2求导法则
§2求导法则
教学目的与要求：
掌握导数的四则运算法则；会求反函数的导数；掌握复合求导法则；掌握基本求导法则与公式。
教学重点，难点：
导数的四则运算 教学内容：
一、 导数的四则运算
问题：若函数()f x 与()g x 在点0x 都不可导，它们的和()()()H x f x g x =+与积
()()()G x f x g x =在点0x 是否也不可导？
解答：不一定。举例说明。
定理 5.5 若函数)(x u 和)(x v 在点0x 可导,则函数)()()(x v x u x f ±=在点0x 也可导,且
)(')(')('000x v x u x f ±= (1)
证 [][]x
x v x u x x v x x u x f x ?±-?+±?+=→?)()()()(lim )('00000
=x
x v x x v x x u x x u x x ?-?+±?-?+→?→?)
()(lim )()(lim 000000
=).()(00x v x u '±'
□
定理 5.6 若函数0()(),()()()u x v x x f x u x v x =和在点可导则函数在点0x 也可导，且
).(')()()(')('00000x v x u x v x u x f += （2）
证 000000()()()()
'()lim
x u x x v x x u x v x f x x
?→+?+?-=?
=x
x v x u x x v x u x x v x u x x v x x u x ?-?++?+-?+?+→?)()()()()()()()(lim 000000000 =x
x v x x v x u x x v x x u x x u x x ?-?++?+?-?+→?→?)
()()(lim )()()(lim 00000000
)(')()()('0000x v x u x v x u +=
利用数学归纳法可以把 这个法则推广到任意有限个函数乘积的情形。例如：
''')'(uvw w uv vw u uvw ++=
推论 若函数)(x u 在点0x 可导，c 为常数，则
).('))'((00x cv x x x cv == (3)
例1 设,95)(23π+-+=x x x x f 求).('x f 解 由公式（1）、（3），
)'()'(9)'(5)'()('23π+-+=x x x x f
=.91032
-+x x □ 一般地说：多项式函数
n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(
的导数为
.)1()('12110---++-+=n n n a x a n x na x f
它比f 低一个幂次. 例2 设
π
==x y x x y '
,ln cos .
解 由公式(2),
.cos 1
ln sin )(ln cos ln )'(cos 'x x
x x x x x x y +-='+= 所以
.1'
π
π
-==x y
定理 5.7 若函数)
()
()(,0)(,)()(00x v x u x f x v x x v x u =
≠则且都可导在点和在点0x 也可导,且
[]
2
000000)()
(')()()(')('x v x v x u x v x u x f -=
(4) 证 设0)(,)
(1
)(),()()(x x g x v x g x g x u x f 在点现证其中=
=可导由于 x
x v x x v x x g x x g ?-
?+=?-?+)
(1
)(1)()(0000
=.)
()(1
)()(0000x v x x v x x v x x v ?+??-?+-
而000(),,()0,v x x x v x ≠在点可导从而在点连续且因此，()g x 在点0x 可导 ，从而在点
0x 连续，因此
00000200
()()'()
1'()lim ()[()]x x x g x x g x v x g x v x x v x ?→='??+?-===- ???? (5) 应用公式（2）、（5）证得
))]
([)(')(()(1
)(')')()((
)('2
0000000x v x v x u x v x u x v x u x f x x -+=== 2
00000)]([)
(')()()('x v x v x u x v x u -=
例3 证明1)'(----=n n nx x ，其中n 为正整数。 □ 证 由公式（5可得）
121
)1()'(-----=-='=n n n n n
nx x
nx x x 。 □
例4 证明：.csc )'(cot ;sec )'(tan 22x x x x -==
证 由可推得及其公式)4(cos sin tan x x
x =
x
x x x x x x x 2
cos )'
(cos sin cos )'(sin )'cos sin ()'(tan -== x x
x x x 2
2
222sec cos 1cos sin cos ==+= 同理可证x x 2
csc )'(cot -=
例5 证明：.cot csc )'(csc ;tan sec )'(sec x x x x x x -== 证 我们仍只证第一式，由x x cos 1
sec =
及公式（5）有 .tan sec cos sin cos )'(cos )'cos 1()'(sec 22x x x
x
x x x x ==-== □
二、反函数的导数
我们已经求得对数函数与三角函数的导数，为求得它们的反函数的导数，下面先证明反函数求导公式。
定理5.8 设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在点0y 的某邻域内连续，严格单调且0)('0≠y ?，则)(x f 在点))((000y x x ?=可导，且 )
('1
)('00y x f ?=
（6）
证 设)()(),()(0000x f x x f y y y y x -?+=?-?+=???因为?在0y 的某邻域内连续且严格单调，故1-=?f 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=?y 时0=?x 并且当且仅当可得由时,0)(.000≠'→?→?y x y ?
