专题19立体几何与空间向量B辑(学生版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
专题19立体几何与空间向量B辑
历年联赛真题汇编
1.【2020高中数学联赛A卷(第01试)】正三棱锥P?ABC的所有棱长均为1,L,M,N分别为棱PA,PB,PC的中点,则该正三棱锥的外接球被平面LMN所截的截面面积为.
2.【2020高中数学联赛B卷(第01试)】已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体积为.
3.【2019高中数学联赛A卷(第01试)】如图,正方体ABCD-EFGH的一个截面经过顶点A、C及棱EF上一点K,且将正方体分成体积比为3:1的两部分,则EK
的值为.
KF
4.【2019高中数学联赛B卷(第01试)】设三棱锥P-ABC满足P A=PB=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥体积的最大值为.
5.【2018高中数学联赛A卷(第01试)】设点P到平面α的距离为√3,点Q在平面α上,使得直线PQ与α所成角不小于30°且不大于60°,则这样的点Q所构成的区域的面积为.
6.【2018高中数学联赛B卷(第01试)】已知圆锥的顶点为P,底面半径长为2,为1.在圆锥底面上取一点Q,使得直线PQ与底面所成角不大于45°,则满足条件的点Q所构成的区域的面积为.
7.【2017高中数学联赛A卷(第01试)】正三棱锥P-ABC中,AB=1,AP=2,过AB的平面a将其体积平分,则棱PC与平面α所成角的余弦值为.
8.【2017高中数学联赛B卷(第01试)】在正四面体ABCD中,E、F分别在棱AB、AC上,满足BE=3,EF=4,且EF与面BCD平行,则△DEF的面积为.
9.【2016高中数学联赛(第01试)】设P为一圆锥的顶点,A、B、C是其底面圆周上的三点,满足∠ABC=90°,M为AP的中点若AB=1,AC=2,AP=√2,则二面角M-BC-A的大小为.
10.【2014高中数学联赛(第01试)】正四棱锥P-ABCD中,侧面是边长为1的正三角形,M,N分别是边AB,BC的中点,则异面直线MN与PC之间的距离是.
11.【2014高中数学联赛(第01试)】设等边△ABC的内切圆半径为2,圆心为I,若点P满足PI=1,则△APB与△APC的面积之比的最大值为.
12.【2013高中数学联赛(第01试)】已知正三棱锥P-ABC底面边长为1,高为√2,则其内切球半径为.
13.【2012高中数学联赛(第01试)】设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球.若正三棱锥P -ABC的侧面与底面所成的角为45°,则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是. 14.【2011高中数学联赛(第01试)】在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.
15.【2010高中数学联赛(第01试)】正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等,P是CC1的中点,二面角B?A1P ?B1=α,则sinα=.
16.【2008高中数学联赛(第01试)】一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4√6的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.
17.【2007高中数学联赛(第01试)】已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1.以顶点A为球心,2√3
3
为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于.
18.【2006高中数学联赛(第01试)】底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为1
2
cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水cm3
19.【2005高中数学联赛(第01试)】如图,四面体DABC的体积为1
6,且满足∠ACB=45°,AD+BC
√2
=3,则
CD=.
20.【2004高中数学联赛(第01试)】如图,正方体ABCD?A1B1C1D1中,二面角A-BD1-A1的度数是.
优质模拟题强化训练
1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=4.若三棱锥P-ABC的外接球的半径为2√2,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为____________ .
2.棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体,且该四面体可以在正方体内任意转动,则x的最大值为___ _________ .
3.若半径R=2+√6cm的空心球内部装有四个半径为r的实心球,则r所能取得的最大值为____________cm.
4.已知正四棱锥Γ的高为3,侧面与底面所成角为π
3
,先在Γ内放入一个内切球O1,然后依次放入球O2,O3,O4,?,使得后放入的各球均与前一个球及Γ的四个侧面均相切,则放入所有球的体积之和为_____ .
5.空间有4个点A、B、C、D,满足AB=BC=CD.若∠ABC=∠BCD=∠CDA=36°,那么直线AC与直线BD所成角的大小是______ .
6.四个半径都为1的球放在水平桌面上,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).有一个正方体,其下底与桌面重合,上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触,则该正方体的棱长为__________.
7.四面体ABCD中,已知AB=2,AD=11
2,BC=8,CD=19
2
,则异面直线AC与BD所成角的正弦值是_____.
8.在三棱锥P?ABC中,三条棱PA、PB、PC两两垂直,且PA=1、PB=2、PC=2.若点Q为三棱锥P?ABC的外接球球面上任意一点,则Q到面ABC距离的最大值为______.
9.如图,在三棱锥P?ABC中,△PAC、△ABC都是边长为6的等边三角形.若二面角P?AC?B的大小为120°,则三棱锥P?ABC的外接球的面积为______.
10.四棱锥P?ABCD的底面ABCD是一个顶角为60°的菱形,每个侧面与底面的夹角都是60°,棱锥内有一点M到底面及各侧面的距离皆为1,则棱锥的体积为______.
11.若△A1A2A3的三边长分别为8、10、12,三条边的中点分别是B、C、D,将三个中点两两连结得到三条中位
线,此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图,则此三棱锥的外接球的表面积是________.
12.已知棱长√3的正方体ABCD?A1B1C1D1内部有一圆柱,此圆柱恰好以直线AC1为轴,则该圆柱体积的最大值为_____.
13.半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球,则大球的半径是________
14.已知空间四点A,B,C,D满足AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD,且AB=AC=AD=1,Q是三棱锥A?BCD的外接球上的一个动点,则点Q到平面BCD的最大距离是______.
15.在四面体ABCD中,面ABC与面BCD成60°的二面角,顶点A在面BCD上的射影H是ΔBCD的垂心,G是ΔABC的重心.若AH=4,AB=AC,则GH=______.
16.四面体P-ABC,PA=BC=√6,PB=AC=√8,PC=AB=√10,则该四面体外接球的半径为________. 17.边长为2的正方形,经如图所示的方式裁剪后,可以围成一个正四棱锥,则此正四棱锥的体积最大值为____ ____.
18.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,已知对角线A1C=4,B1D=2.若空间一点P使PA1=3,PC=5,则PB12+ PD2=______.
?,AC?的中19.如图, O是半径为1的球的球心, 点A、B、C在球面上OA、OB、OC两两垂直,E、F分别为圆弧AB
点.则点E、F在该球面上的球面距离为______.
20.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球则正四面体棱长的最小值为_______ .
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量及空间向量高考数学专题训练
平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
高二数学-空间向量与立体几何测试题
1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( ) A .0 B.1 C. 2 D. 3 2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量1D A 、1D C 、11C A 是 ( ) A .有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 D .不共面向量 3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( ) A .// B .⊥ C .也不垂直于不平行于, D .以上三种情况都可能 4.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 三向量共面,则实数λ等于 ( ) A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c , 则1A B = ( ) A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=19,则向量a 与b 之间的夹角><,为( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 7.若a 、b 均为非零向量,则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的 中线长为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9.已知则35,2,23+-=-+= ( ) A .-15 B .-5 C .-3 D .-1