全国新课标卷一创新题展示

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全国新课标卷一创新题展示

作者：廖东明

来源：《高中生·高考指导》2016年第01期

亮点1：内核依旧，方法相似，载体创新

例1 （文科卷第16题）已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A （0，6）.当△APF周长最小时，该三角形的面积为_____.

难度系数 0.65

分析根据题意，画出草图，可知△APF的周长随点P在左支上的运动而发生变化，A，F 为定点，AF为定长.凭直观，点P应位于双曲线的左支且在第二象限比较靠近y轴的某个位置，从而使得△APF的周长最小.直接利用|AP|+|PF|>|AF|不奏效，于是我们联想到双曲线的定义，将其转化为求|PA|+|PF1|的最小值则十分容易，进而求出此时点P的坐标，再求出△APF

的面积即可.

解依题意可知，双曲线C：x2-=1的右焦点为F（3，0），实半轴长a=1，左焦点为F1（-3，0）.由于P是C的左支上一点，所以|PF|-|PF1|=2a=2，则△APF的周长

l=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|≥|AF1|+2+|AF|=15+2+15=32，当且仅当A，P，F1三点共线且点P在A，F1之间时取得等号，此时直线AF1的方程为+=1，即y=2x+6.由y=2x+6，8x2-

y2=8，消去y整理得（x+2）（x+7）=0，从而可知点P的坐标为（-2，2）（-3

小结定义转化、动静结合、几何法研究最值是解析几何中的常见问题，有的还需要利用

对称性进行转化求解.

亮点2：数形结合，设而不求，沟通运算

例2 （文科卷第21题）设函数 f（x）=e2x-aln x.

（Ⅰ）讨论 f（x）的导函数f ′（x）零点的个数；

（Ⅱ）证明：当a>0时， f（x）≥2a+aln .

难度系数 0.55

分析解答第（Ⅰ）问时，我们可先求出f ′（x），再研究f ′（x）的单调性，进而判断零点的个数，也可以利用零点存在性定理来解答，或者将原问题转化为两图像交点的个数问题来解答.要证明第（Ⅱ）问，我们根据第（Ⅰ）问可知，f ′（x）有唯一的零点x0，但是由2=无法求出x0，可利用设而不求，将其进行沟通运算，进而得到结果.