湖北省部分重点中学(天门中学等)2019届高三上学期期中联考数学理试题

2019年秋季湖北省部分重点中学期中联考

高三数学理科试卷

命题学校：天门中学 命题教师：陈铁柱 审题教师：李堃

考试时间：2019年11月19日上午8：00-10：00 试卷满分：150分

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡相应的位置）．

1．设数列{x n }满足ln x n ＋1＝1＋ln x n ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝10.则x 21＋x 22＋x 23＋…＋x 30的值为 ( )

A ．11·e 20

B ．11·e 21

C ．10·e 21

D ．10·e 20

2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1 OA →＋a 2009OC →

，且A 、B 、C 三点共线(O 为该直线外一点)，则S 2009等于 ( )

A ．2009 B.20092

C ．22009

D ．2－

2009

3．在锐角△ABC 中，若1tan ,1tan -=+=t B t A ，则t 的取值范围是（ ） A ．（－1，1） B ．（1，+∞）

C ．（)2,2-

D ．+∞,2(）

4设00sin14cos14a =+，00

sin16cos16b =+，2

c =

，则,,a b c 大小关系（ ） A. a b c << B. b a c << C. c

5．已知函数f (x )＝2sin(w x ＋φ)(w ＞0,0＜φ＜π)，且函数的图象如图所示，则点(w ，φ)的坐标是 ( )

A ．(2，π

3)

B ．(4，π

3)

C ．(2，2π

3

)

D ．(4，2π

3

)

6．设0＜x ＜1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 2

1－x

的最小值为

( )

A ．(a －b )2

B ．(a ＋b )2

C ．a 2b 2

D ．a 2

7．已知数列｛a n ｝为等差数列，若11

10

1a a <-，且它们的前n 项和为S n 有最大值，则使得S n ＜0的n 的最小值为（ ）

A ．11

B ．19

C ．20

D ．21

8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．已知对任意的a b S ∈，，有

()**a b a b =;则对任意的a b S ∈，，给出下面四个等式:

(1)()**a b a a =

(2)

[()]()****a b a a b a

= (3)

()**b b b b =

(4)()[()]****a b b a b b = 上面等式中恒成立的有( ) A ．（1）、（3） B ．（3）、（4）

C ．(2)、（3）、（4）

D ．（1）、（2）、（3）、（4）

9．设奇函数f(x )在[—1，1]上是增函数,且f (—1)= 一1，若函数，f (x )≤t 2

一2 a t+l 对所有的x ∈[一

1,1]都成立,则当

a ∈[-1，1]时，t 的取值范围是

( )

A ．一2≤t ≤2

B 21-≤t ≤21 C.t ≤一2或t = 0或t ≥2 D ．t ≤2

1-或t=0或t ≥21

10．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，动点P 在以点C 为圆心，1为半径的圆上，若

(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则2λμ+的取值范围是（ ）

A ．[3

B ．[322-

+

C ．[3

D ．[3-+

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝1，∠B ＝45°，△ABC 的面积S ＝2，那么△ABC 的外接圆的直径等于__________．

12.若函数52)(2

3

+-+=x ax x x f 在区间（2

1

,

31）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则实数a 的取值范围是_____ ______.

13 已知)(x f 是偶函数，当+

∈R x 时， ,0)1(,)

()(=>

'f x

x f x f 且 则关于x 的不等式 0)

(>x

x f 的解集是___________ 14、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满

3

]

)21()1(1[(OP λλλ++-+-=

）（λ∈R ）, 则P 的轨迹一定过△ABC 的__________

15.设N=2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N 。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2

N

个数和后

2

N

个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ， 将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2

N

个数，并对每段作C 变换，得到P 2当2≤i ≤n-2时，

将P i 分成2i 段，每段2

i N

个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，

此时x 7位于P 2中的第4个位置。

（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；

（2）当N=2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置。

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分12分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A (3,0)、B (0,3)，C (cos α，sin α)，其中π

