5.过冷奥氏体转变动力学814

第五章过冷奥氏体转变动力学

钢加热至临界点以上，保温一定时间，将形成高温稳定组织——奥氏体。奥氏体冷至临界点以下，就不再是稳定组织，一般称为过冷奥氏体。过冷奥氏体在不同的冷却条件下，最终可能转变为珠光体、贝氏体、马氏体或它们的混合组织，从而导致钢材最终性能的多样性。

冷却条件可以分为两大类，其一是平衡冷却条件或近于平衡冷却条件，特征是冷却速率非常缓慢。大家知道，Fe-Fe3C相图就是在这种条件下获得的，它反映了Fe-C合金在平衡条件下，成分、温度和显微组织之间的关系及变化规律。其二是非平衡冷却条件，受时间因素影响。钢的过冷奥氏体转变动力学图就是研究某一成分钢的过冷奥氏体转变产物与温度、时间的关系及其变化规律。显而易见，在人们的生产实践中更多遇到的是非平衡条件的相变，因而，掌握过冷奥氏体的非平衡冷却条件下的转变规律，不仅大大深化了对其本质的认识，而且对热处理生产的指导意义也更为直接。

本章首先介绍过冷奥氏体等温转变动力学图及连续冷却转变动力学图，通过这两种动力学图对过冷奥氏体转变有一个概括性认识，为后续几章的内容打下基础。最后以形核和长大理论为基础，详细介绍过冷奥氏体转变动力学的形式理论。

5.1 四种冷却类型

冷却条件分为平衡冷却和非平衡冷却两大类。在非平衡冷却中又分为等温、恒速和变速冷却。

5.1.1 平衡冷却

平衡冷却条件或近于平衡冷却条件的特征是冷却速率非常缓慢，扩散能够充分进行，不需要考虑时间因素对相变的影响。相图就是在这种条件下获得的，它反映了合金在平衡条件下，成分、温度和显微组织之间的关系及变化规律。

5.1.2 等温冷却

等温冷却是将奥氏体化后的工件放到等温浴炉中进行保温，在保温过程中发生组织转变。这种冷却方式在生产中也有应用，如分级淬火、等温淬火。其特点是温度不随时间变化，如图4.10(b)，因而被广泛用于转变动力学研究。

5.1.3 恒速冷却

在冷却过程中冷却速率保持恒定，这种冷却用于研究冷却转变动力学，生产中没有这种冷却。这种冷却方式可用式(4.8)描述。即使在实验室，在快速冷却时也不易实现恒速冷却，一般以在一定温度范围内的平均冷速代替式(4.8)中的速率常数v。

5.1.4 变速冷却

这是一般热处理中常见的冷却条件，冷却速率随温度的变化而变化，并且在一个工件

上的不同部位，冷却速率也不相同。关于工件的冷却曲线，可以通过温度场计算得到，这里将冷却曲线用一般形式表示

)

(τ

g

t=(5.1)

5.2 过冷奥氏体等温转变动力学图

研究过冷奥氏体在非平衡冷却条件下的转变规律，实际上是研究温度、时间这两个因素对转变产物的影响。由于用等温冷却方式研究转变动力学可以避开温度-时间的交互作用，所以被广泛用于动力学研究。

5.2.1 等温转变动力学图的测定方法

在第4章已经介绍了等温转变动力学研究方法，这里主要介绍关于组织转变的测定方法。过冷奥氏体等温转变产物的测定方法主要有金相法、膨胀法和磁性法等。

金相法是将处理后的试样制成金相试样，在显微镜下定出组织类型及其体积分数，同时检测转变产物的硬度。金相法简单易行、直观、精确，是常用方法之一。但试样消耗量大，测定时间长是它的缺点。

膨胀法使用圆柱形小试样(φ3~5mm，长10~50mm)，利用奥氏体和转变产物的比容不同来测定转变开始点和终了点的温度和时间值。

磁性法是利用奥氏体的顺磁性，而转变产物具有铁磁性来测定转变状态。

膨胀法和磁性法试样用量少，测定时间短，易于实现自动化，应用日渐广泛。

为提高测试精度，一般应根据条件采用两种方法。

最后应指出，一幅完整的TTT图包括钢的成分、奥氏体化条件、晶粒度等基本数据外，还有临界点A1(或Ar1)、A3(或Ar3)或A cm(或Ar cm)以及马氏体转变点M s、M f等测试结果。A1、A3、A cm、M s及M f点也可用金相法或其他物理方法测出。

5.2.2

自1930年Daveport和Bain测定第

一幅过冷奥氏体等温转变动力学图，Cohen于1942年在图内增加了马氏体转变的开始点(M s)及终了点(M f)以来，人们测定了大量的过冷奥氏体等温转变动力学图。图5.1是共析碳钢的过冷奥氏体等温转变动力学图，下面分析如下。

图5.1纵坐标为温度(一般以摄氏温度标定，也有用华氏温度标定的)，横坐标为时间(以秒标定)通常以lgτ来分度，因此横坐标不能以零为原点。

图最上面的虚横线表示这种钢的临

A1

A

A→P

A→B

A→M

A

Ms

50%M

90%M

转变开始50%

转变终了

800

700

600

500

400

300

200

100

0.5 110 102 103 104 105 106

11

32

38

40

41

43

50

55

57

66

界点A1。图的下方一条横实线表示这种钢的马氏体转变开始点M s。过冷奥氏体冷至M s 以下将发生马氏体转变。故M s以下的区域是马氏体转变区，图中注有A→M。在A1和M s两条横线之间有两条C形曲线，左侧一条称为转变开始线，右侧一条称为转变终了线。