()
.'1
lim
1lim lim
)('00000y y x
x
y
x y x f y y x ?=
??=
??=??=→?→?→? □
例6 证明：
⑴ ),1,0(ln )'(≠>=a a a a a x x 其中
特别地.)'(x x e e = (2)()2
2
11)'(arccos ;11'arcsin x
x x
x --
=-=.
⑶()=
'
x arctan 22
11
;(arc cot )'.11x x x =++ 证 （1）由于R x a y x
∈=, 为对数函数log ,(0,)a x y y =∈+∞的反函数，故由公式 （6）得到
.ln log )'(log 1)'(a a e
y
y a x a a x ===
（2） 由于arcsin ,(1,1)y x x =∈-是y x sin =，)2
,2(π
π-
∈y 的反函数，故由公式（6）得到
)1,1(,11
sin 11cos 1)'(sin 1)'(arcsin 22-∈-=-===
x x y y y x
同理可证：)1,1(,11
)'(arccos 2
-∈--
=x x
x 。
（3） 由于??
?
??-
∈=∈=2,2,t a n ,a r c t a n ππy y x R x x y 是的反函数，因此,11
tan 11sec 1)'(tan 1)'(arctan 2
22x
y y y x +=+===
同理可证：2
1
(arccot )',(,).1x x x
=-∈-∞+∞+ 三、复合函数的导数
问题1：记号(())f g x '与((()))f g x '有何区别？
问题2：求哪些函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义？ 解答：（1）、函数在个别点的函数值单独定义，其余点的函数值由统一解析式定义。 （2）、求分段函数在分段点的导数。
为了证明复合函数的求导公式，我们先证明一个引理。
引理 )(x f 在点0x 可导的充要条件是在0x 的某邻域内，存在一个在点0x 的连续函数，使得000()()()(),()f x f x H x x x x U x -=-∈，从而).()(00x H x f =' 证 设)(x f 在点0x 可导,令
??
?
??='∈--=,0),()(,)
()()(00000x x x f x U x x x x f x f x H 则因
).()(')
()(lim
)(lim 000
00
x H x f x x x f x f x H x x x x ==--=→→
所以).(),)(()()()(0000x U x x x x H x f x f x x H ∈-=-连续且在点
反之，设存在函数()H x ，它在点0x 连续，且
)(),)(()()(000x U x x x x H x f x f ∈-=-
因存在极限 ),()(lim )
()(lim
00
000
x H x H x x x f x f x x x x ==--→→ 所以)(x f 在点0x 可导，且).()(00x H x f ='
注： 引理说明了点0x 是函数0
0)
()()(x x x f x f x g --=
可去间断点的充要条件是)(x f 在
点0x 可导。这个结论可推广到向量函数的导数（第二十三章）。
定理5.9 设)(x u ?=在点0x 可导，)(u f y =在点)(00x u ?=可导，则复合函数f ? 在点0x 可导，且
00000()()()()(())().f x f u x f x x ????'''''== （7） 证 由0)(u u f 在点可导，由引理必要性部分，存在一个在点0u 连续的函数
且使得)()(),(00u F u f u F ='
000()()()(),()f u f u F u u u u U u -=-∈
又由0)(x x u 在点?=可导，同理存在一个点0x 连续的函数)(x Φ，使得)()(00x x Φ='?，且
)(),)(()()(000x U x x x x x x ∈-Φ=-??
于是就有
)
)(())(())
()())((())(())((000x x x x F x x x F x f x f -Φ=-=-??????
因为Φ,?在点0x 连续，F 在点)(00x u ?=连续，因此)())(()(x x F x H Φ=?在点0x 连续，由引理充分性部分证得? f 在点0x 可导，且
)(')(')())(()()()'(000000x u f x x F x H x f ???=Φ== □
注1 复合函数的求导公式（7）亦称为链式法则，函数)(),(x u u f y ?==的复合函数在点x 的求导公式一般也写作
dx
du du dy dx dy ?= （8） 对于由多个函数复合而得的复合函数，其导数公式可反复应用（8）式而得。
注2 )('))(('u f x f =?|)(x u ?=与)('))((')))'(((x x f x f ???=的含义不可混淆。 例7 设2
sin x y =，求'y
解 将的复合函数与看作2
2
sin sin x u u y x ==，故
22cos 22cos )'(sin x x x u x =?= □
注3 必须指出：(
)
.cos 'sin 2
2
x x ≠
例8 设为α实数，求幂函数)0(>=x x y α
的导数。 解 因为x u e y e
x y u x
ln ln ααα
====与可看作的复合函数，故
()
.')'(1ln ln -=?
