matlab中的非线性规划求解fmincon函数

这个函数的基本形式为
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)
其中fun为你要求最小值的函数，可以单写一个文件设置函数，如以上给的例子中。
1.如果fun中有N个变量，如x y z, 或者是X1, X2,X3, 什么的，自己排个顺序，在fun中统一都是用x(1),x(2）....x(n) 表示的。
2. x0, 表示初始的猜测值，大小要与变量数目相同
3. A b 为线性不等约束，A*x <= b， A应为n*n阶矩阵，学过线性代数应不难写出A和b
4 Aeq beq为线性相等约束，Aeq*x = beq。 Aeq beq同上可求
5 lb ub为变量的上下边界，正负无穷用 -Inf和Inf表示， lb ub应为N阶数组
6 nonlcon 为非线性约束，可分为两部分，非线性不等约束 c，非线性相等约束，ceq
可按下面的例子设置
function [c,ce] = nonlcon1(x)
c = -x(1)+x(2)^2-4;
ce = []; % no nonlinear equality constraints
7，最后是options，可以用OPTIMSET函数设置，见上例
具体可见OPTIMSET函数的帮助文件。

对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义为：
options(1)-参数显示控制（默认值为0）。等于1时显示一些结果。
    options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。 options = optimset('TolX',1e-8)
    options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。options = optimset('TolFun',1e-10)
    options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。
    options(5)-算法选择，不常用。
    options(6)-优化程序方法选择，为0则为BFCG算法，为1则采用DFP算法。
    options(7)-线性插值算法选择，为0则为混合插值算法，为1则采用立方插算法。
    options(8)-函数值显示 (目标—达到问题中的Lambda )
    options(9)-若需要检测用户提供的梯度，则设为1。
    options(10)-函数和约束估值的数目。
    options(11)-函数梯度估值的个数。
    options(12)-约束估值的数目。
    options(13)-等约束条件的个数。
    options(14)-函数估值的最大次数（默认值是100×变量个数）
    options(15)-用于目标 — 达到问题中的特殊目标。
    options(16)-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。
    options(17)- 优化过程中变量的最大有限差分梯度值。
    options(18)-步长设置 (默认为1或更小)。
Foptions已经被optimset和optimget代替，详情请查函数optimset和optimget。

ps: 以上x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)
括号中的参数，需从左到右依次给出，可只给部分。
如可写为x = fmincon

(fun,x0,A,b） x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
如中间某些约束为空，可以用[]表示，如可写为 x = fmincon(fun,x0,A,b,[],[],lb,ub)

fmincon函数
fmincon函数浅析（转载）

命令格式：
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

如matlab帮助文档中所述，fmincon命令使用的算法对于大规模优化问题和中等问题是有所区分的：
Large-Scale Optimization
The large-scale algorithm is a subspace trust region method and is based on the interior-reflective Newton method described in [1] and [2]. Each iteration involves the approximate solution of a large linear system using the method of preconditioned conjugate gradients (PCG)..
Medium-Scale Optimization
fmincon uses a sequential quadratic programming (SQP) method. In this method, the function solves a quadratic programming (QP) subproblem at each iteration. An estimate of the Hessian of the Lagrangian is updated at each iteration using the BFGS formula. A line search is performed The QP subproblem is solved using an active set strategy.
这里试图回答三个问题：
1.
什么Large-Scale Optimization，什么是Medium-Scale Optimization？
2.
fimcon提供的subspace trust region和sequential quadratic programming方法原理？
3.
BFGS公式和线性搜索是什么？

问题1
所谓大规模问题指的是出现在工程，化学等领域中有大量优化变量的问题。由于自变量的维数很高，这样的问题是被分解成多个低维子问题来求解的。Medium－Scale优化问题实际上是matlab自己提出和大规模问题对应的一个概念，就是通常一般的优化算法，如牛顿法，最速下降法之类的处理优化变量不是很多的问题。
问题2
对于大规模问题，fmincon采用了subspace trust region优化算法。这种算法是把目标函数在点x的邻域泰勒展开（x可以认为是人为提供的初始猜测），这个展开的邻域就是所谓的trust region，泰勒展开进行到二阶项为止：
Q(x) = 1/2* +

（1）
这时目标函数在某一个局部的特性就可以“看出来了”。在这样的一个邻域里，我们求一个新的点x1，使得目标函数值减小，这个问题相比于原来的问题要简单。然而实际上对于存在非常大规模优化变量的问题，直接对这个子问题的求解仍然是不可忍受的。
同时我们注意到，由于泰勒展开要进行的第二项，这就要求我们能够提供一阶导计算的函数。如果我们不能提供一阶导表达式，二阶导（Hessian矩阵）matlab是无法计算的。所以我们使用fmincon命令而不给一阶导表达式，fmincon会放弃使用大规模算法。
如前所述，原问题转化后的直接求解仍然是无法忍受的，通过进一步近似subspace trust region将这个问题局限在trust region的二

维子空间内求解。
序列二次规划方法是将一个带有等式和不等式约束（可以是非线性）的非线性优化问题转化为二次规划问题求解，二次规划问题类似公式（1）形式。具体转化过程可以参考：
https://www.360docs.net/doc/8f12396897.html,/~adpadu/talks/sqp1.pdf

问题3
对于medium－scale问题，求解二次规划问题涉及到Hessian矩阵。Hessian矩阵的近似计算是通过拟牛顿法得到的，拟牛顿法提供了两个公式可用于Hessian矩阵（或其逆）的迭代：BFGS公式和DFP公式），而初始的Hessian矩阵是任意给的，如给一个单位阵I。
BFGS公式如下：
H(k+1) = H(k) + / - /
（3）
总结：
fmincon运行首先检查有无梯度表达提供，如有则选则大规模算法（subspace trust region），由此涉及到Hessian阵的近似计算，由于已提供了梯度的公式，则Hessian阵可以直接通过有限差分计算。但是如果用户直接提供了Hessian计算公式，则直接计算。
如果没有梯度表达式提供，fmincon选则SQP算法，算法中Hessian阵可以通过BFGS迭代，初始Hessian阵任给。注意BFGS公式中q项是需要计算目标函数梯度得到的。所以Hessian矩阵的近似计算是需要用到有限差分法。