纵坐标和转变开始线之间的区域称为孕育区，图中注有A(奥氏体)。过冷奥氏体在该区不发生转变，即处于亚稳状态。在某一温度下，这个区域的横坐标长度称为该温度下的孕育期。转变开始线的突出部，也就是孕育期最短的部位一般称为鼻子。鼻子的坐标是一个十分重要的参数。转变开始线和终了线之间是转变区，在该区过冷奥氏体向珠光体或贝氏体转变，注有A→P(珠光体)和A→B(贝氏体)。该区的组织是奥氏体和转变产物的混合物。有一些图中还注有转变20%、50%、80%等线。转变终了线右侧则是转变产物区，在珠光体转变范围，不存在过冷奥氏体，在贝氏体转变范围，尚保留有未转变的过冷奥氏体。

过冷奥氏体转变产物因等温温度不同而不同，一般说来，大体上可以分为三个温度段：临界点以下为高温区，转变产物由高温向低温依次为珠光体、索氏体和屈氏体，M s点以下为低温区，转变产物主要是马氏体；高温区和低温区中间是中温区，也称过渡区，转变产物主要为贝氏体。中间区的上部则以上贝氏体转变为主，下部则以下贝氏体转变为主。原则上说，各类钢的转变产物的温度顺序大体如此。转变温度不同得到的组织不同，其力学性能也不同(见图5.1)。图5.2是四种过冷奥氏体转变产物的金相组织。

(a)珠光体(b)上贝氏体(c)下贝氏体+马氏体(d)马氏体+残余奥氏体

图5.2 四种过冷奥氏体转变产物

从图5.1可见，过冷奥氏体等温转变动力学图是由一些C形曲线为主构成的，故俗称C曲线。目前多按其英文(Time Temperature Transformation)缩写称为TTT图(也称TTT曲线)。

图5.1是一种形式最简单的TTT图，它只有一组C形曲线，珠光体和贝氏体转变是相互重叠的，因此转变产物也就不可能是单一的。关于这一点下面还要加以说明。

在碳钢中加入合金元素后，对C曲线产生比较大的影响，而且加入的合金元素越多，影响越大。图5.3是GCr15钢的TTT图，其转变终了线在500℃左右向右侧凹陷，出现两个鼻子。

图5.4是40CrNiMo钢的TTT图，转变开始线的形状与图5.3的转变终了线的形状相似，出现两个鼻子。而转变终了线为两条C形曲线。

体，对碳素钢来说是比较常见的，而对于合金钢来说可能不出现。一是因为加入合金元素后共析点向低碳方向移动，铁素体量减少；二是有些合金元素对铁素体析出的抑制作用很大，从而得到伪共析组织。而对于过共析钢来说，在实际加热条件下（在两相区加热）也不会出现先析出碳化物。

对于TTT 图的分类，各种文献均有差异。这并不重要，而重要的是它的基本形式。由于TTT 图反映过冷奥氏体等温转变的规律，因而，确定TTT 图的最基本的形式就是确定转变的基本规律。显然这必须对过冷奥氏体在等温冷却条件下所能发生的各种转变的机理有充分的认识才能做到。由于至今尚未完全做到这一点，因此，对TTT 图的基本形式的认图5.5 6Cr2Ni3钢的TTT 图 21 29 37 42 34 38

42

47

52

60 66 0 100 200 300 400 500 600 700 800 A 1 Ms 0.5 1 10 102 103

104 A+K A →P A →B A →M 50% A3 A1 Ms A →M 50% 50% A →B A →P A 0 100 200

300

400 500 600 700 800 0.5 1 10 102 103 104 105

800 700 600 500 400 300 200 100 0 0.5 1 10 102 103 104 105时间τ/s Ms A 1 A →P A →B

识也就不尽相同。

图5.6 40Mn2钢的TTT 图 图5.7 T13钢的TTT 图

过冷奥氏体在冷却过程中可能转变为珠光体、贝氏体和马氏体三类组织。珠光体转变属于完全扩散型转变，马氏体转变属于无扩散型转变，而贝氏体转变属于半扩散型转变，所以，珠光体与贝氏体转变可能在一定温度范围内重叠，贝氏体和马氏体转变也可能在一定温度范围内重叠。图5.8(d)是TTT 图的基本形式。珠光体、贝氏体和马氏体转变都有各自的温度范围，互相不重叠。图5.8(c)的珠光体和贝氏体转变有部分重叠，而图5.8(b)的珠光体和贝氏体转变有极少部分的重叠，图5.8(a)的珠光体和贝氏体转变几乎完全重叠。所以，这四种类型的TTT 图并没有本质上的区别，仅仅是量上的差别而已。或

者说，过冷奥氏体在适当条件下都会发生珠光体、贝氏体和马氏体转变。

5.2.3 影响过冷奥氏体等温转变动力学图的因素

TTT 图的基本形状如图5.8(d)所示，但是各种钢的TTT 图又不尽相同。其不同之处主要在于临界点位置不同，珠光体和贝氏体转变的C 曲线位置不同以及马氏体开始转变温度(Ms 点)位置不同。例如，珠光体转变温度向高温移动和贝氏体转变温度向低温移动，将导致TTT 图的形状由图5.8(a)转化为图5.8(b)~图5.8(d)。

影响C 曲线形状和位置的主要因素是合金元素，其次还有加热温度、保温时间、晶粒大小等。

1.合金元素的影响

800 700 600 500 400 300 200 100 0 0.5 1 10 102 103

104 10

5 Ms A A →Fe 3C A →B A →P A c1 时间τ/s 温度/℃ 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0.5 1 10 102 103 104 105 10

6 Ms A A →B

A →P A →F

A 3 A 1 时间τ/s 温度/℃

合金元素对TTT 图的影响最大，一般来说，除Co 和Al 以外的合金元素均使C 曲线右移，即增加过冷奥氏体的稳定性。这意味着在冷却时不容易得到珠光体和贝氏体，更容易得到马氏体，把这一特性叫做钢的淬透性(钢淬火时获得马氏体的能力)。需要强调的是，合金元素要对C 曲线产生影响，它必须溶到奥氏体中，否则其影响将非常小。例如，在两相区加热，奥氏体中的碳及其他合金元素的含量都不同于钢的成分，因而加热温度将影响C 曲线。

