[推荐]高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练六)函数与导数B)

[推荐]高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练六）

函数与导数B）

1．(2018·江苏省兴化一中模拟)已知函数f(x)＝xex－ax，a∈R.

(1)当a＝0时，求f(x)的最小值；

(2)若x≥0时，f(x)≥ax2恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数f(x)存在极小值，求实数a的取值范围．

解(1)当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，

当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x＝－1时，f(x)取最小值为f(－1)＝－.

(2)当x≥0时，

f(x)≥ax2?xex－ax≥ax2?ex－a≥ax?a≤，

令h(x)＝(x≥0)，

则h′(x)＝≥0，

所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以h(x)min＝h(0)＝1，所以a≤1.

(3)设g(x)＝f′(x)＝(x＋1)ex－a，

则g′(x)＝(x＋2)ex，

令g′(x)＝0，得x＝－2，

所以g(x)在(－∞，－2)上单调递减，

在(－2，＋∞)上单调递增，

所以g(x)≥g(－2)＝－－a，

当a≤－时，g(x)≥－－a≥0，即f′(x)≥0，

所以f(x)在R上单调递增，无极值；

当a>－时，

因为g(－2)＝－－a<0，

g(a)＝(a＋1)ea－a≥(a＋1)2－a＝2＋>0(易证ea≥a＋1)，

所以g(－2)g(a)<0，

所以g(x)在(－2，a)上有一个零点，记为x1，

则当x∈(－2，x1)时，f′(x)＝g(x)<0，

则f(x)单调递减；

当x∈(x1，a)时，f′(x)＝g(x)>0，则f(x)单调递增，

所以f(x)在x＝x1处取得极小值．

综上，若函数f(x)存在极小值，则实数a的取值范围为.

2．设函数f(x)＝2(a＋1)(a∈R)，g(x)＝ln x＋bx(b∈R)，直线y＝x ＋1是曲线y＝f(x)的一条切线．

(1)求a的值；

(2)若函数y＝f(x)－g(x)有两个极值点x1，x2.

①试求b的取值范围；

②证明：≤＋.

(1)解设直线y＝x＋1与函数y＝f(x)的图象相切于点(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝2(a＋1)，＝1，解得a＝0.

(2)①解记h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)＝2－ln x－bx.

函数y＝f(x)－g(x)有两个极值点的必要条件是h′(x)有两个正零点．

h′(x)＝－－b＝，

令h′(x)＝0，得bx－＋1＝0(x>0)．

令＝t，则t>0.

问题转化为bt2－t＋1＝0有两个不等的正实根t1，t2，

等价于解得0

当0

则h′(x)＝＝＝.

当x∈(0，x1)时，h′(x)<0；

当x∈(x1，x2)时，h′(x)>0；

当x∈(x2，＋∞)时，h′(x)<0.

所以x1，x2是h(x)＝f(x)－g(x)的极值点，

所以b的取值范围是.

②证明由①知＝＋＝.

可得g(x1)＋g(x2)＝－2ln b＋－2，f(x1)＋f(x2)＝，

所以＝－bln b－b.

记k(b)＝－bln b－b，

则k′(b)＝－ln b－2，

令k′(b)＝0，得b＝∈，

所以当b∈时，k′(b)>0，k(b)单调递增；

当b∈时，k′(b)<0，k(b)单调递减，

所以当b＝时，k(b)取最大值＋，

所以≤＋.

3．设函数f(x)＝2ax＋＋cln x.

(1)当b＝0，c＝1时，讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝3x＋3a－6且函数f(x)有两个极值点x1，x2，x1