2

＜α

＜3π2

. (1)若|AC →|＝|BC →

|，求角α的值；

(2)若AC →·BC →

＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α

的值．

17（本小题满分12分）用向量的方法证明三角形的三条高线交于一点。

18．（本小题满分12分）已知命题“:p 85],2,1[2+≤-∈?a m a ”

；命题“q ：函数1)6()(23++++=x m mx x x f 在R 上有极值”. 求使“p 且q ?”为真命题的实数m 的

取值范围。

19．（本小题满分12分）设函数322()21(2)f x x mx m x m m =---+->-的图象在x =2处的切线与直线x －5y －12=0垂直． （Ⅰ）求函数()f x 的极值与零点； （Ⅱ）设1()ln x

g x x kx

-=+，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，求实数k 的取值范围；

20．（本小题满分13分） 在△ ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，5

82

2

2

bc

b c a -=-，a =3,△ ABC 的面积为6，D 为△ ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。

(1)求角A 的正弦值； (2)求边b 、c ； (3)求d 的取值范围。

21．（本题满分14分）顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点0(1,1)A ，过点0A 作抛物线的切线

交x 轴于点B 1，过点B 1作x 轴的垂线交抛物线于点A 1，过点A 1作抛物线的切线交x 轴于点B 2，…，过点(,)n n n A x y 作抛物线的切线交x 轴于点11(,0)n n B x ++． （1）求数列{ x n }，{ y n }的通项公式()n N *∈；

（2）设11111n n n a x x +=

++-，数列{ a n }的前n 项和为T n ．求证：1

22

n T n >-； （3）设2

1l

o g n n b y =-，若对于任意正整数n ，不等式1211(1)(1)b b +

+ (1)

(1)n

b +

≥求正数a 的取值范围．

2019年秋季湖北省部分重点中学期中联考

高三数学试卷答案

2；三点共线，系数和为

1. 4：平方法。7：101110110,0,0,0d a a a a <><+< 10：圆的参数方程的应用

二、填空题：

11， 5 2 。 12 ,

55

42

a <<（补集法）。 13，).,1()0,1(+∞?-。 14，重心。 15

三、解答题

16，解析：(1)AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →

＝(cos α，sin α－3)，

∵|AC →|＝|BC →|，∴|AC →|2＝|BC →|2， 即(cos α－3)2＋sin 2α＝cos 2α＋(sin α－3)2，

化简得sin α＝cos α. ∵π2＜α＜3π2，∴α＝5π

4

. -------------6分 (2)－1＝AC →·BC →

＝cos α(cos α－3)＋sin α(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)，

∴sin α＋cos α＝2

3

.

于是2sin α·cos α＝(sin α＋cos α)2－1＝－5

9

，

故2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin α(sin α＋cos α)cos α＋sin α

cos α

＝2sin α·cos α＝－59. --------------12分

17解析：如图所示，在ABC ?中作 AD BC ⊥于D ,BE AC ⊥于E ,AD 与BE 交于F ，连接CF , 只需证CF AB ⊥,即0CF AB ?=------------4分 证明：

0AD BC AF BC ⊥∴?=

同理0BF AC ?=

展开 AC BC CF BC CF AC ?=-?=-? -------8分

()0CF BC CA ?+=即0CF BA ?=

∴三角形的三条高线交于一点。 ------------12分

B

D

18．解：85],2,1[2

+≤-∈?a m a ,只需|5|-m 小于82+a 的最小值,而当]2,1[∈a 时，

82+a ≥382,3|5|≤≤≤-∴m m 即 ----------------6分

1)6()(23++++=x m mx x x f 存在极值0623)(2=+++='∴m mx x x f 有两个不等的实根,

2412(6)0,m m ∴-+>23180m m -->即6m >∴或3-

19．解：（Ⅰ）因为22()34f x x mx m '=---，所以2(2)1285f m m '=---=-， 解得：1m =-或7m =-，又2m >-，所以1m =-， ………2分