碳是钢中最重要的合金元素，它对C 曲线的影响比较特殊。w C =0.8%~1.0%时，C 曲线处于最右侧，高于或低于这一含量时，曲线均向左移动。所以，碳素钢一般随含碳量增加其C 曲线向右移，淬透性提高，但这种影响相对于合金元素来说是比较小的。

Cr 、Mo 、W 、V 等强碳化物形成元素使珠光体转变温度提高，而贝氏体转变温度降低，使得C 曲线的珠光体和贝氏体转变分离。Ni 和Mn 是扩大奥氏体区的元素，使过冷奥氏体转变向低温移动。

C 对M s 和M f 点的影响最大，随碳质量分数增加，使M s 和M f 点降低，如图5.9所示。 Al 、Co 提高M s 点，Si 几乎无影响，而Cu 、Ni 、W 、Mo 、Cr 、Mn 等合金元素降低M s 点，如图5.10所示。当然，在钢中同时加入几种合金元素时，对M s 和M f 点的影响更为复杂，可从有关手册中查到各种钢的M s 和M f 点。

图5.9 Ms 和M f 与碳质量分数的关系 图5.10 Ms 与合金元素质量分数的关系

2.奥氏体晶粒尺寸的影响

细小的奥氏体晶粒其总晶界面积相对来说比较多，这有利于珠光体的形核，从而促进珠光体转变，珠光体转变线左移。贝氏体转变的形核位置可在晶内，故晶粒尺寸的影响要小得多。

一般来说，形变会使奥氏体晶粒细化，或者增加亚结构。因此，形变通常使C 曲线左移。但形变的影响还与转变的类型及形变量有关。

此外，奥氏体均匀化程度对C 曲线位置也有影响。奥氏体成分越均匀，新相形核和长大过程中所需扩散时间就越长，曲线因此而右移。

显而易见，钢材成分不同，钢中所含合金元素的种类及数量就不同，TTT 图的形状和M s 点/℃

0 100 -100

-200 200 300 400 500 600 700 Ms M f 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 w C /% Al Co Si Cu Ni Cr Mn Mo 0 1 2 3 4 5 6 0 50 100 150 200

250 300 M s 点/℃

w M /%

位置就不同。另外，热处理工艺条件(加热温度、保温时间等)不同，奥氏体晶粒尺寸及均匀化程度就不同，TTT图也有差异。在应用TTT图时应注意这些问题。

5.2.4 过冷奥氏体等温转变动力学图的应用

TTT图反映了钢在等温冷却条件下过冷奥氏体转变规律，所以被认为是制定钢材热处理工艺规范的基本依据之一。

TTT图应用中最有效的是制定等温热处理工艺，例如等温淬火、等温退火等。等温淬火是将工件奥氏体化以后，淬入保持一定温度的盐浴中，使其获得下贝氏体组织的工艺方法。根据等温后的组织和性能要求，依据TTT图可以很方便地确定等温温度和等温时间。例如，对共析碳钢要求等温后得到屈氏体组织、硬度大于35HRC，由图5.1可知等温温度选550℃左右，等温时间大于10s（考虑到实际件比试样大，应该再长点）。如果要得到下贝氏体组织，在275℃等温约3h，如果想得到下贝氏体和马氏体的混合组织，等温时间可以再短一点，通过选用不同的等温时间可以得到下贝氏体含量不同的混合组织。

制定等温退火及形变热处理工艺也都直接依据TTT图。

TTT图反映了冷却转变的基本规律和特征。虽然在实际热处理中多采用连续冷却，其转变规律与等温冷却有相当大的差异，因此，过去人们往往认为TTT图只能对连续冷却的热处理工艺提供定性数据。但事实并非如此。在第5.4节中将会看到，等温转变和连续转变没有本质上的差别。所谓无本质上的差别是指其形核、长大规律是统一的。通过对动力学的深入研究，由TTT图可以计算出在任意冷却条件下的转变规律，从而使TTT图的应用更加广泛。

5.3 过冷奥氏体连续转变动力学图

TTT图反映了过冷奥氏体等温转变的规律，在研究相变机理、组织形态等方面很有意义。但是，在一般热处理中，冷却多为连续冷却，转变规律和TTT图相差很大，因此，TTT 图难以直接应用。Bain于1933年研究了过冷奥氏体连续转变动力学图，一般简记为CCT 图。由于它反映了过冷奥氏体在连续冷却条件下的转变规律，因此比较接近实际热处理冷却条件,应用也较之TTT图方便，而且有效。

5.3.1 常见的过冷奥氏体连续转变动力学图的基本形式

图5.11是一幅比较典型的CCT图，过冷奥氏体在连续冷却条件下的转变产物和等温转变相似，包括珠光体(P)、贝氏体(B)、马氏体(M)以及先共析铁素体(F)或先共析碳化物(K)等。从图5.11可知，CCT图与TTT图有如下不同之处。

(1)图中有一组在终端注有用小圆圈套住的数字的曲线。这是一组冷却曲线，在TTT 图中是没有的。原则上，测定CCT图应采用恒定冷却速度。由于恒定冷却速度难以做到，一般以奥氏体化温度(或者800℃)至500℃的平均冷却速度作为一种冷却速度来绘制CCT 图。不难知道，当时间坐标为自然数坐标时，这组曲线应是直线。由于CCT图的时间坐标为对数坐标，因此冷却曲线为一组曲线。也是由于这一点，时间坐标不能以零为原点，所以高冷却速度的冷却曲线起点也就不在奥氏体化温度上。