==αααααα
x x
e e x x x □
例9 设).1('),0(',1)(2f f x x f 求+=
解 由于
,1
)1(121)'1()('2
22
2+=
'++=
+=x x x x x x f
因此.2
1)1(',0)0('=
=f f 例10 求下函数的导函数；
（i ）);1ln()(2x x x f ++= （ii ）.1tan )(2
x
x f = 解 （i ）)'1(11))'1(ln(22
2
x x x x x x ++++=
++
=
.11
111122
2x
x x x x +????
??++++ （ii ）'
??? ??='??? ??='??
? ??x x x x x x 11sec 1tan 21tan 1tan 21tan 22 □
=x
x x 1sec 1tan 222-
例11（对数求导法）设'.),4()
4()2()4()5(2
1531
2y x x x x x y
求>++-+
解 先对函数式取对数，得
2
15312
)
4()2()4()5(ln
ln ++-+=x x x x y
).4ln(2
1
)2ln(5)4ln(31)5ln(2+-+--+
+=x x x x 再对上式两边分别求导数，得
.)
4(21
25)4(3152'+-+--++=x x x x y y 整理后得到
.)4(2125)4(3152)4()2()4()5('2153
12
????
?
?+-+--++++-+=
x x x x x x x x y □ 注4 虽然我们可用导数的乘积和商的公式来求例11中的导数，但用对数求导法显得更为清晰、简便。
例12 设()
()
,()0,()()v x y u x u x u x x =>其中且和v 均可导，试求此幂指函数的导数。
解 ()()ln ()()ln ()'(())()(()ln ())v x v x u x v x u x y u x e e v x u x '''=== ()()()()ln ()()
()v x u x u x v x u x v x u x '??
'=+ ???
()()
()1
()
()ln ()()()().v x v x u x v x u x u x u x v x -''=+
四、 基本求导法则与公式
现在把前面得到的求导法则与基本初等函数的导数公式列出如下： 基本求导法则 1．.)(v u v u '±'='±
2．).(')'(,'')'(为常数c cu cu uv v u uv =+=
3．2
2'1,''v v v v uv v u v u -='
??
?
??-='??? ??. 4．反函数导数
dy
dx
dx dy 1
= 5．复合函数导数
dx
du du dy dx dy ?=
基本初等函数导数公式 1．).(0)(为常数c c =' 2．).()(1
为常数ααα
-='ax
x
3．.sin )(cos ,cos )(sin x x x x -='='
4．()22(tan )sec ,cot csc ,
(sec )sec tan ,(csc )csc cot .
x x x x x x x x x x '?'?==-?''==-?? 5．.)(,ln )(x
x
x
x
e e a a a ='=' 6．.1
)(ln ,ln 1)(log x
x a x x a ='=
'
复习思考题、作业题： 1(2)、2（2）（4）（6）、3（1）（7）（9）（12）（20）
求导法则与求导公式
§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+
第二讲 二次函数在导数中的应用
第二讲 二次函数在导数中的应用 1．(2011·辽宁)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______． 解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点， 而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增,在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞,2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可． 变式：已知函数f (x )＝12mx 2 ＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为______． 解析f ′(x )＝mx ＋1 x －2≥0对一切x >0恒成立， m ≥－(1x )2＋2x ，令g (x )＝－(1x )2＋2x ，则当1 x ＝1时， 函数g (x )取得最大值1，故m ≥1. 2．函数f (x )＝x 2 －2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x ) x 在区间(1，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”) 解析 由函数f (x )＝x 2 －2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值范围为a <1，∴g (x )＝ f (x ) x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－a x 2.易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )为增函数． 3．若曲线f (x )＝ax 3 ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是___________． 解析f ′(x )＝3ax 2＋1x (x >0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2 ＋1x ＝0有解，a ＝－13x 3， ∵x >0，∴－1 3x 3<0，∴a <0. 4．函数f (x )＝2m cos 2 x 2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________． 解析 显然m ≠0，所以f (x )＝2m cos 2 x 2＋1＝m (2cos 2 x 2 －1)＋m ＋1＝m cos x ＋m ＋1， 因此f ′(x )＝－m sin x ，其最大值为1，故有m ＝±1. 一、求参数范围 例1 设函数f (x )＝ln x －px ＋1. (1)求函数f (x )的极值点； (2)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝ln x －px ＋1，∴f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －p ＝1－px x ， 当p ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上无极值点； 当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1 p ∈(0，＋∞)， f 从上表可以看出，当p >0时，f (x )有唯一的极大值点x ＝p . (2)当p >0时，f (x )在x ＝1p 处取得极大值f (1p )＝ln 1 p ，此极大值也是最大值．要使f (x )≤0恒成立，只需 f (1p )＝ln 1 p ≤0，∴p ≥1，∴p 的取值范围是[1，＋∞)．
(完整版)第二章.导数和微分答案解析
第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =
(完整word版)导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。
复合函数的求导法则(导案)
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
2018届高考数学高考大二轮专题复习课后强化训练专题2第5讲导数的综合应用Word版含解析
第一部分 专题二 第五讲 A 组 1．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( B ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 [解析] ∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )单调递增． 故选B ． 2．(2017·河南洛阳质检)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞) [解析] ∵x >0,2x ln x ≥－x 2＋ax －3，∴a ≤2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x ) ＝(x ＋3)(x －1) x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0， 函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，所以a ≤h (x )min ＝4， 故a 的取值范围是(－∞，4]． 3．(2017·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝x 33＋mx 2 ＋(m ＋n )x ＋1 2 的两个极值点分别为 x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，点P (m ，n )表示的平面区域为D ，若函数y ＝log a (x ＋4)(a >1)的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是( A ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞) [解析] f ′(x )＝x 2 ＋mx ＋m ＋n 2 ＝0的两根为x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)， 则?? ? f ′(0)>0， f ′(1)<0 ???? ?? m ＋n 2>0，1＋m ＋m ＋n 2 <0，
