2012年宝山、嘉定区初三数学二模卷及答案

2012年宝山、嘉定区初三数学二模卷

（满分150分，考试时间100分钟） 2012.4

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列计算正确的是 （ ）．

（A ）422a a a =+； （B ）236a a a =÷； （C ）3

2a a a =?； （D ）5

3

2)(a a =．

2．如果b a <，0

(A) c b c a +<+； (B) c b c a +-<+-； (C) bc ac <； (D) c

b

c a <． 3．一次函数1-=x y 的图像不．

经过（ ）． （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限． 4．在研究反比例函数图像与性质时，由于计算粗心，小明误认为（2-，3）、（2，3-）、（2-，3-）、（3，2-）、（2

3

-

，4）五个点在同一个反比例函数的图像上，后来经检查发现其中有一个点不在，这个点是（ ）．

(A)（2，3-）； (B) （2-，3）； (C)（2-，3-）； (D) （2

3

-

，4）． 5．如图1，在编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于x 轴对称的两个三角形是（ ）．

（A ）①和②； （B ）②和③； （C ）①和③； （D ）②和④． 6．下列命题中，假．

命题是（ ）. （A ）如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，

那么这个点在圆外；

（B ）如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它

的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点（C ）边数相同的正多边形都是相似图形；

（D ）正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：=+-))(2(b a b a ．

8．计算：

111

x x -=+ ． 9．如果关于x 的方程2

90x kx ++=（k 为常数）有两个相等的实数根，则k = ．

10．已知函数6)(+=

x x f ，若a a f =)(，则a = ．

11．已知一个二次函数的图像在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，又经过

点A （1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是 （写出符合要求的一个解析式即可）．

12．在一个不透明的袋子中装有2个白球，n 个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．若

从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是

5

4

，则n 的值等于 ． (图1)

13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弦长为 ．

14．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，如果AD ＝5，DB ＝10，那么

ADE S ?:ABC S ?的值为 ．

15．已知△ABC 中，∠A =90°，∠B=θ，AC=b ，则AB = (用b 和θ的三角比

表示)．

16．已知G 是△ABC 的重心，设a AB =，=，那么= （用a 、b 表示）． 17．已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径比⊙O 2的2倍还大1，

又O 1O 2=7，那么⊙O 2的半径长为 ．

18．如图2，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，点B 的坐标

为（4，2），若四边形OABC 为菱形，则点C 的坐标为 ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（本题满分10分）计算：1

3

1

23622127)3(-++?+-+--）

（．

20．（本题满分10分）解方程组：2222

90

24x y x xy y ?-=??-+=??

②①

21．（本题满分10分，每小题满分各5分）

如图3，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4

点E 在边

AB 上，DE ∥BC ．

（1）若CB CE =，且3tan =∠B ，求ADE ?的面积；

（2）若∠DEC =∠A ，求边BC 的长度．

22．（本题满分10分，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分3分)

已知⊙1O 、⊙2O 外切于点T ，经过点T

的任一直线分别与⊙1O 、⊙2O 交于点A 、B ， （1）若⊙1O 、⊙2O 是等圆（如图4），求证AT =BT ；

（2）若⊙1O 、⊙2O 的半径分别为R 、r （如图5），试写出线段AT 、BT 与R 、r 之间始终存

(图3)

(图2)

23．（本题满分12分，每小题满分各3分）

结合“两纲教育”，某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数．．

，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图6，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题：

(1) 本次随机抽样调查的样本容量是 ；

(2) 试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数；

(3) 若本次随机抽样的样本平均数为76.5，又表1中b 比a 大15，试求出a 、b 的值； (4) 如果把满足q x p ≤≤的x 的取值范围记为[p ，q ]，表1中a 的取值范围是 ． （A ）[69.5，79.5] （B ）[65，74] （C ）[66.5，75.5] （D ）[66，75]

24．（本题满分12分，每小题满分各4分）

如图7，平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，将线段AB 绕点A

逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处，直线BC 与x 轴的交于点D ． （1）试求出点D 的坐标；

（2）试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E 的坐标；

（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F 以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD

表1：抽样分析分类统计表

抽样分析频率分布直方图

(图6) ) (图7)

25．（本题满分14分，第(1) 、(2)小题满分各5分，第(3)小题满分4分）

已知△ABC 中，?=∠90ACB （如图8），点P 到ACB ∠两边的距离相等，且PA =PB ． （1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；

（2）设m PA =，n PC =，试用m 、n 的代数式表示ABC ?的周长和面积；

（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BC

CD

AC CD +

的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

（图 ）

8 （备用图）

2011学年第二学期期中考试九年级

数学参考答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、C ； 2、A ； 3、B ； 4、C ； 5、B ； 6、D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、222b ab a --； 8、

)

1(1

+x x ； 9、6±=k ； 10、3=a ；

11、22

+-=x y 【答案不唯一，如322

+-=x y 等】； 12、8； 13、2；

14、9

1； 15、θcot ?=b AB 【答案不唯一，θ

tan b AB =

等等价形式均可】；

16、)(3

1b a

+； 17、2或6； 18、（2,23，）.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．解：1

3

1

23622127)3(-++?+-+--）

（ 2

31321231++

+-+-= ………………………………5分

23321231-++-+-=………………………………2分

333-= ………………………………3分

20．解：方程①可变形为 0)3)(3(=-+y x y x .