冷却曲线终端用小圆圈套住的数字表示在该冷却速度下，转变产物的硬度值。多用维氏硬度(H V )表示，也有用洛氏硬度(HRC)表示的。图5.11为两者混用，靠右的两个即236和187是维氏硬度值，其余的是洛氏硬度(HRC)。 从图5.11可以看出，冷却速度不同得到的组织和硬度也不同，其规律是随冷却速度提高，硬度值增大。 (2)冷却曲线和转变终了线交点所注的数字为这种转变产物所占

的百分量。例如图5.11中，硬度值

为HRC30的冷却曲线上分别注有15、12和65三个数字，它们表示铁素体占15%、珠光体占12%、贝氏体占65%，余者为马氏体和少量的残余奥氏体。

(3)马氏体转变开始点M s 的水平线右侧为斜线，这是由于珠光体、贝氏体转变提高了奥氏体中的碳质量分数，导致M s 点下降的结果。

钢的CCT 图除了图5.11的形式外，还有一些其他形式，详细内容可阅读其他参考书。

5.3.2 过冷奥氏体连续转变动力学图的测定

测定CCT 图一般较测定TTT 图困难。其原因如下：

(1)维持恒定冷却速度十分困难，而恒定冷却速度是保证CCT 图规范化的基本条件。冷却速度改变，则曲线的形状、位置均会改变。在任何一种介质中都难以维持恒定的冷却速度，并且过冷奥氏体在转变过程中还要释放相变潜热，可想而知，维持恒定冷却速度是很困难的。目前多采用喷水、吹风以及静止空气中冷却等方法，使冷却速度尽可能接近恒定。并且以一定温度区间的平均冷却速度来代表冷却速度。

(2)在连续冷却中，一般转变产物不是单一的，因此各种组织的精确定量也比较困难。

(3)在快速冷却中，保证测量时间和温度的精确度也是不容易的。

正因为如此，以往CCT 图的数量比较少，应用亦受到限制。

测定CCT 图的方法有金相硬度法、膨胀法、端淬法和磁性法等几种。

1.端淬法。端淬法是以往使用比较多的方法之一，端淬试验时，试样各横截面的冷却速度基本上是恒定的。而距端面不同距离的横截面的冷却速度是不同的，距水冷端越近，冷却速度越大，反之越小，并且冷却速度是连续变化的。这样在一个端淬试样上有着各种不同恒速冷却的部位。本方法的基本步骤如下：

①测定各部位的冷却曲线。在一个端淬试样上，距水冷端不同位置点焊一组热电偶，在一定的条件下奥氏体化，之后喷水并记录各热电偶所反映的冷却曲线，即可得出各横截面冷却速度。通常可以从手册中查到端淬试样各横截面的冷却速度，而不必自己测定。

②取一组端淬试样，在一定的奥氏体化条件下加热并保温，然后逐个喷水，每个试样图5.11 35CrMo 钢的CCT 图 A C3 A C1 Ms B F P A 54 52 52 40 35 30 22 236 187 55 45 2 10 70 75 10 17 15 12

65 1 10 102 103 104 105 0 100

200

300 400

500

600 700

800 900

1000

时间τ/s

喷水时间各异，达到规定时间，停止喷水并立即淬入盐水中，使未转变的过冷奥氏体转变成马氏体。

③观察各试件距水冷端同样位置的金相组织，并测定硬度。从而测出该位置(实质是某一冷却速度)的转变开始点和转变终了点，同时也可以测出各种转变产物的百分量。

④将各冷却速度下的转变开始点及终了点绘入坐标纸，连接成线即得到CCT图。

2.金相硬度法。金相硬度法的关键是如何得到恒定的冷却速度，一般采用下述方法。加工一组高度和内孔相同而外径不同的套，最好使用不锈钢，以便重复使用。将一组高度和外径与套的高度和内孔相同的试样嵌入套中，进行奥氏体化，然后冷却。显然，在同一种冷却介质中，外径不同的套中的试样有不同的冷却速度，这样就可以得到接近恒速冷却的一组试样。如果冷却介质中分别采用喷水、吹风及静止空气，则可以得到有高速至低速的各种冷却速度。经一定时间冷却后淬入盐水中，自套中取出试样观察组织并测定硬度，就可以得到转变开始点及终了点。

3.膨胀法。膨胀法应用日益广泛，它采用的是直径3mm左右的小试样，在吹风冷却时就可以得到比较高的冷却速度。而且，只需一个试样就可以得到某一冷却速度下的各种转变的全部数据。如果辅以电子计算机，精度和测定速度都很高，可以实现全程自动测量。

5.3.3 过冷奥氏体连续转变动力学图的应用

CCT图反映了过冷奥氏体在连续冷却的条件下发生转变的规律。由于它和实际热处理的冷却条件比较相近，因此可以用CCT图估计实际热处理之后零件的组织和性能。如前所述，尤以用圆棒试样直径为横坐标的CCT图应用最为方便。下面简单介绍CCT图的应用。

1.预测热处理后零件的组织及性能

综上所述，如果已知零件的冷却速度，就可以利用CCT图判定其组织形态和硬度。对于形状复杂的零件，虽然可以实测一些点的冷却速度，进而使用CCT图但是很不方便。近年来，人们利用有限元法或有限差分析法来求零件在一定加热或冷却条件下的温度场，从而得知零件中任意点的加热或冷却曲线。利用电子计算机计算零件冷却曲线的方法切实可行，且行之有效。

