2009届高三数学二轮专题复习教案――函数
2009届高三数学二轮专题复习教案――函数 一、本章知识结构：
二、考点回顾
1.理解函数的概念，了解映射的概念.
2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.
5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。 三、经典例题剖析
考点一：函数的性质与图象
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
函数的三要素
函数的表示法 函数的性质
反函数
函数的应用
初等函数 基本初等函数：
幂函数 ； 二次函数 指数函数； 对数函数
对数函数
指数函
数
映射
函数
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 例1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A ∩B=( ) A ．{x| x>1} B ．{x|x>0} C ．{x|x<-1} D ．{x|x<-1或x>1} 【解析】:由集合B 得x>1 ,∴ A ∩B={x| x>1}，故选（A ） 。
［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。 例2、（2008广东惠州一模） “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）
【解析】：选（B ），在（B ）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。 ［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。
例3、（2008年广东惠州一模）设
()11x
f x x +=
-，又记
()()()()()11,,1,2,
,
k k f x f x f x f f x k +===则
()2008f x =
（ ）
A ．11x x +-；
B ．11x x -+；
C ．x ；
D ．1
x -
；
【解析】:本题考查周期函数的运算。
()()1121111
,11f x f x f x x f x ++=
==---，
()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-=
===-+-，据此，
()()414211
,1n n x f x f
x x x ++
+==-
-，
()()4341
,1n n x f x f x x x +-=
=+，因2008为4n 型，故选C .
［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。
例4、（2008福建文科高考试题）函数
3
()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =,则()f a -的值为 （ ）
A.3
B.0
C.-1
D.-2
【解析】：
3
()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=
A B C D
故()11f a --=-即()0f a -=.
［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。
例5、（2008广东高考试题）设k ∈R ，函数1
11()11
x x
f x x x ?
-=??--?，，≥，
()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．
【解析】
1
,1,1()()1,1,kx x x
F x f x kx x kx x ?-
-=-=??---≥? 21
,1,(1)'()1,1,
21
k x x F x k x x ?-
?--≥?-?
对于
1
()(1)1F x kx x x =
-<-，
当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；
当0k >时，函数()F x 在
1(,1)k -∞-
上是减函数，在1
(1,1)k -上是增函数；
对于
1
()(1)
21F x k x x =-
-≥-，
当0k ≥时，函数()F x 在
[)1,+∞上是减函数；
当0k <时，函数()F x 在211,14k ??+????上是减函数，在211,4k ??++∞????上是增函数。
［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导
数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。 考点二：二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.
例6、设二次函数，方程的两个根满足
. 当时，证明.
【解析】：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出
函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式. 证明：由题意可知
))(()(21x x x x a x x f --=-.
a x x x 1
021<
<<< ，
∴ 0))((21>--x x x x a ，
∴ 当
时，x x f >)(.
又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ， ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <，
综上可知，所给问题获证.
［点评］：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式
()().21x x x x a y --=。
例7、（2007湖北文科高考试题）设二次函数
2
()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．
（I ）求实数a 的取值范围；
（II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与1
16的大小．并说明理由．
【解析】法1：（Ⅰ）令
2
()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+， 则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ?>??-?<
?>??
，
，，，011
322322a a a a ?>?
?-<+?，，，或，0322a ?<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，
． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2
()2h a a =．
当0a >时，()h a 单调增加，
∴当0322a <<-时，2
0()(322)2(322)2(17122)h a h <<-=-=-
112
1617122=<+，即1(0)(1)(0)16f f f -<．
法
2：（I ）同解法1． （II ）
2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I ）知0322a <<-，
41122170a -<-<∴2．又4210a +>，于是
22111
2(321)(421)(421)0161616a a a a -
=-=-+<， 即
212016a -
<，故
1
(0)(1)(0)16f f f -<． 法3：（I ）方程
()0f x x -=?2
(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得 121x x a +=-，12x x a =，于是12121212
1200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ?>??+>??
<<??-+->??-->?，
，，
，
01322322a a a a ?>?
?
<->+?，，或0322a ?<<-．
故所求实数a 的取值范围是(0322)-，
． （II ）依题意可设
12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得
12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--
22
11221112216x x x x +-+-????<= ? ?
????，故
1
(0)(1)(0)16f f f -<． ［点评］本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和
运算能力．
考点三：指数函数与对数函数
指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.
例8、（2008山东文科高考试题）已知函数
()log (21)(01)x
a f x
b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．1
01a b -<<< B ．1
01b a -<<<
C ．1
01b
a -<<<
D ．1
1
01a
b --<<<
【解析】：由图易得
1,a >1
01;a -∴<<取特殊点01log 0,a x y b =?-<=<
1
1l o g
l o g l o g 10,a a
a b a
?-=<<=1
01a b -∴<<<.选A. ［点评］：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 例9、（2007全国Ⅰ高考试题）设1a >，函数
()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最
小值之差为1
2，则a =（ ）
A ．2
B ．2
C ．22
D ．4
【解析】：设1a >，函数
()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值分别为
1-
O
y
x
log 2,log 1a a a a =，它们的差为12， ∴ 1
log 22a =
，a =4，选D 。
例10、（2008全国Ⅱ高考试题）若13
(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ）
A ．a
B ．c