得03=+y x 或03=-y x . ………………………1分

方程②可变形为 4)(2

=-y x . 两边开平方，得

2=-y x 或 2-=-y x . ……………………1分

因此，原方程组可化为四个二元一次方程组：

???=-=+;2,03y x y x ???-=-=+;2,03y x y x ??

?=-=-;2,03y x y x ???-=-=-.

2,

03y x y x …………………4分 分别解这四个方程组，得原方程组的解是

3,21;2x y ?=????=-?? ???????=-=;

2

1,23y x ???==;1,3y x ???-=-=.1,3y x ………………4分

21．解：（1）分别过点C 、D 作AB CF ⊥、AB DG ⊥，交AB 于点F 、G （如图3）.

∵AB ∥CD

∴CF DG =. ………1分 ∵AB ∥CD ，DE ∥BC ， ∴CD BE =. ∵AB =13，CD =4，

∴9413=-=-=BE AB AE . ………1分 ∵CB CE =，BE CF ⊥，

∴242

1

21=?==

BE BF . ………1分 在Rt △BCF 中，由3tan =∠B ，2=BF 得

=∠B tan =BF

CF 3，即32=CF

，6=CF . ………1分

∴6==CF DG .

∴27692

1

21=??=?=?DG AE S ADE . ………1分

（2）∵AB ∥CD ，∴DEA CDE ∠=∠. ………1分

又∵∠DEC =∠A ，

∴△CDE ∽△DEA . ………1分

∴ EA

DE DE CD =

. ………1分 ∵9=AE ，CD =4，∴94DE

DE =

. ∴362=DE ,6=DE （负值已舍）. ………1分 ∵AB ∥CD ，DE ∥BC ，

∴6==DE BC . ………1分

22．（1）证明：联结1O 2O .

∵⊙1O 、⊙2O 外切于点T ，∴点T 在1O 2O 上. …1分

过1O 、2O 分别作AT C O ⊥1、BT D O ⊥2，垂足为C 、D （如图4）， ∴ C O 1∥D O 2. …1分

∴ T

O T O DT CT

21=. …1分

∵⊙1O 、⊙2O 是等圆，∴T O T O 21=. …1分 ∴

121==T

O T O DT CT ，∴DT CT =. …1分 在⊙1O 中，∵AB C O ⊥1，∴AT CT AC 2

1==.

同理 BT DT BD 2

1

=

=. … 1分

B

(图3)

∴BT AT 2121=，即BT AT =. … 1分

（2）解：线段AT 、BT 与R 、r 之间始终存在的数量关系是

=BT

AT r R

. … 3分 23．解：(1) 80 ； … 3分 (2) 成绩位于79.5~89.5的频率为

25.015.03.02.01.01=+++-）（. … 1分

所以全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数为

24015.025.0600=+?）（（人） … 2分

(3) 本次随机抽样分析成绩不合格的人数为81.080=?（人），

成绩优良的人数为324.080=?（人）， … 1分

依据题意，可得方程组

???

??=+-=++?.

15,5.7680

3240857b a b

a ……1分 解得 ?

??==.87,

72b a ……1分

(4) D ． ……3分 24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 解：（1）点C 的坐标为（2，1）. ……1分 设直线BC 的表达式为y mx n =+.

易得3,

2 1.n m n =??+=?

解得 3,1.m n =??=-? ……2分

所以直线BC 的表达式为3+-=x y . 当0=y 时，30+-=x ，3=x .

所以点D 的坐标为（3，0）. ……1分 （2）设经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式

为c bx ax y ++=2

（0≠a ） ……1分

易得 ??

?

??=++==++.039,3,

324c b a c c b a ……1分

解得 ??

???==-=.3,2,1c b a ……1分

因此，所求的抛物线的表达式为322

++-=x x y . 其顶点E 坐标为 (1，4). ……1分

(图7)

（3）点F 在322++-=x x y 的对称轴(即直线1=x )上，所以设点F 的坐标为（1，m ）. 由题意可得 AC AB =，?=∠90BAC ，

∴ ?=∠45ACB , ?=∠-?=∠135180ACB ACD .

所以若以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似，AEF ?必有一个角的度数为?135，

由此可得点F 必定在点E 的上方，

?=∠=∠135ACD AEF ， 4-=m EF ……1分

所以当CD EA CA EF =或EA

CD CA EF =时，

以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似. ……1分 由点D （3，0）、C （2，1）、A （2，3）、E (1，4)易得

213=-=AC ，2=CD ，2=AE .