2.确定临界冷却速度

一般获得全部马氏体(包括少量残余奥氏体)的最低冷却速度称临界冷却速度，即和CCT图中转变开始线相应的冷却曲线的速度。

3.选择淬火介质

根据实际和计算证明，CCT图的鼻子处孕育期为2s时，直径25mm的圆柱零件水淬可淬硬；为5~10s时，则油淬可淬硬；大于100s时，在空气中即可淬硬。

CCT图也是选材的依据之一，关于CCT图的应用在相关课程、专著和文献中均有较详细介绍。

最后还应再次强调指出，CCT图原则上是在恒速冷却条件下测定的。它和一般热处理冷却条件还是有差异的，所以CCT图仅仅能近似地估计实际热处理后的状态，不可能十分精确。要解决实际热处理中的组织和性能问题，比较好的方法应该是通过计算进行预测，但这种方法目前还没有达到实用阶段，主要是因为温度场的准确计算和组织转变量的计算两大问题。关于温度场的计算将在第9章介绍。

5.4 相变动力学形式理论

相变过程从动力学机制方面可以分为形核、核长大、晶粒长大三个阶段，它们各有其明确的物理模型。然而在实际相变过程中，这三个阶段却不能截然分开。实际上，从第一批核心出现时，长大已经开始，而一旦系统中出现了不同尺寸的新相区，晶粒长大条件就已经具备。因此，仅给出三阶段单独的动力学描述虽然从物理上考虑是十分重要的，但从实际应用考虑还是不够完整的。人们已经作了许多尝试，在三阶段理论基础上以更为明确的方式给出新相的体积分数与转变时间的关系。

5.3.1 约翰逊－迈尔方程

约翰逊(W. A. Johnson)和迈尔(R. F. Mehl)在1939年发表文章，发展了由形核率及新相长大速率求在等温转变中新相的体积分数和时间关系的理论。这种理论通常被称为相变的形式理论。它奠定了相变定量计算的理论基础。

先考虑一种比较简单的情况，设新相的线生长速率v 不随时间改变，界面控制型生长就是如此，如式(4.5)。另外我们还假设成核率I 不随时间变化，如式(4.3)。为了简化计算，假设新相为球形，设某一个新核心在时刻τ成核并开始长大，在τ0时刻的体积为

3033)(3

434ττνππ-==r V (5.2) 设系统的体积为1个单位，在τ时刻新相的体积分数为?(在本系统中也就是新相的体积)，则母相的体积为1-?。此系统在τ→τ+d τ时间间隔内出现的新核心数为

τ?d )1(d -=I n (5.3)

由此可推知

τ?τd d d I n I += (5.4)

式中，I d τ为未扣除新相部分(体积为1)在τ→τ+d τ时间间隔内出现的新核心数，它包括了在母相中的成核数d n (实际的成核数)和在新相中的成核数为I ?d τ两部分。I ?d τ被称为“幻想核”数。在未扣除“幻想核”，也就是在整个系统内都可以成核情况下，τ→τ+d τ时间间隔内出现的新核心数为I d τ。如果也不考虑因新相相互碰挤的情况，则它们在时刻τ0的体积为

τττπ?d )(3

4d 303ex I v -= （5.5） 则τ0时刻新相的总体积?ex 为

4030303ex 3

d )(340

τπτττπ?τI v I v =-=? (5.6) ?ex 称为“扩张体积”，按其定义，它当中曾重复计算了一些区域的体积。这个情况可以用图5.12来说明。图中空白部分表示未转变成新相的区域，有斜线的部分表示已转变为新相的部分。若图中被斜线覆盖一次的区域体积为?1，覆盖两次的区域体积为?2，覆盖i 次的

区域体积为?i ，显然

∑∑==i i

i

i

i ????ex (5.7)

在相变过程中，若?增大至?+d ?，同时相应的?ex 增大至?ex +d ?ex ，由统计学考虑它们之间应满足以下关系

???-=1d d ex

(5.8) 于是可以求出

)3

πexp(1)exp(143ex τ??I v --=--= (5.9) 称为约翰逊-迈尔方程，简称JM 方程。

JM 方程是在下列条件下推导出来的：

①形核率和线长大速率为常数。

②形核是随机的。

③长大是各向同性的(因而是球形)。

一般来说，“形核率是常数”和“形核是随机的”这两条假设与实际差别较大，但是，即使不满足这两个条件，对计算结果的影响并不大。在形核的初期，形核率较大，以后逐渐减小。但我们要注意一个问题，核心形成后对新相体积分数的贡献不是均等的，先形成的核心贡献大，而后形成的

核心贡献小，如式(5.2)所示。在转变后期，新核心对新相体积分数的贡献几乎可以忽略。

5.4.2 形核率和长大速率

式(4.3)和式(4.5)分别给出了形核率和长大速率的计算公式，在冷却过程中它们都有一个极大值。

1.形核率

令d I /d T =0，对应的温度t n 为极值点，t n 满足方程

03)(*10*130=?+?--G T G T T T Q n n (5.10)

其实根为

3/1200312000)()(T T T T T T n ++-+++

=ωωωωωωω (5.11) 其中，Q G *1?=ω，即临界形核功与扩散激活能之比。

若取两相平衡温度为T 0＝1000K(727℃)，则形核率极值与比值ω的关系曲线如图5.13

所示。随着ω增大，形核率极值所在温度先快后慢不断降低。在扩散激活能一定的情况下，*1G ?越小，形核率极大值对应的温度越高。

表5.1为一组形核率计算参数，利用式(4.3)计算形核率与温度的关系曲线，如图5.14所示。

表5.1 形核率公式中各参数的取值

I 0/m -3·s -1

Q /J·mol -1 ΔG 1*/J·mol -1·K -1 t 0/K 4.8×1017 80000 4.8×108 1000

表5.1中常数I 0的取值只是决定整条曲线的幅值，不影响曲线的形状，通过改变其数值使形核率的最大值与实际相接近。图5.14中形核率极值为498mm -3·s -1，其所在温度为527℃。 对形核率的计算表明，加热时，形核率随温度的升高单调增大，而冷却时随温度降低有一个极大值。 2.长大速率 令d u /d T =0，温度变化时，长大速率也有一个极大值，对应的温度t u 为 )1ln(10110Q T G G R T T u ?+?+= (5.12) 若取相变潜热分别为4186.8J·mol -1，取两相平衡温度为T 0=1000K ，则可计算出过冷度为1K 时两相的自由能差ΔG 1为 1

