数学期望与方差

第三章 随机变量的数字特征

学习目的与要求：

本章主要讨论随机变量的数字特征，概率分布全面地描述随机变量取值的统计规律性，而数字特征则描述这种统计规律性的某些重要特征。本章总的要求是：理解期望与方差的概念，掌握期望与方差的性质与计算，会计算随机变量函数的期望；掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的期望与方差；了解协方差、相关系数的概念和性质，会求相关系数，知道矩与协方差阵的概念及求法。重点内容是：期望、方差、协方差的计算，随机变量函数的数字期望；难点内容是：随机变量函数的数学期望。 3.1 数学期望与方差

3.2 协方差、相关系数、协方差矩阵 3.3 条件数学期望与回归 3.4 特征函数及其性质

3.1 数学期望与方差

1. 随机变量的期望

１）离散型随机变量的期望

设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,}{===k p x X P k k ， 则X 的数学期望（简称均值或期望）为∑=i

i

i p

x X E )(。

２）连续型随机变量的期望

1设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，

则随机变量X 的数学期望（或称期望或均值），记为)(X E ，即dx x xf X E ?

+∞

∞

-=

)()( 。

2连续型随机变量函数的数学期望

设X 为连续型随机变量，其概率密度为)(x f X ，又随机变量)(X g Y =，则

dx x f x g X g E Y E X )()())(()(?+∞

∞

-== 。

３）二维随机变量函数的期望

1

若

),(Y X 为离散型随机变量，若其分布律为

)

,2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i ，

边

缘

分

布

律

为

2,1,}{.====∑i p x X P p j

ij i i 和 2,1,}{.====∑j p y Y P p i

ij j j

则ij

i

i

j

i

i i p

x p x X E ∑∑∑==

.

)(，ij

j

i

j

i

j

i p

y p y Y E ∑∑∑==

.)(

2 若),(Y X 为二维连续型随机变量，),(y x f ，)(x f X ，)(y f Y 分别为),(Y X 的

概率密度与边缘概率密度，则?

?

?

+∞

∞

-+∞∞-+∞

∞

-==

dxdy y x xf dx x xf X E X ),()()(，

??

?

+∞∞

-+∞∞-+∞

∞

-==dxdy y x yf dy y yf Y E Y ),()()(。

3 设),(Y X g 为连续函数，对于二维随机变量),(Y X 的函数),(Y X g ，

若),(Y X 为离散型随机变量，则∑∑=i

j

ij

j

i

p

y x g Y X g E ),()),((；

若),(Y X 为连续型随机变量，则??

+∞∞-+∞

∞

-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()),((。

2. 期望的性质

１）常数的期望等于这个常数，即C C E =)(，其中C 为常数。

２）常数与随机变量X 乘积的期望等于该常数与随机变量X 的期望的乘积，即

)()(X E C CX E ?=

３）随机变量和的期望等于随机变量期望的和，即)()()(Y E X E Y X E +=+， 若X ，Y 是相互独立的随机变量，则)()()(Y E X E XY E = 3. 随机变量的方差

１）随机变量X 的方差：设随机变量2

))((X E X -的期望存在，则称2

))((X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即)(X D =2

))((X E X E -，称)(X D 为X 的标准差（或均方差）。 ２）离散型随机变量的方差

设X 为离散型随机变量，其分布律为 2,1,}{===k p x X P k k ，则

i n

i i p X E x X D 2

1

))(()(∑=-=

３）连续型随机变量的方差

设X 为连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，则dx x f X E x X D )())(()(2?

+∞

∞

--=

４）方差计算的重要公式：

22)]([)()(X E X E X D -=

4 方差的性质

１）常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即

0)(=C D ，)()(X D C X D =+ 。

２）常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的平方与随机变量方差的乘积，即

)()(2X D C CX D =，其中C 为常数。

３）若X ，Y 是相互独立的随机变量，则)()()(Y D X D Y X D +=+。 5. 几种重要的随机变量的数字特征汇总表

3.2 协方差、相关系数、协方差矩阵

1. 协方差

设有二维随机变量),(Y X ，且)(),(Y E X E 存在，如果))]())(([(Y E Y X E X E --存

在，则称此值为X 与Y 的协方差，记为),(Y X Cov ，即

),(Y X C o v =))]())(([(Y E Y X E X E --。

1 当),(Y X 为二维离散型随机变量时，

其分布律为 ),2,1,,2,1}(,{ =====j i y Y x X P p j i ij

离散型

分布 期望 方差

X 服从参数为p 的

0-1分布

p pq

X 服从二项分布

),(~p n B X

np npq

X 服从泊松分布

)(~λP X

λ

λ

连续型

均

匀

分

布

),(~b a U X

2b

a + 12

)(2

a b - 指数分布)(~λE X λ

1 2

1

λ

正

态

分

布

),(~2

σμN X

μ

2σ

则),(Y X Cov ij j

i

j

i

p Y E y

X E x ))(())((--=

∑∑。

2 当),(Y X 为二维连续型随机变量时，),(y x f 为),(Y X 的概率密度，则

),(Y X Cov dxdy y x f Y E y X E x ),())(())((--=?

?

+∞∞-+∞

∞

-。

3 协方差有下列计算公式：（重要公式）

),(

Y X C o v )()()(Y E X E XY E -=，特别的取Y X =时， 有)())]())(([(),(X D X E X X E X E X X Cov =--=

),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+

2. 协方差的性质

１）),(),(X Y Cov Y X Cov =；

２）),(),(Y X abCov bY aX Cov =，其中b a ,为任意常数； ３）),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+；

４）若X ，Y 是相互独立的随机变量，则),(Y X Cov 0=。 3. 相关系数

若0)(,0)( Y D X D ,称)

()()

,(Y D X D Y X Cov 为X 与Y 的相关系数，记为

XY ρ，即XY ρ=

)

()(),(Y D X D Y X Cov 。

4. 相关系数的性质 １）1≤XY ρ ；

２）

1=XY ρ的充分必要条件是存在常数b a ,使1}{=+=b aX X P 且0≠a 。

两个随机变量的相关系数是两个随机变量间线性联系密切程度的度量，XY ρ越接近1，

X 与Y 之间的线性关系越密切。当1=XY ρ时，Y 与X 存在完全的线性关系，即

b aX Y +=；0=XY ρ时，X 与Y 之间无线性关系。

若相关系数

0=XY ρ，则称X 与Y 不相关。

很明显，当0)(,0)( Y D X D 时，随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件是

),(Y X Cov 0=。

注意： 1若随即变量X 与Y 相互独立，则),(Y X Cov 0= ，因此X 与Y 不相关，

反之，随机变量X 与Y 不相关，但X 与Y 不一定相互独立。

2若二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布),,,,(2

22121ρσσμμN ，X 与Y 的相

关系数XY ρρ=，从而X 与Y 不相关的充要条件是X 与Y 相互独立，因此X 与Y 不相关和X 与Y 相互独立都等价于0=ρ。

3.3 条件数学期望与回归