第二章函数、导数及其应用

第二章函数、导数及其应用 (时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(每小题5分，共60分) 1. 函数f(x)＝lg(x －1)的定义域是(B) A. (2，＋∞) B. (1，＋∞) C. [1，＋∞) D. [2，＋∞)

解析由对数的定义知x －1＞0，故x ＞1. 2. (2015·上海奉贤区调研)与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是(D) A. y ＝x B. y ＝alog a x(a ＞0且a ≠1) C. y ＝x 2

D. y ＝log a a x (a ＞0且a ≠1)

解析 y ＝x 的定义域为R ，对应关系为函数值与自变量相等．y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，y ＝alog a x 的定义域为(0，＋∞)，y ＝x 2

x 的定义域为{x|x ≠0}，y ＝log a a x ＝x ，且定义域

为R ，故选D.

3. (2015·烟台期末)若函数f(x)＝?

????x －3，x ≥5，

f （x ＋2），x ＜5，则f(2)的值为(B)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解析 ∵2<5，∴f(2)＝f(2＋2)＝f(4)．∵4<5，∴f(4)＝f(4＋2)＝f(6)．∵6 >5，∴f(6)＝6－3＝3，∴f(2)＝3，故选B.

4. (2016·日照检测)函数f(x)＝

sin x

x 2＋1

的图象大致为(A)

解析 ∵函数f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝sin （－x ）（－x ）2＋1＝－sin x

x 2＋1＝－f(x)，∴函数f(x)

为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C ，D.又当0＜x ＜π时，sin x ＞0, f(x)＞0，可排除

B ，故A 正确．

5. (2015·北京石景山区期末)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增，并且是偶函数的是(A)

A. y ＝x 2

B. y ＝－x 3

C. y ＝－lg|x|

D. y ＝2x

解析由题意易知，函数y ＝x 2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝－x 3为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝－lg|x|为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝2x 既不是奇函数也不是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增．故选A.

6. 已知函数f(x)＝?

????kx ＋2，x ≤0，

ln x ，x ＞0，若k ＞0，则函数y ＝|f(x)|－1的零点个数是(D)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析由y ＝|f(x)|－1＝0，得|f(x)|＝1，若x ＞0，则|f(x)|＝|ln x|＝1，∴ln x ＝1或ln x ＝－1，解得x ＝e 或x ＝1

e .若x ≤0，则|f(x)|＝|kx ＋2|＝1，∴kx ＋2＝1或kx ＋2＝－1，解得x

＝－1k <0或x ＝－3

<0成立，∴函数y ＝|f(x)|－1的零点个数是4.

7. (2016·绥化联考)已知函数f(x)的图象向右平移a(a ＞0)个单位后关于x ＝a ＋1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ????－1

2，b ＝f(2)，c ＝f(e)，则a ，b ，c 的大小关系为(D)

A. c ＞a ＞b

B. c ＞b ＞a

C. a ＞c ＞b

D. b ＞a ＞c

解析 ∵函数f(x)的图象向右平移a(a ＞0)个单位后关于 x ＝a ＋1对称，∴函数f(x)的图象关于x ＝1对称，则有f(x)＝f(2－x)，∴f ????－12＝f ????2－????－12＝f ????5

2.由x 2＞x 1＞1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∵1＜2＜5

＜e ，∴f(2)＞f

???

?52＞f(e)，∴b ＞a ＞c.故选D. 8. (2015·贵阳检测)函数y ＝x 3

3x －1

的图象大致是(C)

解析由题意得，x ≠0，排除 A.当x ＜0时，x 3

＜0，3x

－1＜0，∴x 3

3x －1

＞0，排除

B.∵x →＋∞时，x 33x －1

→0＋

，∴排除D.故选C.

9. 若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在????1

2，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是(D) A. [－1，0] B. [－1，＋∞)

C. [0，3]

D. [3，＋∞)

解析由条件知f′(x)＝2x ＋a －1x 2≥0在????12，＋∞上恒成立，即 a ≥1

x 2－2x 在????12，＋∞上恒成立，函数y ＝1x 2－2x 在????12，＋∞上为减函数，y max ＜1???