111K mol J 1868.4K 1000mol J 8.4186---??=?=?G (5.13)

式(5.13)表明ΔG 1<=100kJ 时，T u 基本成一条水平线。

表5.2为一组长大速率计算参数，利用式(4.5)计算长大速率与温度的关系曲线如图5.16所示。

表5.2 长大速率计算参数

u 0/m·s -1

Q /J·mol -1 ΔG 1/J·mol -1·K -1 T 0/K 56 80000

4.1868 1000

图5.13 形核率极值所在温度与ω的关系

图5.14 形核率与温度的关系曲线

温度t /℃ 形核率I /m m -3·s -1

温度T n /℃ 比值ω(ΔG 1*/Q )

常数u 0的取值只决定整条曲线的幅值，对曲线形状不产生影响。图5.16中长大速率极值为68.71μm?s -1，其所在温度为637℃。

对长大速率的计算表明，加热时长大速率随温度的升高单调增大，而冷却时随温度降低有一个极大值。

5.4.3 各向异性生长

在进行JM 方程推导过程中，假设新相长大速率是各向同性的，因而长成了球形，许多随机分布的球在空间长大的结果，得到的是不规则多面体晶粒，即等轴晶。除了等轴晶以外，还有片状、针(柱)状等，从动力学考虑，形状上的差异反映出各个方向上长大速率不同。在以下的推导中仍假设形核率和长大速率为常数，但在三个方向上长大速率不一定相等。

1.三维不等速生长

设晶核沿x 、y 和z 三个方向的生长速率分别为u x 、u y 和u z 各不相等且为常数，这种方式生长的结果为椭球形，二维平面上为椭圆。如果u x =u y >u z ，则像铁饼状或双凸透镜状。设某一个新核心在时刻τ成核并开始长大，在τ0时刻的体积为

30)(3π4ττ-=

z y x u u u V (5.14) 扩张体积和体积分数为

40030ex 3

πd )(3π40ττττ?τI u u u I u u u z y x z y x =-=?

(5.15) )3πexp(14τ?I u u u z y x --= (5.16) 2.二维生长

设u z =0，z 方向厚度为z 0，空间形状为圆片状或椭圆片状。单个晶核的体积、扩张体积和体积分数分别为

200)(πττ-=z u u V y x (5.17)

图5.15 T u 与ΔG 1和Q (kJ·mol -1)的关系

图5.16 长大速率与温度的关系曲线

ΔG

1/J·mol -1·K -1 温度T U /℃ 长大速率u /μm ?s -1 温度/℃

3000200ex 3

π)(π0ττττ?τI u u z Id u u z y x y x =-=? (5.18) )3

πz exp(130τ?I u u y x --= (5.19) 3.一维生长

设u x =u y =0，晶核在xy 平面上的面积为s ，沿z 方向生长，空间形状为柱状或针状。单个晶核的体积、扩张体积和体积分数分别为

)(0ττ-=z su V (5.20)

20002

d )(0ττττ?τI u s I su z z ex =-=? (5.21) )2

exp(12τ?I u s z --= (5.22)

在不考虑弹性应变能的前提下，无论核心以哪一种方式生长，都不会改变热力学条件，所以在线生长速率公式(4.5)中，它们的差别应该仅仅是长大常数u 0不同而已。

5.4.4 非恒速长大

以上的推导过程都是假设线长大速率为常数，不随时间变化。下面讨论线长大速率是否随时间而改变的问题，即成分和应力对长大速率的影响，这是由局部热力学条件变化而引起的动力学问题。

1.成分的影响

在相变过程中母相和新相的成分可能发生变化也可能不发生变化。因为自由焓与成分有关系，所以当相变过程中成分发生变化时，热力学条件发生了变化，从而引起动力学条件的变化。

共析转变时不发生成分变化，如A→P ，P 完全继承了A 的成分，尽管在微观上发生了C 的再分配，但它不影响A 的成分。所以A→P 的线长大速率可以认为与时间无关系。除此之外的转变都或多或少地与时间有关系。

马氏体转变属于无扩散型转变，也不会发生成分变化。但是，由于马氏体转变过程中产生很大应力而使其线长大速度变慢，以至于长到一定尺寸后终止长大。

从母相中析出新相的相变必然使母相成分发生变化，所以这一类相变的线长大速率总是随时间的延长而减小的。例如从A 中析出F ，第3章介绍的时效及以后介绍的回火过程都属于这种情况。

2.应力的影响

在第2章讲过，在相变过程中因为新相和母相密度上的差异必然产生应力。这种应力都随着新相的长大而增大。无论是拉应力还是压应力，都使系统能量增加，因而都减小线长大速率。所以，所有的相变过程的线长大速率总是随时间的延长而减小。应力越大，减小的越快。

珠光体转变因A 和P 的密度差小，因而应力小，转变温度高，应力容易被释放，所以线长大速率变化很小。而贝氏体转变和马氏体转变的转变温度低，与A 的密度差也大，产生的应力大，对线长大速率影响非常大，以至于转变不能进行到终了。

如果新相与母相保持共格关系，界面应力也大，线长大速率也随时间的延长而减小。 3.变速长大 上述分析表明，在所有相变过程中，线长大速率都会或多或少地随时间的延长而减小，但是要精确地给出线长大速率与时间的关系是不现实的。如图5.17所示，新相形成过程中如果使母相发生成分变化或产生应力，都主要在新相与母相的界面附近，因而可以认为由此而产生的对线

长大速率的影响只影响其自身，对其他晶核无影响。所以

成分和应力对线长大速率的影响是从形核开始的，而不是从整个相变开始为起点的。

设某一个新核心在时刻τ成核并开始长大，在τ0时刻的线长大距离s 为

αττ--=10)(u s (5.23)

由式（5.23）得

αττατ---=))(1(d d 00

u s (5.24) 其中的u 仍然按式(4.5)计算，0≤α<1为时间衰减指数。α=0，时间对线长大速率无影响，α越大，线长大速率衰减的越快。当然也可以用其他衰减函数，但式(5.23)在数学处理上有很大的优越性。按此假设，可求得球形长大时的扩张体积为

ατατατττ?34030)1(303ex )

34(3π4d )(3π40---=-=?