专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(原卷版)
求函数的导函数或某一点处的导数 秒杀题型一：求导函数 秒杀方法：基本初等函数的导数公式: ①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则'1()ln f x x a =; ⑧若()ln ,f x x =则'1 ()f x x =。 导数运算法则: ①[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±; ②[])()()()()()('''x g x f x g x f x g x f ?+?=?; ③[]' ''2()()()()( ) ()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????。 复合函数的导数: 由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:''' x u x y y u =?。 快速求导法则： [][])()()(''x f x f e x f e x x +=； [][])()()(''x f x f e x f e x x -=--。 1.(母题)求多项式函数1 011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数. 2.(母题)求tan y x =的导数. 3.(母题)求tan x y e x =的导数。
2第二章 导数与微分答案
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
复合函数求导方法和技巧
复合函数求导方法和技巧 毛涛 （陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西 汉中 723000） 指导老师：刘延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言 复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义 如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[] ()y f g x =
专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(解析版)
求函数的导函数或某一点处的导数 秒杀题型一：求导函数 秒杀方法：基本初等函数的导数公式: ①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则' 1()ln f x x a =; ⑧若()ln ,f x x =则' 1()f x x =。 导数运算法则: ①[]' ' ' ()()()()f x g x f x g x ±=±; ②[])()()()()()(' '' x g x f x g x f x g x f ?+?=?; ③[] ' ''2 ()()()()() ()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????。 复合函数的导数: 由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:''' x u x y y u =?。 快速求导法则： [] [] )()()(''x f x f e x f e x x +=； [] [] )()()(''x f x f e x f e x x -=--。 1.(母题)求多项式函数1 011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数. 【解析】：()12 110'1)(---+???+-+=n n n a x a n x na x f 。 2.(母题)求tan y x =的导数. 【解析】：= ' y 21 cos x 。 3.(母题)求tan x y e x =的导数。
第二章 导数与微分部分考研真题及解答
第二章 导数与微分 2.1导数的概念 01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ） （A ）01lim (1cosh)h f h →-存在 （B ）01 lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01 lim [(2)()]h f h f h h →-存在 03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= (A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0. (C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3x x x f ?-=，其中)(x ?在x =1处连续，则0)1(=?是f (x )在x =1处可导的 [ A ] (A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ] (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )= x 1 ，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22 lim 1n f h h →=,则 （ C ） (A )()()' 000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在 (C)()()' 000f f +=且存在 (D)()()' 010f f +=且存在 07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =） (A ) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在
求导法则及求导公式
§2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则： 定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算） 证明 令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？
微积分第二章 导数与微分
第二章导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分，作为研究分析函数的工具和方法，其主要包含两个重要的基本概念导数与微分，其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，即变化率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1．记住导数和微分的各种术语和记号； 2．知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系； 3．知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义； 4．记住常数及基本初等函数的导数公式； 5．知道双曲函数与反双曲函数的导数公式； 6．知道高阶导数的定义； 7．知道隐函数的定义； 8．记住反函数的求导法则； 9．记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式； 10．知道对数求导法及其适用范围； 11．知道相关变化率的定义及其简单应用； 12．记住基本初等函数的微分公式； 13．知道微分在近似计算及误差估计中的应用； 14．记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 （二）领会 1．领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义； 2．领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系； 3．领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 4．领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系； 5．领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系； 6．领会微分形式的不变性； 7．领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系； 8．