由2

()3410f x x x '=-+-=，解得11x =，213

x =，列表如下：

所以()()327

f x f ==

极小值，()(1)2f x f ==极大值， ………4分 因为3

2

2

()22(2)(1)f x x x x x x =-+-+=--+，

所以函数()f x 的零点是2x =． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当[0,1]x ∈时，min 50()27

f x =

， “对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >”等价于“

()f x 在[0,1]上的最小值大于()

g x

在(0,1]上的最小值，即当(0,1]x ∈时，min 50()27

g x <

”， ………6分 因为22

1

11()x k g x kx x x

-

'=-

+=， ① 当0k <时，因为(0,1]x ∈，所以150

()ln 027

x g x x kx -=+≤<

，符合题意； ② 当01k <≤时，

1

1k

≥，所以(0,1]x ∈时，()0g x '≤，()g x 单调递减， 所以min 50

()(1)027g x g ==<

，符合题意； ③ 当1k >时，101k <<，所以1(0,)x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，1

(,1)x k

∈时，

()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0,1]x ∈时，min 111

()()1ln g x g k k k

==-+，

令23

()ln 27

x x x ?=--（01x <<），则1()10x x ?'=->，所以()x ?在(0,1)上单调递增，所以

(0,1)x ∈时，50()(1)027x ??<=-<，即23

ln 27

x x -<

， 所以min 1112350

()()1ln 12727

g x g k k k ==-+<+=

，符合题意， 综上所述，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，

则实数k 的取值范围是(,0)(0,)-∞?+∞． ………12分 20，解：(1) 5

8222bc

b c a -

=-?5

4

2222

=

-+bc a c b

?54

cos =A ?5

3sin =A --------------3分

(2) 65

3

21sin 21=?==?bc A bc S ABC ，=∴bc 20 A

由5

42222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4 ---------------------8分

(3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ，则6)543(2

1

=++=?z y x S ABC

)2(5

1

512y x z y x d ++=++=

又x 、y 满足??

???≥≥≤+，，，

001243y x y x

画出不等式表示的平面区域得：

45

12

<

则设过点(,)n n n A x y 的切线为2

2()n

n n y x x x x -=-．

令0,2n x y x ==

，故12

n n x x +=． 又01x =，所以12n n x =

，1

4n n

y =． ……………………………………………4分 （II ）由（1）知1

()2

n n x =．

所以1

1111221121211()1()

22

n n n n n n n a +++=+=+

+-+- 21121n n +-=++1121121n n ++-+-1121n

=-++1+11

21

n +- 12(

21n =--

+11

21

n +-) ．……………………………………………6分 由11212n n <+，11

11

212n n ++>-， 得

121n -+1121n +-12n <-

1

1

2n +． 所以n a 12(

21n =--+1121n +-)12(2n >--1

1

2

n +)．…………………………7分 从而122231

1111

11[2()][2()][2()]2222

22n n n n T a a a +=++

+>--+--+

+-- 22311111

1

1

2[()()]()]2

2

22

2

2

n n n +=--+-++- 1

111

2()2222

n n n +=-->-，

即n T >1

22

n -．…………………………………………………………………9分 （III ）由于1

4n n

y =

，故21n b n =+．

对任意正整数n ，不等式1

2

111

(1)(1)(1)n

b b b +++

≥

即a 12

111

(1)(1)(1)n

b b b +

++

恒成立．

设()f n 12

11

1

(1)(1)(1)n

b b b +++

，………………………………10分 则(1)f n +=

12

1

1111

(1)(1)(1)(1)n n b b b b ++

++

+．

故

(1)

()

f n f n +=11

(1)n b ++

2423n n ++523

n +

1>

所以(1)()f n f n +>，故()f n

递增．…………………………………………12分

则min 4()(1)3f n f ==

=

故0a <．…………………………………………………………………14分