I u I u (5.25) 将式(5.25)代入式(5.9)得 ))

34(3π4exp(1)exp(1343ex ατα??----=--=I u (5.26) 用同样的方法，可以推出三维不等速生长、二维生长和一维生长的体积分数计算公式分别为

))34(3π4exp(134ατα?---

-=I u u u z y x (5.27) )23πexp(1230ατα

?----=I u u z y x (5.28)

)2exp(12ατα

?----=I u z (5.29) 式(5.24)的一个明显不足是，形核刚开始时长大速率是无穷大，如果按式(5.30)假设就避免了无穷大问题。

])(1[d d 00

ατττ--=u s (5.30) 由此得

])(111)[(d ])(1[00000αττ

αττατττττ-+--=--=?u u s (5.31)

可见新相体积分数的计算公式非常复杂。

5.4.5 形核率不为常数的情况分析

在许多相变过程中，形核位置不是任意的，在一些有利的部位优先形核，而其他部位却不能形核。这些有利的部位往往是界面、界棱和界偶(图1.6)。例如，F 、P 、B 上(上贝氏体)在A 的晶界上形核，不会在A 晶粒内部形核。当新相占据全部可形核位置时，尽管转变还在进行，但形核已经结束。所以形核率应该随时间的延长而减少。但是，如果按照JM 方程的推导思路，在数学上无法处理该问题。这是因为在JM 方程推导过程中有两个关键步骤：一是“扩张体积”概念，二是扩张体积与新相体积之间的关系即式(5.9)，而这两点都要求形核是随机的。基于这种原因，在数学处理上就把形核率当作是“在转变过程中的平均形核率”。这也说明，当形核率非常大并且形核位置限制在极小的空间时，JM 方程将不再适用。以后在所有计算中，都假设形核率只是温度的函数，不随时间而变。

5.4.6 JMA 方程

式(5.26)~式(5.29)可以写成一个统一的方程

)exp(1n k τ?--= (5.32)

称为JMA 方程（A 指M.Avrami ），其中

)1(1α-+=d n (5.33)

其中d 是长大的维数，取值为1~3。

在上述推导过程中，假设母相能100%转变为新相，而在实际相变中，母相只能部分转变为新相，如亚共析钢只能部分转变为F 和P 。为了解决这一问题，设新相的最大转变量为?max ，则

)]exp(1[max n k τ??--= (5.34)

5.4.7 单位体积内晶粒数

设单位体积晶粒个数为N ，则

)1(d ?τ

-=I (5.35) 将式(5.9)代入式(5.35)并积分得

430

43896012.0d )3πexp(??? ??=-=?∞u I I u I N ττ (5.36)

将式(4.3)和(4.5)代入式(5.36)得单位体积晶粒数与等温温度关系为

4

/30120*14/300||exp(1))(exp(896.0?????? ??-?---?-???? ??=kT T T G T T kt G u I N (5.37) 可以证明，N 随过冷度或过热度的增大而增大，即加热转变时，等温温度愈高晶粒愈细小；冷却转变时，等温温度愈低晶粒愈细小。

5.4.8 等温转变动力学曲线和动力学图的数学关系

等温动力学曲线表示在一定温度等温时新相转变量与等温时间关系的曲线，其一般关系就是式(5.34)。该函数关系有以下几个特点：

①有一个最小值0(没有转变)；

②有一个最大值φmax (转变结束)；

③有一个拐点(转变速率最大)，拐点对应的转变量φ*为(读者可以自己推导)

)]1exp(1[max *n

n ---=?? (5.38) 由式(5.34)可知，当n ≤1时，转变刚开始时转变速率最大，n >1有一定转变量(φ*)时转变速率最大，当n =4，转变为53%时转变速率最快，也就是大约转变一半时转变速率最快。

等温转变动力学图描述的是一定转变量时等温温度-等温时间的关系，由式(5.34)可得

n k /1max max )]ln(1[?

??τ-= (5.39) 图5.18是用表5.1和表5.2数据计算的等温转变

动力学图，其中n =4。对比图5.18和图5.1可以看出，

这两个图非常相似，在数值上差别也不大。

5.4.9 可叠加性和连续转变动力学图

由等温转变得到的等温动力学关系能不能用来计

算连续冷却时的动力学曲线？如果能，该如何计算？

相变量是温度和时间的函数，而温度和时间是两

个相互独立的变量，设 图5.18 计算的等温转变动力学图

700 600 500 400 300 200 10-1 100 101 102 103 104 时间/s 温度/℃ 1% 50% 99%

)()(d ?τ

h t j ?= (5.40) )(τg t = (5.41)

τ=0时φ=0，由式(5.40)得

??=τ?

ττ??00d ))((d )

(1g j h (5.42) 这说明，相变速率只要能用式(5.40)表示，则无论是等温转变还是连续(变温)转变，新相的转变量总是能够计算出来的。

式(5.40)所描述的物理意义是：新相的转变速率只与转变的温度和当时新相的体积分数有关，而与温度历程无关。要满足这一条件，就必须满足“新相的形核率和长大速率只与温度有关而与温度历程无关”。这一条件称为相变的可叠加性。在前面介绍的关于形核和长大的所有计算公式都满足这一条件。因而JMA 方程应该满足式(5.40)的条件。证明过程如下。

对式(5.32)微分得

)1()]11)[ln(1()1()]11ln(1)[1()exp()1(d d 1111??

