17-18版 第4章 4.1.1 圆的标准方程
4.1圆的方程
4.1.1圆的标准方程
1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.(重点)
2.能根据所给条件求圆的标准方程.(重点、难点)
3.掌握点与圆的位置关系.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1圆的标准方程
阅读教材P118~P119第1行的内容,完成下列问题.
1.以C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 2.以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆心位置和圆的半径确定,圆就惟一确定.()
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.()
(3)圆(x+2)2+(y+3)2=9的圆心坐标是(2,3),半径是9.()
【解析】(1)正确.确定圆的几何要素就是圆心和半径.
(2)错误.当m=0时,不表示圆.
(3)错误.圆(x+2)2+(y+3)2=9的圆心为(-2,-3),半径为3.
【答案】(1)√(2)×(3)×
教材整理2点与圆的位置关系
阅读教材P119“例1”及“探究”部分,完成下列问题.
设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系对应如下:
已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)()
A.是圆心B.在圆上
C.在圆内D.在圆外
【解析】圆心M(2,3),半径r=2,∵|PM|=(3-2)2+(2-3)2=2<r,∴点P在圆内.
【答案】 C
[小组合作型]
()
A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
(2)已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()
A.(x-2)2+(y+3)2=13
B.(x+2)2+(y-3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
【精彩点拨】(1)设出圆心坐标,利用两点间的距离公式求圆心坐标,再写出圆的标准方程.
(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标,进而求出圆的半径,再写出圆
的标准方程.
【自主解答】(1)设圆心坐标为(0,b),
则由题意知(0-1)2+(b-2)2=1,解得b=2.
故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
(2)设此直径两端点分别为(a,0),(0,b),由于圆心坐标为(2,-3),所以a =4,b=-6,所以圆的半径r=(4-2)2+(0+3)2=13,从而所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13.
【答案】(1)A(2)A
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.
[再练一题]
1.以点A(-5,4)为圆心,且与x轴相切的圆的方程是()
A.(x+5)2+(y-4)2=25
B.(x-5)2+(y+4)2=16
C.(x+5)2+(y-4)2=16
D.(x-5)2+(y+4)2=25
【解析】因该圆与x轴相切,则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值,所以圆的方程为(x+5)2+(y-4)2=16.
【答案】 C
2,-5)的圆
的标准方程.
【精彩点拨】解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.【自主解答】法一:设点C为圆心,
∵点C 在直线:x -2y -3=0上, ∴可设点C 的坐标为(2a +3,a ). 又∵该圆经过A ,B 两点,∴|CA |=|CB |. ∴(2a +3-2)2+(a +3)2= (2a +3+2)2+(a +5)2, 解得a =-2.
∴圆心坐标为C (-1,-2),半径r =10. 故所求圆的标准方程为 (x +1)2+(y +2)2=10. 法二:设所求圆的标准方程为 (x -a )2+(y -b )2=r 2,
由条件知???
(2-a )2+(-3-b )2=r 2,
(-2-a )2+(-5-b )2=r 2
,
a -2
b -3=0,
解得???
a =-1,
b =-2,
r 2=10.
故所求圆的标准方程为 (x +1)2+(y +2)2=10.
法三:线段AB 的中点为(0,-4),k AB =
-3-(-5)2-(-2)
=1
2,
所以弦AB 的垂直平分线的斜率k =-2, 所以线段AB 的垂直平分线的方程为: y +4=-2x , 即y =-2x -4.
故圆心是直线y =-2x -4与直线x -2y -3=0的交点,由??
?
y =-2x -4,
x -2y -3=0,得?
??
x =-1,y =-2. 即圆心为(-1,-2),圆的半径为
r =(-1-2)2+(-2+3)2=10,
所以所求圆的标准方程为(x +1)2+(y +2)2=10.
1.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程((x -a )2+(y -b )2=r 2)→列方程组(由已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组)→解方程组(解方程组,求出a 、b 、r )→得方程(将a 、b 、r 代入所设方程,得所求圆的标准方程).
2.注意利用圆的有关几何性质,可使问题计算简单.
[再练一题]
2.求圆心在x 轴上,且过点A (5,2)和B (3,-2)的圆的标准方程. 【解】 法一 设圆的方程为 (x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0).
则???
b =0,
(5-a )2+(2-b )2=r 2
,(3-a )2+(-2-b )2=r 2,
解得???
a =4,
b =0,
r = 5.