领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等。 （三）运用 1．会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等； 2．会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在； 3．会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程； 4．会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在； 5．会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数； 6．会求反函数的导数； 7．会求复合函数的导数； 8．会求隐函数的一阶、二阶导数； 9．会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数； 10．会求函数的高阶导数； 11．会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数； 12．会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。 13．会用微分定义和微分法则求微分； 14．会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数； 15．会用微分求函数的近似值。 （四）分析综合 1．综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数； 2．综合运用函数导数的定义，左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性；
求导基本法则和公式
四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且
复合函数求导法-教案
1 2.2.2 复合函数求导法 教学要求： 理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容： 一、复习提问： 1、导数的基本公式 2、导数的四则运算法则 上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。 二、复合函数的求导法则 1、比如求函数x y 2sin =的导数。 错误解答：x y 2cos =' 正确解答：()()() x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-=' ='=' 对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。 我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。x u dx du du dy dx dy y 2cos 22cos =?=?== ' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。 第二步：逐一分步求导。 复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ?=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ?=在点x 处可导，且有 ()()dy f u x dx ?''=? 或 dy dy du dx du dx =? 证明 设变量x 有改变量x ?，相应地，变量u 有改变量u ?，从而y 有改变量y ?. 由于u 可导，所以 0lim 0 =?→?u x ， 即 x u x u y y '?'='. 现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即 （对u 求导)(对x 求导) （回代） 可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。 推论 设函数()y f u =，()u v ?=，()v x ψ=都是可导函数，则复合函数{[()]}y f x ?ψ=也可导，且 ()()()u v x dy f u v x y u v dx ?ψ''''''=??=?? 或 dy dy du dv dx du dv dx =?? 注意： {[()]}f x ?'表示复合函数y 对自变量x 的导数， 如 2 [sin(1)]y x '=+=2 2cos(1)x x +
专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(解析版)
1 求函数的导函数或某一点处的导数 秒杀题型一：求导函数 秒杀方法：基本初等函数的导数公式: ①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则' 1 ()ln f x x a =; ⑧若()ln ,f x x =则'1 ()f x x =。 导数运算法则: ①[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±; ②[])()()()()()('''x g x f x g x f x g x f ?+?=?; ③[]' ''2()()()()() ()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????。 复合函数的导数: 由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:''' x u x y y u =?。 快速求导法则： [][])()()(''x f x f e x f e x x +=； [][])()()(''x f x f e x f e x x -=--。 1.(母题)求多项式函数1 011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数. 【解析】：()12 110'1)(---+???+-+=n n n a x a n x na x f 。 2.(母题)求tan y x =的导数. 【解析】：='y 21 cos x 。 3.(母题)求tan x y e x =的导数。
第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值
第2课时 导数与函数的极值、最值 利用导数解决函数的极值问题(多维探究) 角度一 根据图象判断函数的极值 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x ) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 【解析】 由题图可知，当x <－2时，1－x >3，此时f ′(x )>0；当－2
第二章-导数与微分习题汇总
` 第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导 数，记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 , 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( — 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则
复合函数求导法则及其应用
习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ?? ? ? ?- =221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。
（7 ）1'2y = （8 ）2 2 'x x y --= = = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y = = 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。
第二讲函数与导数2.docx
第二讲函数与导数 导数 (19)、(06全国1)(本小题满分14分) 设Q为实数，函数/(x) = x3-ax2+(^2-l)x在(-8,0)和(l,+oo)都是增函数, 求d的取值范围。 (19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力. 满分12分。 解：(I) ???f(x)+2x>0的解集为(1, 3), ???f(x)+2x=a(x?l)(x?3),且a<0.因而f(x)=a(x-1 )(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ① 由方程f(x)+6a=0得 ax2-(2+4a)x+9a=0. ② 因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)J2-4a?9a=0, 即5a2-4a-l=0. 解得a=l或a=- —. 5 由于a<0,舍去a=l .将a二丄代入①得f(x)的解析式 3 - 5 - X 6 - 5 2?X 1 - 5 ■ (II)由 f(x)=ax2-2(l+2a)x+3a 1 + 2Q 9 cT+4G +1 =a(x- ----- 厂 ---------- a a 及go,可得f(x)的最大值为?"1 a ci~ + 4ci +1 . -------------- >0, 由] a a < 0, 解得a<-2- V3 或?2+ V3