??

τττ

?---=---=--=---n n n n n n n n k k n k k n k (5.43) 只要n 是常数，则

n

n n

n h k t j 11

)]11)[ln(1)(1()()(----==?

?? (5.44) 将式(5.44)代入式(5.42)积分并整理得

?--=τ

τ?01

)]d [exp(1n n k (5.45) 式中，k 是温度的函数，恒温转变时k 是常数，连续转变时k 随时间而变(因为温度随时间而变)。所以式(5.45)即适合等温转变的计算，也适合变温转变的计算。

从式(5.45)看出，新相的体积分数不是简单的温度和时间的函数，而是温度历程的函数。如图5.19所示，在温度－时间坐标上，从a 点到b 点，路径1和路径2的相变结果是不一样的。所以要计算温度连续变化条件下的相变量，必须给出温度与时间的关系。设温度与时间之间的关系是线性关系(恒速率变化)，即

T =t 0+vτ (5.44)

则可以在T-τ平面上画出相同转变量时对应的温度-时间关系曲线，即连续转变动力学图。图5.20是用t 0=850℃，其他数据与图5.18相同计算的连续转变动力学图。 连续转变动力学图与等温转变动力学图相比有以下几个特点： (1)等温转变动力学图是惟一的，而连续转变动力学图是不惟一的。它与t 0有关，从t 0到T 0(两相平衡温度)对相变没有影响，但在时间坐标上有这一段时间，所以t 0越高，则曲

线越靠右。例如，在图5.20中，1%转变量的曲线(开始转变线)过（1, 550）的点，对应的冷却速率是300℃?s -1。但是，如果取t 0=750，则以相同速率冷到550℃只需要0.67s ，时间短了，和开始转变线不相交。如果取t 0=1000，则以相同速率冷到550℃需要1.5s ，时间长了，在550℃会与更大转变量的线相交。但事实上，在t 0温度以上无论在多高温度开始冷却，只要以300℃?s -1的速率进行冷却，冷到550℃都是刚开始转变。所以，在使用连续转变图时必须注意该图开始计时的温度，否则会得出错误结论。对实际工件的冷却曲线一般不是恒速的，严格来说不能用连续转变动力学图判断是否发生转变。如果用平均速度代替，也必须从t 0开始计算平均速度才有意义，

不能简单地把实际冷却曲线画到连续转变动力学图上进行判断。

(2)冷却时等温转变动力学曲线往往呈“C ”形(所以也叫做C 曲线)，而连续转变动力学曲线是半个C 形。这就会出现在等温转变时出现的组织在连续转变时可能不出现，这是固态相变的一个非常重要的特点。热处理正是利用这一特点通过改变冷却速率达到控制组织的目的。例如，第3章介绍的固溶处理就是采用快速冷却的方法抑制了第二相的析出；对奥氏体进行淬火抑制了铁素体和珠光体转变，而得到了贝氏体或马氏体；甚至还可能将合金液体冷到室温不发生结晶而得到非晶合金。

5.4.10 相变的独立性假设

前面介绍时我们假设了只发生一种相变，但实际中可能发生两种或两种以上的相变。例如，亚共析钢冷却时可能发生铁素体、珠光体、贝氏体和马氏体转变。对共析钢，在冷却过程，温度由高到低发生转变的顺序是：A→P ，A→B 和A→M 的转变，并且它们还可能同时进行，如在某个温度同时发生A→P 和A→B 转变，或A→B 和A→M 转变。这样一来，已经发生的转变必然对后来发生的转变有一定影响。如已经发生了A→P 转变，然后发生A→B 转变时，已经发生的A→P 转变会对A→B 转变产生一定影响。如果考虑这个问题，在计算A→B 转变量时就变得非常复杂，甚至无法建立计算模型。为此，假设“在一个系统内如果发生几种相变，各个相变是相互独立的”。当然，与发生一种相变不同的是，旧相的体积分数应该用1减所有已经发生的新相的体积分数。

图5.20 连续冷却转变动力学图 700 600 500 400 300 200 10-1 100 101 102 104 时间/s 温度/℃ 1% 50% 99% 103

5.4.11 k 与温度的经验关系

以上介绍都是用形核和长大速率计算新相体积分数的。但是，目前几乎没有这方面的数据，给计算带来很大困难。另外，即使这些数据齐全，计算结果也会与实际有一定误差。下面给出另外一种计算方法，实际上就是给出k 与温度的一个经验关系

n e a t

t t t t t t t a k )]))(ln([exp(1b e b b b 0---?--=β (5.47) 式中，t b 、t e ——分别是转变开始和结束温度，即t >t b 或t

a 0、a 1——两个常数；

β——常数，与TTT 图的鼻尖温度t *以及t b 、t e 之间有如下关系

*b e b ln t

t T t --=β (5.48) n ——JMA 方程中的指数。

如果再包括新相的最大转变量φmax ，则每个相变共有7个常数。

t b 可以取两相的平衡温度T 0，或在此基础上做一些适当调整。t e 以较低温度发生的相变开始温度为基础做适当调整，如贝氏体转变可以以M s 温度为基础适当降低一些，而珠光体转变以贝氏体开始转变为基础适当降低一点。

β数。β根据式(5.48)致，主要用该参数调整。 n 对C 始转变线和结束转变线之间的距离(差)，n 间的距离越大。 a 0和a 1是与等温转变孕育期和整个曲线形状有关的常数。 图5.21t b =A 1=727℃，t e =100℃，φmax =1，n =3.26β=1.3388(T *=562.6℃)，a 0=0.0535a 1=13.898。

对比图5.21和图5.1可以看出，两个图差别不大。

10-1 100 101 102 103 104 105 106

时间t /s Ms A1 0 100 200 300

400 500

600 700

800 900 1% 50% 99%