所以所求圆的方程为(x -4)2+y 2=5. 法二 因为圆过A (5,2),B (3,-2)两点, 所以圆心一定在线段AB 的中垂线上. AB 中垂线的方程为y =-1
2(x -4), 令y =0,得x =4.即圆心坐标为C (4,0), 所以r =|CA |=(5-4)2+(2-0)2= 5. 所以所求圆的方程为(x -4)2+y 2=5.
[探究共研型]
探究1 若P (x ,y )为圆C (x +1)2+y 2=1
4上任意一点,请求出P (x ,y )到原点的距离的最大值和最小值.
【提示】原点到圆心C(-1,0)的距离d=1,圆的半径为1
2,故圆上的点到
坐标原点的最大距离为1+1
2=
3
2,最小距离为1-
1
2=
1
2.
探究2若P(x,y)是圆C(x-3)2+y2=4上任意一点,请求出P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.
【提示】P(x,y)是圆C上的任意一点,而圆C的半径为2,圆心C(3,0),
圆心C到直线x-y+1=0的距离d=|3-0+1|
12+(-1)2
=22,所以点P到直线x-y
+1=0的距离的最大值为22+2,最小值为22-2.
已知x,y满足x2+(y+4)2=4,求
(x+1)2+(y+1)2的最大值与最小值.
【精彩点拨】x,y满足x2+(y+4)2=4,即点P(x,y)是圆上的点.而(x+1)2+(y+1)2表示点(x,y)与点(-1,-1)的距离.故此题可以转化为求圆x2+(y+4)2=4上的点与点(-1,-1)的距离的最值问题.
【自主解答】因为点P(x,y)是圆x2+(y+4)2=4上的任意一点,圆心C(0,-4),半径r=2,
因此(x+1)2+(y+1)2表示点A(-1,-1)与该圆上点的距离.
因为|AC|2=(-1)2+(-1+4)2>4,所以点A(-1,-1)在圆外.如图所示.而|AC|=(0+1)2+(-4+1)2=10,
所以(x+1)2+(y+1)2的最大值为|AC|+r=10+2,最小值为|AC|-r=10-2.
1.本题将最值转化为线段长度问题,从而使问题得以顺利解决.充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用.
2.涉及与圆有关的最值,可借助图形性质,利用数形结合求解.一般地: ①k =y -b x -a
的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t =ax +by 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如m =(x -a )2+(y -b )2的最值问题,可转化为两点间的距离的平方的最值问题等.
[再练一题]
3.已知圆C :(x -3)2+(y -4)2=1,点A (0,-1),B (0,1),设P 是圆C 上的动点,令d =|P A |2+|PB |2,求d 的最大值及最小值.
图4-1-1
【解】 设P (x ,y ),
则d =|P A |2+|PB |2=2(x 2+y 2)+2.
∵|CO |2=32+42=25,∴(5-1)2≤x 2+y 2≤(5+1)2.
即16≤x 2+y 2≤36.∴d 的最小值为2×16+2=34,最大值为2×36+2=74.
1.点P (m,5)与圆x 2+y 2=24的位置关系是( ) A .在圆外 B .在圆内 C .在圆上
D .不确定
【解析】 ∵m 2+25>24, ∴点P 在圆外.
【答案】 A
2.以点? ????
12,-1为圆心,半径为54的圆的方程为( ) A.? ????
x -122+(y +1)2=2516 B.? ????
x +122+(y +1)2=54 C.? ????
x +122+(y -1)2=54 D.? ??
??
x -122+(y -1)2=2516
【解析】 由圆的几何要素知A 正确. 【答案】 A
3.经过圆C :(x +1)2+(y -2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为________. 【解析】 圆C 的圆心为(-1,2),又所求直线的斜率为1,故由点斜式得y -2=x +1,即x -y +3=0.
【答案】 x -y +3=0
4.若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y =x 对称,则圆C 的标准方程为________.
【解析】 由题意知圆C 的圆心为(0,1),半径为1,所以圆C 的标准方程为x 2+(y -1)2=1.
【答案】 x 2+(y -1)2=1
5.已知圆C 的半径为17,圆心在直线x -y -2=0上,且过点(-2,1),求圆C 的标准方程.
【解】 ∵圆心在直线x -y -2=0上,r =17,∴设圆心为(t ,t -2)(t 为参数).
∴圆C 的标准方程为(x -t )2+(y -t +2)2=17. ∵圆C 过点(-2,1), ∴(-2-t )2+(1-t +2)2=17. 解得t =2或t =-1.
∴圆心C 的坐标是(2,0)或(-1,-3).
∴所求圆C 的标准方程是(x -2)2+y 2=17或(x +1)2+(y +3)2=17.