如何计算π的值(MATLAB)

如何计算π的值

1、蒙特卡罗（Monte Carlo ）法

思想：

取一正方形A ，以A 的一个顶点为圆心，A 的边长为半径画圆，取四分之一圆（正方形内的四分之一圆）为扇形B 。已知A 的面积，只要求出B 的面积与A 的面积之比B

A

S k S =

，就能得出B S ，再由B 的面积为圆面积的四分之一，利用公式2=S R π圆即可求出π的值。因此，我们的目的就是要找出k 的值。

可以把A 和B 看成是由无限多个点组成，而B 内的所有点都在A 内。随机产生n 个点，若落在B 内的有m 个点（假定A 的边长为1，以扇形圆心为坐标系原点。则只要使随机产生横纵坐标x 、y 满足221x y +≤的点，就是落在B 内的点），则可近似得出k 的值，即m

k n

=，由此就可以求出π的值。 程序（1）： i=1;m=0;n=1000; for i=1:n a=rand(1,2); if a(1)^2+a(2)^2<=1 m=m+1; end end

p=vpa(4*m/n,30)

程序运行结果： p =

3.14000000000000000000000000000

2、泰勒级数法

思想：

反正切函数arctan x 的泰勒级数展开式为：

3521

1arctan (1)3521

k k x x x x x k --=-+-???+-+???- 将1x =代入上式有

1111

arctan11(1)43521

n n π

-==-+-???+--. 利用这个式子就可以求出π的值了。 程序（2）： i=1;n=1000;s=0; for i=1:n

s=s+(-1)^(i-1)/(2*i-1); end

p=vpa(4*s,30) 程序运行结果： p =

3.14059265383979413499559996126

当取n 的值为10000时，就会花费很长时间，而且精度也不是很高。原因是1x =时，arctan1的展开式收敛太慢。因此就需要找出一个x 使得arctan x 收敛更快。

若取12x =，则我们只有找出α与4

π的关系，才能求出π的值。 令1arctan 2

α=，4

π

βα=

-，

根据公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

++=

-有1tan 3β=，则有11

arctan arctan 423π=+。

所以可以用1

1arctan arctan 4

2

3

π

=+来计算π的值。

程序（'

2）：

i=1;n=1000;s=0;s1=0;s2=0; for i=1:n

s1=s1+(-1)^(i-1)*(1/2)^(2*i-1)/(2*i-1); s2=s2+(-1)^(i-1)*(1/3)^(2*i-1)/(2*i-1); end s=s1+s2; p=vpa(4*s,30) 程序运行结果： p =

3.14159265358979323846264338328

显然，级数收敛越快，取同样的n 值可以得到更高的精度。以同样的方法，能得出1

1

4arctan arctan

4

5239

π

=+，程序和上面的一样。这样π的近似值可以精确到几百位。

3、数值积分法

思想：

半径为1的圆的面积是π。以圆心为原点建立直角坐标系，则

圆在第一象限的扇形是由y =与x 轴，y 轴所围成的图形，扇形的面积

4

s π

=

。只要求出扇形的面积，就可得出π

的值。而扇形面积可近似等于定积

分?的值。

对于定积分()b

a f x dx ?的值，可以看做成曲线与x 轴，x a =，x

b =所围的曲边梯形的面积S 。把[],a b 分成n 等分，既得1n +个点x a =，1x ，

???1n x -，x b =组成n 个小区间，每一个小区间与x 轴，x a =，x b =所围

成的图形是一个小曲边梯形。而梯形的面积计算公式是

(+)2?÷上底下底高，对于第i 个小曲边梯形有上底为1()i f x -，下底为()i f x 。所有小梯形的高都为()/h b a n =-。所以第i 个小曲边梯形的面

积为1(()+())2i i f x f x h -?÷。曲边梯形的总面积即定积分()b

a f x dx ?的值就是所有小梯形的面积总和。

为了避免根号，我们也可以利用积分

1

2

0114

dx x π

=+? 得出π的值。

我们可以利用对求曲边梯形的面积来得出定积分1

2

1

1dx x

+?的值，从而得出π的值。 程序（3）：

a=0;b=1;s=0;n=1000;i=0; h=(b-a)/n; for i=0:(n-1) xi=a+i*h; yi=1/(1+(xi)^2);

xj=a+(i+1)*h;

yj=1/(1+(xj)^2);

s=s+(yi+yj)*h/2;

end

p=vpa(4*s,30)

程序运行结果：

p =

3.14159248692312775830259852228

对于数值积分法求π值，以上程序简洁明了。我们也可以以x做循环，用一条语句求出π值。

程序（3’）：

s=0;n=1000;

for x=0:(1/n):(1-(1/n))

s=s+(1/(1+x^2)+1/(1+(x+(1/n))^2))*(1/n)/2;

end

p=vpa(4*s,30)

程序运行结果：

p =

3.14159248692312775830259852228

用以上三种方法求π，n都取1000时，泰勒级数法求π，得到的近似值精度最高。