122－2×1

2＝3 a ≥3. 10. 已知函数f(x)是R 上的奇函数，若对于 x ≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈[0，2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(－2 013)＋f(2 012)的值为(B)

A. －2

B. －1

C. 1

D. 2

解析由f(x ＋2)＝f(x)知，函数f(x)的周期为2，∴f(－2 013)＋f(2 012)＝－f(2 013)＋f(1 006×2＋0)＝－f(1 006×2＋1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－1.

11. (2015·北京朝阳区模拟)已知定义在R 上的函数f(x)＝?

???

?x （|x|＋1），x ＜1，2x －2，x ≥1，若直线y

＝a 与函数f(x)的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是(B)

A. (0，2)

B. [0，2)

C. (0，2]

D. [1，2]

解析当0≤x ＜1时， f(x)＝x 2＋x ；当x ＜0时， f(x)＝－x 2＋x ，∴f(x)＝?????－x 2

＋x ，x ＜0，x 2

＋x ，0≤x ＜1，2x －2，x ≥1.

画出f(x)的图象如图，由直线y ＝a 与函数f(x)的图象恰有两个公共点，数形结合，可得0≤a ＜2.故选B.

12. (2015·湖北高考)已知符号函数sgn x ＝????

?1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.f(x)是R 上的增函数，g(x)＝f(x)

－f(ax)(a ＞1)，则(B)

A. sgn[g(x)]＝sgn x

B. sgn[g(x)]＝－sgn x

C. sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]

D. sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]

解析 ∵f(x)是R 上的增函数，a ＞1，∴当x ＞0时， f(x)＜ f(ax)，即g(x)＜0；当x ＝0时， f(x)＝f(ax)，即g(x)＝0；当x ＜0时， f(x)＞f(ax)，即g(x)＞0.由符号函数sgn x ＝?????1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0知sgn[g(x)]＝????

?－1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0

＝－sgn x. 二、填空题(每小题5分，共20分)

13. (2016·宝鸡检测)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，若 f(x －1)≤0，则x 的取值范围为__[－1，1)∪[3，＋∞)__．

解析作出辅助图如图，易知x －1≥2或－2≤x －1＜0，解得－1≤x ＜1或x ≥3.

14. (2015·长春质量监测)已知a ＞0且曲线y ＝x ，x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝__4

__．

解析由题意，得a 2

＝??

xdx ＝23x 32|a

0＝23a 3

2－23032，∴a ＝49

15. 设点P 在曲线y ＝1

2e x 上，点Q 在曲线y ＝ln 2x 上，则|PQ|的最小值为ln__2)__．

解析 ∵y ＝12e x 与y ＝ln 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，∴可转化为求y ＝1

2e x 图象上的

点P ????x ，1

2e x 到直线y ＝x 的距离d ＝???

12e x －x 2

的最小值．设g(x)＝12e x －x ，则g′(x)＝1

e x －

1.∴g(x)min ＝1－ln 2，d min ＝

1－ln 2

， ∴|PQ|min ＝2×

1－ln 2

＝2(1－ln 2)． 16. (2015·甘肃联考)已知曲线y ＝(a －3)x 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，且函数f(x)＝x 3－ax 2－3x ＋1在[1，2]上单调递减，则a 的取值范围为__????94，3__．

解析 ∵曲线y ＝(a －3)x 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，y′＝3(a －3)x 2＋1

x ＝

3（a －3）x 3＋1

x ＝0在x ＞0时有解，因此 3(a －3)x 3＋1＝0，此时a －3＜0，得a ＜3.函数f(x)

＝x 3－ax 2－3x ＋1在[1，2]上单调递减，则f ′(x)≤0，∴f ′(x)＝3x 2－2ax －3≤0恒成立，即2a ≥3x 2－3x ＝3x －3x .函数y ＝3x －3x 在区间[1，2]上单调递增，最大值为6－32＝92，∴2a ≥92，

a ≥9

.因此a 的取值范围为????94，3. 三、解答题(共70分)

17. (10分)函数f(x)是R 上的偶函数，且当x ＞0时，函数的解析式为f(x)＝2

x －1.