∴

2

22

4

=-m 或

2

22

4=

-m . 解得 6=m 或5=m . 故符合题意的点F 有两个，其坐标为（1,5）或（1,6）. ……2分 25.（本题满分14分，第(1) 、(2)小题满分各5分，第(3)小题满分4分） 解：（1）依题意，点P 既在ACB ∠的平分线上，又在线段AB 的垂直平分线上.

如图8—1，作ACB ∠的平分线CP ，作线段AB 的垂直平分线PM ，CP 与PM 的 交点即为所求的P 点。【有作图痕迹，且作图基本正确】 ……2分.

ABP △是等腰直角三角形. ……1分（只写出等腰三角形，不得分）. 理由如下：过点P 分别作AC PE ⊥、CB PF ⊥，垂足为E 、F （如图8—2）. ∵PC 平分ACB ∠，AC PE ⊥、CB PF ⊥，垂足为E 、F ，

∴PF PE =.

又∵ PB PA =，∴ APE ΔRt ≌BPF ΔRt .

∴ BPF APE ∠=∠. ………1分 ∵?=∠90PEC ，?=∠90PFC ，?=∠90ECF ， ∴?=∠90EPF ， 从而?=∠90APB . ………1分

又PB PA = ∴ ABP △是等腰直角三角形.

（2）如图8-2，在PCE ΔRt 中，?=∠90PEC ，PB PA =，m PA =，

∴m AB 2=

. ………1分

图8-1

图8-2

由APE ΔRt ≌BPF ΔRt ，PCE △≌PCF △，可得BF AE =，CF CE =.

∴CE CF CE CB EA CE CB CA 2=+=++=+.………1分 在PCE ΔRt 中，?=∠90PEC ，?=∠45PCE ，n PC =，

∴n PE CE 2

2

=

=. ∴n CE CB CA 22=

=+.

所以ABC △的周长为：n m CA BC AB 22+=++. ………1分 因为ABC △的面积=PAC △的面积+PBC △的面积PAB △-的面积

=PB PA PF BC PE AC ??-??+??212121=22

1

)(21PA PE BC AC -?+

=

2222

1212122221m n m n n -=-?（m n >）. ………2分 【或 []

)(2

1

)()(412122222m n BC AC BC AC BC AC S ABC -=+-+=?=

?.】 （3）【法1】过点D 分别作AC DM ⊥、BC DN ⊥，垂足为M 、N （图8-3）.

易得 CD CD DN DM 2

2

45sin =??==. ……1分 由DN ∥AC 得 AB

DB AC DN = ①；

由DM ∥BC 得

AB

AD

BC DM =

② ①+②，得 AB AD DB BC DM AC DN +=+，即 1=+BC

DM

AC DN . ………2分

∴ 1)(22=+BC CD

AC CD ， 即

2=+BC

CD AC CD . ………1分 【法2】（前面同法1）又 BCD ACD ABC S S S ???+= ，BC AC S ABC ?=?2

1

.

∴ CD BC AC DN BC DM AC S S BCD ACD 2

2)(212121?+=?+?=

+?? ∴

BC AC CD BC AC ?=?+21

22)(21. ……2分 ∴

2)(=?+BC AC CD BC AC ，即 2=+BC

CD

AC CD . ……1分

图8—

3

图8-4

【法3】过点D 作BC DN ⊥，垂足为N （图8-4）. 在CDN ΔRt 中，?=∠45DCN ，CD CN DN 2

2

=

= ……1分 由DN ∥AC 得AB DB AC DN = ①； AB AD BC CN = ②

①+②，得

AB AD DB BC CN AC DN +=+，即 1=+BC

CN

AC DN . ………2分

∴

1)(22=+BC CD AC CD ，即 2=+BC

CD AC CD . ………1分 【法4】过点B 作BG ∥DC ，交射线AC 于点G （如图8-5）

易得 ?=∠=∠=∠=∠45CBG BCD ACD G ，CG BC BG 22==. ………1分 ∵BG ∥DC ，∴AC

AG

CD BG =

. ∴

AC BC AC CD BC +=

2，2)(=??+BC AC CD BC AC . ………2分

即

2=+BC

CD

AC CD . ………1分 【法5】过点A 作CB 的平行线，交射线CD 于点K (见图8-6),

得AC CK 2=

，CD AC CD CK DK -=-=2，………1分

又

AK

DK

BC CD =

， 即 AC

CD

AC BC CD -=2， ……2分

所以 AC CD BC CD -=2，2=+BC

CD AC CD ………1分

【法6】分别过点A 、B 分别作CD 的平行线，交射线BC 于点H ，交射线AC 于点G (见

图8-7).得AC AH 2=

，BC BG 2= ……1分

又

AB AD BG CD =，AB BD

AH CD =

∴ 1=+BG CD AH CD ，………2分

即122=+BC

CD AC CD ，

2+BC CD AC CD .………1分

图8-5

图8-6

图8-7