，第一象限范围内有垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B 。质量为m ，电量大小为q 的带电粒子在xOy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度v 0与x 轴夹角θ＝60°，试分析计算：

图1

(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多大？ (2)带电粒子在磁场中运动时间有多长？

解析 不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为R ＝m v 0qB

如图所示，有O 1O ＝O 2O ＝R ＝O 1A ＝O 2B

带电粒子沿半径为R 的圆运动一周所用的时间为 T ＝2πR v 0

＝2πm qB

(1)若粒子带负电，它将从x 轴上A 点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ1＝120°。 A 点与O 点相距x ＝3R ＝3m v 0qB

若粒子带正电，它将从y 轴上B 点离开磁场，运动方向发生的偏转角θ2＝60°

B 点与O 点相距y ＝R ＝m v 0qB

(2)若粒子带负电，它从O到A所用的时间为t1＝θ1

360°T＝2πm 3qB

若粒子带正电，它从O到B所用的时间为t2＝θ2

360°T＝πm 3qB

答案见解析

2.如图2所示，一带电质点质量为m，电量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上

的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。(重力忽略不计)

图2

解析由于已知初速度与末速度的方向，可得偏向角φ＝π

2。设粒子由M点进

入磁场，则由φ＝2β可沿粒子偏转方向β＝π

4来补弦MN，如图所示。

由“切线、弦”可得圆心O1，从而画轨迹弧MN。

显然M、N为磁场边界上两点，而磁场又仅分布在一圆形区域

内。欲使磁场面积最小，则弦MN应为磁场边界所在圆的直径(图中虚线图)，即得2r＝MN。

由几何知识，在Rt△MO1O2中可知R＝2r，

又因为R＝m v

qB，所以，这圆形磁场区域的最小半径

r＝

2

2R＝

2m v

2qB。

答案 2m v

2qB

3.如图3所示，S 为电子射线源，它能在图3所示纸面上的360°范围内发射速率相等，质量为m ，电荷量为e 的电子。MN 是一块足够大的竖直挡板，与S 的水平距离OS ＝L 。挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。

图3

(1)要使S 发射的电子能到达挡板，则发射电子的速率至少应多大？

(2)若S 发射电子的速率为eBL

m 时，挡板被电子击中的范围有多大？(要求指明在图示纸面内MN 挡板被电子击中的范围，并在图示中画出能击中挡板距O 上下最远的电子的运动轨迹)

解析 (1)由R ＝m v

eB 可知，当R 最小且保证此时电子能到达挡板时，v 有最小值。

所以R ＝L 2＝m v eB ，即v ＝eBL

2m

(2)先计算此时R ′＝m v ′

eB ＝m eBL m eB ＝L

分析电子群运动轨迹，能击中挡板距O 上下最远的电子运动轨迹如图所示，击中挡板的上、下极端位置b 、a 两点间范围即为所求x ba ＝L ＋L tan 60°＝(1＋3)L 。

答案 (1)eBL

2m (2)击中挡板上、下两点间长度(1＋3)L