(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x ＜0时，函数的解析式．

解析 (1)设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝????2x 1－1－????2x 2－1＝2（x 2－x 1）x 1x 2， ∵0＜x 1＜x 2，

∴x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，

∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即 f(x 1)＞f(x 2)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(4分) (2)设x ＜0，则－x ＞0， ∴f(－x)＝－2

－1.(6分)

又f(x)为偶函数，

∴f(－x)＝f(x)＝－2

x －1，(8分)

即f(x)＝－2

－1(x ＜0)．(10分)

18. (12分)已知x ∈R ，函数f(x)＝2x ＋k·2－

x ，k ∈R .

(1)若函数f(x)为奇函数，且f(2m ＋1)＋f(m 2－2m －4)＞0，求实数m 的取值范围；

(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－

x 成立，求实数k 的取值范围．解析 (1)∵函数f(x)为奇函数且x ∈R ，

∴f(0)＝0，即20＋k ×20＝0，解得k ＝－1，∴f(x)＝2x －2－

x .(2分)

∵f ′(x)＝2x ln 2＋2－x ln 2＝(2x ＋2－

x )ln 2＞0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．(4分)

∵f(2m ＋1)＋f(m 2－2m －4)＞0，即f(2m ＋1)＞f[－(m 2－2m －4)]， ∴2m ＋1＞－(m 2－2m －4)，

∴m ＜－3或m ＞ 3.(6分)

(2)∵对任意的x ∈[0，＋∞)，2x ＋k·2－x ＞2－

x ，即22x ＋k ＞1， ∴k ＞1－22x 对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， ∴k ＞(1－22x )max .(9分)

又t ＝1－22x ＝1－4x 在[0，＋∞)单调递减， ∴t ≤1－40＝0，∴k ＞0.(12分) 19. (12分)(2015·贵阳监测)已知函数f(x)＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0，1]． (1)证明：f(x)≥0；

(2)若a ＜e x －1

＜b 在x ∈(0，1)上恒成立，求b －a 的最小值．

解析 (1)当x ∈[0，1]时， f ′(x)＝xe x ≥0，即f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，即结论成立．(3分)

(2)令g(x)＝e x －1x ，则g′(x)＝（x －1）e x ＋1

x 2

＞0，x ∈(0，1)，(5分)

∴当x ∈(0，1)时，g(x)＜g(1)＝e －1，要使e x －1x ＜b 成立，只需b ≥e －1，要使e x －1

x ＞

a 成立，只需e x －ax －1＞0在x ∈(0，1)恒成立．(7分)

令h(x)＝e x －ax －1，x ∈(0，1)，则h′(x)＝e x －a ，由x ∈(0，1)，得e x ∈(1，e)，(8分) ①当a ≤1时，h′(x)≥0，此时x ∈(0，1)，有h(x)＞h(0)＝0成立，∴a ≤1满足条件； ②当a ≥e 时，h′(x)≤0，此时x ∈(0，1)，有h(x)＜h(0)＝0，不符合题意，舍去；

③当1＜a ＜e 时，令h′(x)＝0，得x ＝ln a ，可得当x ∈(0，ln a)时，h′(x)≤0，即x ∈(0，ln a)时，h(x)＜h(0)＝0，不符合题意，舍去．

综上，a ≤1.(11分)

又b ≥e －1，∴b －a ≥e －2，即b －a 的最小值为e －2.(12分)

20. (12分)已知函数f(x)＝1

x 2－aln x(a ＞0)．

(1)若f(x)在x ＝2处的切线与直线3x －2y ＋1＝0平行，求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[1，e]上的最小值．解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f ′(x)＝x －a x ＝x 2

－a

由f(x)在x ＝2处的切线与直线3x －2y ＋1＝0平行，得f ′(2)＝

4－a 2＝3

，a ＝1.(2分) 此时f(x)＝12x 2

－ln x, f ′(x)＝x 2－1x .令f ′(x)＝0，得x ＝1.